Des applications de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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- Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la moyenne M d’un échantillon.
- Connaitre la loi faible des grands nombres.
- Soit M la moyenne d’un échantillon de variables aléatoires X de taille n, d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :
- Loi faible des grands nombres : soit M la moyenne d’un échantillon de taille n de variables aléatoires X d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif, on a :
Soit X1 ; X2 ; … ; Xn n variables aléatoires. La moyenne de ces n variables aléatoires est la variable aléatoire M définie par :
Soit X une variable aléatoire. Un échantillon de taille n de X est un n-uplet de variables aléatoires (X1 ; X2 ; … ; Xn) indépendantes et qui suivent toutes la même loi de X.
Soit X une variable aléatoire et M la moyenne d’un échantillon de taille n de X, on a :
E(M) = E(X) et 
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :
Soit M la moyenne d’un échantillon de variables aléatoires X de taille n, d’espérance E(X) et de variance V(X).
Pour tout réel t strictement positif :
M est une
variable aléatoire d’espérance
E(X) et de
variance 
.
On applique l’inégalité de
Bienaymé-Tchebychev à cette variable
aléatoire.
Soit t un nombre réel strictement positif :
On lance n fois une pièce
de monnaie non truquée et on
note X
la variable aléatoire qui à un lancer
donné associe 1 si on obtient Face
et 0 si on obtient Pile.
On considère la proportion de Faces obtenues
lors de ces n lancers,
c’est-à-dire le rapport du nombre de Faces
obtenues par le nombre total des lancers.
On va chercher le nombre de lancers à partir duquel on peut garantir à plus de 95 % que cette proportion soit comprise entre 0,45 et 0,55.
La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5, donc :
E(X) = p = 0,5 ; V(X) = p(1 – p) = 0,5 × 0,5 = 0,25.
Cette proportion peut être représentée par la moyenne M d’un échantillon de taille n de X. On veut que :
P(0,45 < M < 0,55) > 0,95
P(0,45 – 0,5 < M – 0,5 < 0,55 – 0,5) > 0,95
P(–0,05 < M – 0,5 < 0,05) > 0,95
P(ǀM – 0,5ǀ < 0,05) > 0,95
1 – P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≥ 0,95
–P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≥ 0,95 – 1
–P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05 ≥ –0,05
P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≤ 0,05
Or 
On prend t = 0,05.
Soit :
Or P(ǀM – 0,5ǀ ≥ 0,05) ≤ 0,05
Pour garantir ce qu’on veut, il faut :
n ≥ 2000
On peut garantir que la proportion d’obtenir Face soit comprise entre 0,45 et 0,55 à plus de 95 %, en effectuant 2000 lancers.
Soit M la moyenne d’un échantillon de taille n de variables aléatoires X d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif, on a :
Soit t un nombre réel strictement positif.
On a 
.
Et comme une probabilité est toujours un nombre
positif, on a :
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