Les fonctions du type exp(u) et ln(u)
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Objectifs :
Étudier les fonctions exponentielle et
logarithme
1. La fonction exponentielle : exp(u)
a. Exemple de définition
Soit la fonction 
, composée
de la fonction exp et d'une fonction u :
, composée
de la fonction exp et d'une fonction u :
Exp(u) existe si, et seulement si, u(x) existe, donc
l'ensemble de définition de la fonction
est égal à
celui de la fonction u.
est égal à
celui de la fonction u.
Exemple : Comme
, la fonction 
est définie sur 
b. Fonction dérivée de exp(u)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
I, la fonction exp(u) est dérivable sur I
et :
Exemples
c. Sens de variation de exp(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un
intervalle I est connu (ou simple à
déterminer), il est efficace d'utiliser
le théorème sur le sens de variation
d'une fonction composée.
Exemple
u est définie sur
donc l'ensemble de
définition de f est 
.La fonction u est décroissante sur
.La fonction f, composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante (exp et u), est décroissante sur
• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer
la fonction dérivée et étudier son
signe pour en déduire les variations de la
fonction exp(u)
Exemple
Soit sur
, la fonction f telle que :
Pour tout réel
donc f'(x) est du signe de 3x(x-2)
donc f est
décroissante sur 
et f est croissante sur
les intervalles
d. Primitives de u'exp(u)
Si u est une fonction dérivable sur I, alors
admet pour primitives
admet pour primitives
Exemples
2. La fonction logarithme : ln(u)
a. Ensemble de définitions de ln(u)
Soit la fonction 
composée de la
fonction ln et d'une fonction u :
composée de la
fonction ln et d'une fonction u :
ln[u(x)] existe si, et seulement si,
Exemple
b. Fonction dérivée de ln(u)
Soit u la fonction dérivable et strictement
positive sur un intervalle I, la fonction ln(u) est
dérivable sur I et:
Exemple
c. Sens de variation de ln(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un
intervalle I est connu (ou simple à
déterminer), il est efficace d'utiliser
la théorème sur le sens de variation
d'une fonction composée
Exemple
La fonction f, composée de deux fonctions croissantes (ln et u), est croissante sur
• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer
la fonction dérivée et étudier son
signe pour en déduire les variations de la
fonction ln(u)
Exemple
On a vu plus haut, que
Pour tout
d. Primitives de u'/u
Si u est une fonction dérivable sur I et de
signe constant, alors 
admet pour primitive
admet pour primitive
Exemple
Soit sur
, la fonction f définie
par : 
, f est de la forme 
avec u(x) = x2 + 3x
- 4
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