Fonctions dérivables - Maxicours

Fonctions dérivables

Objectifs :
Tout au long de ce cours, nous étudierons dans l'ordre :

• Nombre dérivé, fonction dérivée
• Interprétation graphique : tangente
• Interprétation numérique : approximation affine
• Écriture différentielle
• Dérivabilité et continuité
1. Nombre dérivé, fonction dérivée
Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et x deux éléments de I. "f est dérivable en a" signifie que le taux de variation de f en a admet une limite L en a.

Ainsi, on peut écrire :

La limite L est notée f'(a) et s'appelle le nombre dérivé de f en a.

"f est dérivable sur I" signifie que f est dérivable en tout élément x de I. La fonction dérivée de f sur I, notée f', est la fonction qui à tout x I fait correspondre f'(x).

Exemples :

Soit la fonction f définie sur



2. Interprétation graphique : tangente
Théorème

Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A d'abscisse a, une tangente de coefficient directeur f'(a).

Une équation de cette tangente, droite passant par le point A(a,f(a)) et de coefficient directeur f'(a) est donné par :

Exemple :

Soit la fonction f définie sur et soit H sa courbe représentative (hyperbole).

f est dérivable sur et sa fonction dérivée est f'(x) =

On a f'(0,5) = - 4. Une équation de la tangente au point A (0,5 ; 2) à la courbe H est :



3. Interprétation numérique : approximation affine
Si f est dérivable en a, .

Ou encore, .

Si x est proche de a, .

f(a) + f '(a)(x-a) est une approximation affine de f(a) pour x proche de a.

Exemple :

Soit la fonction f définie sur

.
4. Écriture différentielle
► Si f est dérivable en a, .

► En physique, on note :

.

► On exprime cela symboliquement par la notation différentielle :

5. Dérivabilité et continuité
Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Attention, la réciproque est fausse.

Démonstration :

Si f est dérivable en a, .

On en déduit que .

Donc, .

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