Les fonctions du type exp(u) et ln(u)
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Objectifs :
Étudier les fonctions exponentielle et
logarithme
1. La fonction exponentielle : exp(u)
a. Exemple de définition
Soit la fonction
, composée
de la fonction exp et d'une fonction u :


Exp(u) existe si, et seulement si, u(x) existe, donc
l'ensemble de définition de la fonction
est égal à
celui de la fonction u.

Exemple : Comme



b. Fonction dérivée de exp(u)
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle
I, la fonction exp(u) est dérivable sur I
et :

Exemples

c. Sens de variation de exp(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un
intervalle I est connu (ou simple à
déterminer), il est efficace d'utiliser
le théorème sur le sens de variation
d'une fonction composée.
Exemple

u est définie sur


La fonction u est décroissante sur

La fonction f, composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante (exp et u), est décroissante sur

• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer
la fonction dérivée et étudier son
signe pour en déduire les variations de la
fonction exp(u)
Exemple
Soit sur



Pour tout réel




d. Primitives de u'exp(u)
Si u est une fonction dérivable sur I, alors
admet pour primitives


Exemples


2. La fonction logarithme : ln(u)
a. Ensemble de définitions de ln(u)
Soit la fonction
composée de la
fonction ln et d'une fonction u :


ln[u(x)] existe si, et seulement si,

Exemple

b. Fonction dérivée de ln(u)
Soit u la fonction dérivable et strictement
positive sur un intervalle I, la fonction ln(u) est
dérivable sur I et:

Exemple


c. Sens de variation de ln(u)
• Si le sens de variation de la fonction u sur un
intervalle I est connu (ou simple à
déterminer), il est efficace d'utiliser
la théorème sur le sens de variation
d'une fonction composée
Exemple

La fonction f, composée de deux fonctions croissantes (ln et u), est croissante sur

• Si ce n'est pas le cas, il faut calculer
la fonction dérivée et étudier son
signe pour en déduire les variations de la
fonction ln(u)
Exemple

On a vu plus haut, que

Pour tout

d. Primitives de u'/u
Si u est une fonction dérivable sur I et de
signe constant, alors
admet pour primitive


Exemple
Soit sur



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