Fonctions dérivables
Objectifs :
Tout au long de ce cours, nous étudierons dans l'ordre
:
• Nombre dérivé, fonction dérivée
• Interprétation graphique : tangente
• Interprétation numérique : approximation affine
• Écriture différentielle
• Dérivabilité et continuité
• Nombre dérivé, fonction dérivée
• Interprétation graphique : tangente
• Interprétation numérique : approximation affine
• Écriture différentielle
• Dérivabilité et continuité
1. Nombre dérivé, fonction
dérivée
Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et x deux éléments de I. "f est dérivable en a" signifie que le taux de variation de f en a admet une limite L en a.
Ainsi, on peut écrire :
La limite L est notée f'(a) et s'appelle le nombre dérivé de f en a.
"f est dérivable sur I" signifie que f est dérivable en tout élément x de I. La fonction dérivée de f sur I, notée f', est la fonction qui à tout x
I fait correspondre f'(x).
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et x deux éléments de I. "f est dérivable en a" signifie que le taux de variation de f en a admet une limite L en a.
Ainsi, on peut écrire :
La limite L est notée f'(a) et s'appelle le nombre dérivé de f en a.
"f est dérivable sur I" signifie que f est dérivable en tout élément x de I. La fonction dérivée de f sur I, notée f', est la fonction qui à tout x
I fait correspondre f'(x).
Exemples :
Soit la fonction f définie sur
2. Interprétation graphique : tangente
Théorème
Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A d'abscisse a, une tangente de coefficient directeur f'(a).
Une équation de cette tangente, droite passant par le point A(a,f(a)) et de coefficient directeur f'(a) est donné par :
Lorsque f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet au point A d'abscisse a, une tangente de coefficient directeur f'(a).
Une équation de cette tangente, droite passant par le point A(a,f(a)) et de coefficient directeur f'(a) est donné par :
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
et
soit H sa courbe représentative (hyperbole).f est dérivable sur
et sa
fonction dérivée est f'(x) = 
On a f'(0,5) = - 4. Une équation de la tangente au point A (0,5 ; 2) à la courbe H est :
3. Interprétation numérique :
approximation affine
Si f est dérivable en a, 
.
Ou encore,
.
Si x est proche de a,
.
f(a) + f '(a)(x-a) est une approximation affine de f(a) pour x proche de a.
.Ou encore,
.Si x est proche de a,
.f(a) + f '(a)(x-a) est une approximation affine de f(a) pour x proche de a.
Exemple :
Soit la fonction f définie sur
.
4. Écriture différentielle
► Si f est dérivable en a, 
.
► En physique, on note :
.
► On exprime cela symboliquement par la notation différentielle :
.► En physique, on note :
.► On exprime cela symboliquement par la notation différentielle :
5. Dérivabilité et continuité
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Attention, la réciproque est fausse.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
Attention, la réciproque est fausse.
Démonstration :
Si f est dérivable en a,
.On en déduit que
.Donc,
.
Vous avez déjà mis une note à ce cours.
Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !
Découvrez MaxicoursComment as-tu trouvé ce cours ?
Évalue ce cours !
Fiches de cours les plus recherchées
Des profs en ligne
- 6 j/7 de 17 h à 20 h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les matières principales
Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet
Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision
Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Un compte Parent
Message envoyé
