Les fonctions du type exp(u) et ln(u) - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Les fonctions du type exp(u) et ln(u)

Objectifs :
Étudier les fonctions exponentielle et logarithme 
1. La fonction exponentielle : exp(u)
a. Exemple de définition
Soit la fonction , composée de la fonction exp et d'une fonction u :
Exp(u) existe si, et seulement si, u(x) existe, donc l'ensemble de définition de la fonction est égal à celui de la fonction u.

Exemple : Comme , la fonction est définie sur
b. Fonction dérivée de exp(u)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction exp(u) est dérivable sur I et :

Exemples


c. Sens de variation de exp(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un intervalle I est connu (ou simple à déterminer), il est efficace d'utiliser le théorème sur le sens de variation d'une fonction composée.

Exemple



u est définie sur donc l'ensemble de définition de f est .
La fonction u est décroissante sur .
La fonction f, composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante (exp et u), est décroissante sur

Si ce n'est pas le cas, il faut calculer la fonction dérivée et étudier son signe pour en déduire les variations de la fonction exp(u)

Exemple

Soit sur , la fonction f telle que :




Pour tout réel donc f'(x) est du signe de 3x(x-2)

  donc f est décroissante sur et f est croissante sur les intervalles

d. Primitives de u'exp(u)
Si u est une fonction dérivable sur I, alors admet pour primitives

Exemples




2. La fonction logarithme : ln(u)
a. Ensemble de définitions de ln(u)
Soit la fonction composée de la fonction ln et d'une fonction u :

ln[u(x)] existe si, et seulement si,

Exemple


b. Fonction dérivée de ln(u)
Soit u la fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction ln(u) est dérivable sur I et:

 
Exemple


 
c. Sens de variation de ln(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un intervalle I est connu (ou simple à déterminer), il est efficace d'utiliser la théorème sur le sens de variation d'une fonction composée

Exemple


La fonction f, composée de deux fonctions croissantes (ln et u), est croissante sur

Si ce n'est pas le cas, il faut calculer la fonction dérivée et étudier son signe pour en déduire les variations de la fonction ln(u)

Exemple



On a vu plus haut, que

Pour tout
d. Primitives de u'/u
Si u est une fonction dérivable sur I et de signe constant, alors admet pour primitive

Exemple

Soit sur , la fonction f définie par : , f est de la forme avec u(x) = x2 + 3x - 4

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