Intégration par parties
Objectifs :
- Connaître le principe de l'intégration par
parties
- Comprendre un exemple de calcul utilisant deux intégrations par parties
- Comprendre un exemple de calcul utilisant deux intégrations par parties
1. Le principe de l'intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables sur
l'intervalle [a ; b] et dont les fonctions
dérivées u' et v' sont continues sur [a
; b] alors :
Exemple
Soit
à calculer par une
intégration par parties. On choisit comme fonction u
à dériver, la fonction u(x) = ln(x)
u et v sont dérivables sur [1 ; e] et u' et v' sont continues sur [1 ; e] donc :
2. Exemple de calcul utilisant deux intégrations
par parties
Soit 
? On effectue une intégration par parties en choisissant pour v'(x) la fonction
Donc les fonctions u et v étant dérivables sur
et les fonctions u' et v'
étant continues sur cet intervalle, on obtient :
? On refait une intégration par parties pour calculer
en choisissant encore pour v'(x)
la fonction 
Donc les fonctions u, v, v' et u' étant dérivables sur
, on obtient :
On voit que :
? On effectue une intégration par parties en choisissant pour v'(x) la fonction
Donc les fonctions u et v étant dérivables sur
et les fonctions u' et v'
étant continues sur cet intervalle, on obtient :? On refait une intégration par parties pour calculer
en choisissant encore pour v'(x)
la fonction Donc les fonctions u, v, v' et u' étant dérivables sur
, on obtient :On voit que :
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