Des applications de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

M est une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance .
On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à cette variable aléatoire.

Soit t un nombre réel strictement positif :

On lance n fois une pièce de monnaie non truquée et on note X la variable aléatoire qui à un lancer donné associe 1 si on obtient Face et 0 si on obtient Pile.
On considère la proportion de Faces obtenues lors de ces n lancers, c’est-à-dire le rapport du nombre de Faces obtenues par le nombre total des lancers.

On va chercher le nombre de lancers à partir duquel on peut garantir à plus de 95 % que cette proportion soit comprise entre 0,45 et 0,55.

La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5, donc :

E(X) = p = 0,5 ; V(X) = p(1 – p) = 0,5 × 0,5 = 0,25.

Cette proportion peut être représentée par la moyenne M d’un échantillon de taille n de X. On veut que :

P(0,45 < M < 0,55) > 0,95

P(0,45 – 0,5 < M – 0,5 < 0,55 – 0,5) > 0,95

P(–0,05 < M – 0,5 < 0,05) > 0,95

P(ǀM – 0,5ǀ < 0,05) > 0,95

1 – P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≥ 0,95

–P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≥ 0,95 – 1

–P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05 ≥ –0,05

P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≤ 0,05

Or 

On prend t = 0,05.

Soit :

Or P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≤ 0,05

Pour garantir ce qu’on veut, il faut :

n ≥ 2000

On peut garantir que la proportion d’obtenir Face soit comprise entre 0,45 et 0,55 à plus de 95 %, en effectuant 2000 lancers.