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Les fonctions du type exp(u) et ln(u)

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Objectifs :

Étudier les fonctions exponentielle et logarithme

1. La fonction exponentielle : exp(u)

a. Exemple de définition

Soit la fonction

, composée de la fonction exp et d'une fonction u :

Exp(u) existe si, et seulement si, u(x) existe, donc l'ensemble de définition de la fonction

est égal à celui de la fonction u.

Exemple : Comme

, la fonction

est définie sur

b. Fonction dérivée de exp(u)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction exp(u) est dérivable sur I et :

Exemples

c. Sens de variation de exp(u)

• Si le sens de variation de la fonction u sur un intervalle I est connu (ou simple à déterminer), il est efficace d'utiliser le théorème sur le sens de variation d'une fonction composée.

Exemple

u est définie sur

donc l'ensemble de définition de f est

.
La fonction u est décroissante sur

.
La fonction f, composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante (exp et u), est décroissante sur

• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer la fonction dérivée et étudier son signe pour en déduire les variations de la fonction exp(u)

Exemple

Soit sur

, la fonction f telle que :

Pour tout réel

donc f'(x) est du signe de 3x(x-2)

donc f est décroissante sur

et f est croissante sur les intervalles

d. Primitives de u'exp(u)

Si u est une fonction dérivable sur I, alors

admet pour primitives

Exemples

2. La fonction logarithme : ln(u)

a. Ensemble de définitions de ln(u)

Soit la fonction

composée de la fonction ln et d'une fonction u :

ln[u(x)] existe si, et seulement si,

Exemple

b. Fonction dérivée de ln(u)

Soit u la fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction ln(u) est dérivable sur I et:

Exemple

c. Sens de variation de ln(u)

• Si le sens de variation de la fonction u sur un intervalle I est connu (ou simple à déterminer), il est efficace d'utiliser la théorème sur le sens de variation d'une fonction composée

Exemple

La fonction f, composée de deux fonctions croissantes (ln et u), est croissante sur

• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer la fonction dérivée et étudier son signe pour en déduire les variations de la fonction ln(u)

Exemple

On a vu plus haut, que

Pour tout

d. Primitives de u'/u

Si u est une fonction dérivable sur I et de signe constant, alors

admet pour primitive

Exemple

Soit sur

, la fonction f définie par :

, f est de la forme

avec u(x) = x² + 3x - 4

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