Des applications de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Maxicours

Des applications de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Objectifs
  • Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la moyenne M d’un échantillon.
  • Connaitre la loi faible des grands nombres.
Points clés
  • Soit M la moyenne d’un échantillon de variables aléatoires X de taille n, d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :

  • Loi faible des grands nombres : soit M la moyenne d’un échantillon de taille n de variables aléatoires X d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif, on a :

 

1. Rappels

Soit X1 ; X2 ; … ; Xn n variables aléatoires. La moyenne de ces n variables aléatoires est la variable aléatoire M définie par :

Soit X une variable aléatoire. Un échantillon de taille n de X est un n-uplet de variables aléatoires (X1 ; X2 ; … ; Xn) indépendantes et qui suivent toutes la même loi de X.

Soit X une variable aléatoire et M la moyenne d’un échantillon de taille n de X, on a :

E(M) = E(X)  et 

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :

2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la moyenne d’un échantillon
a. Théorème
Théorème
Soit M la moyenne d’un échantillon de variables aléatoires X de taille n, d’espérance E(X) et de variance V(X).
Pour tout réel t strictement positif :

Démonstration

M est une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance .
On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à cette variable aléatoire.

Soit t un nombre réel strictement positif :

b. Exemple

On lance n fois une pièce de monnaie non truquée et on note X la variable aléatoire qui à un lancer donné associe 1 si on obtient Face et 0 si on obtient Pile.
On considère la proportion de Faces obtenues lors de ces n lancers, c’est-à-dire le rapport du nombre de Faces obtenues par le nombre total des lancers.

On va chercher le nombre de lancers à partir duquel on peut garantir à plus de 95 % que cette proportion soit comprise entre 0,45 et 0,55.

La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5, donc :

E(X= p = 0,5 ; V(X= p(1  p= 0,5 × 0,5 = 0,25.

Cette proportion peut être représentée par la moyenne M d’un échantillon de taille n de X. On veut que :

P(0,45 < M < 0,55) > 0,95

P(0,45  0,5 < M  0,5 < 0,55 – 0,5) > 0,95

P(0,05 < M – 0,5 < 0,05) > 0,95

PM  0,5ǀ < 0,05) > 0,95

 PM  0,5ǀ  0,05)  0,95

PM  0,5ǀ  0,05)  0,95  1

PM  0,5ǀ  0,05  0,05

PM  0,5ǀ  0,05)  0,05

Or 

On prend t = 0,05.

Soit :

Or PM – 0,5ǀ  0,05)  0,05

Pour garantir ce qu’on veut, il faut :

 

n ≥ 2000

On peut garantir que la proportion d’obtenir Face soit comprise entre 0,45 et 0,55 à plus de 95 %, en effectuant 2000 lancers.

3. Loi faible des grands nombres
Propriété
Soit M la moyenne d’un échantillon de taille n de variables aléatoires X d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif, on a :

On dit que M converge en probabilité vers E(X).
Démonstration

Soit t un nombre réel strictement positif.

On a .
Et comme une probabilité est toujours un nombre positif, on a :

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