Fiche de cours

Les fonctions du type exp(u) et ln(u)

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Objectifs :
Étudier les fonctions exponentielle et logarithme 
1. La fonction exponentielle : exp(u)
a. Exemple de définition
Soit la fonction , composée de la fonction exp et d'une fonction u :
Exp(u) existe si, et seulement si, u(x) existe, donc l'ensemble de définition de la fonction est égal à celui de la fonction u.

Exemple : Comme , la fonction est définie sur
b. Fonction dérivée de exp(u)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction exp(u) est dérivable sur I et :

Exemples


c. Sens de variation de exp(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un intervalle I est connu (ou simple à déterminer), il est efficace d'utiliser le théorème sur le sens de variation d'une fonction composée.

Exemple



u est définie sur donc l'ensemble de définition de f est .
La fonction u est décroissante sur .
La fonction f, composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante (exp et u), est décroissante sur

• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer la fonction dérivée et étudier son signe pour en déduire les variations de la fonction exp(u)

Exemple

Soit sur , la fonction f telle que :




Pour tout réel donc f'(x) est du signe de 3x(x-2)

  donc f est décroissante sur et f est croissante sur les intervalles

d. Primitives de u'exp(u)
Si u est une fonction dérivable sur I, alors admet pour primitives

Exemples




2. La fonction logarithme : ln(u)
a. Ensemble de définitions de ln(u)
Soit la fonction composée de la fonction ln et d'une fonction u :

ln[u(x)] existe si, et seulement si,

Exemple


b. Fonction dérivée de ln(u)
Soit u la fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction ln(u) est dérivable sur I et:

 
Exemple


 
c. Sens de variation de ln(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un intervalle I est connu (ou simple à déterminer), il est efficace d'utiliser la théorème sur le sens de variation d'une fonction composée

Exemple


La fonction f, composée de deux fonctions croissantes (ln et u), est croissante sur

• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer la fonction dérivée et étudier son signe pour en déduire les variations de la fonction ln(u)

Exemple



On a vu plus haut, que

Pour tout
d. Primitives de u'/u
Si u est une fonction dérivable sur I et de signe constant, alors admet pour primitive

Exemple

Soit sur , la fonction f définie par : , f est de la forme avec u(x) = x2 + 3x - 4

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