Intégration par parties - Maxicours

Intégration par parties

Objectifs :
- Connaître le principe de l'intégration par parties
- Comprendre un exemple de calcul utilisant deux intégrations par parties

1. Le principe de l'intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle [a ; b] et dont les fonctions dérivées u' et v' sont continues sur [a ; b] alors :

Exemple

Soit à calculer par une intégration par parties. On choisit comme fonction u à dériver, la fonction u(x) = ln(x)



u et v sont dérivables sur [1 ; e] et u' et v' sont continues sur [1 ; e] donc :


2. Exemple de calcul utilisant deux intégrations par parties
Soit

? On effectue une intégration par parties en choisissant pour v'(x) la fonction



Donc les fonctions u et v étant dérivables sur et les fonctions u' et v' étant continues sur cet intervalle, on obtient :



? On refait une intégration par parties pour calculer en choisissant encore pour v'(x) la fonction



Donc les fonctions u, v, v' et u' étant dérivables sur , on obtient :


On voit que :


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