L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour estimer largement la probabilité pour qu’une variable aléatoire X s’éloigne de son espérance.
- Soit X une variable aléatoire positive d’espérance E(X) et soit t un nombre réel strictement positif, alors :
- Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :
Soit X une variable aléatoire d’univers ΩX = {x1 ; x2 ; … ; xn} :
p = P(X = xi).
L’espérance mathématique de X (c’est-à-dire sa moyenne) est :
E(X) = p1x1 + p2x2 + … + pnxn.
La variance de X (qui mesure la dispersion des valeurs possibles de X autour de son espérance) est :
V(X) = p1(x1 – E(X))2 + p2(x2 – E(X))2 + … + pn(xn – E(X))2
ou V(X) = E(X2) – E(X)2
On définit ainsi une variable aléatoire qui mesurera cet écart par la variable aléatoire Y = ǀX – E(X)ǀ qui est la variable aléatoire dont l’univers est

Soit X la variable aléatoire dont la loi est :
xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
pi = P(X = xi) | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
E(X) = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4
E(X) = 0,1 × 0 + 0,2 × 1 + 0,4 × 2 + 0,2
× 3 + 0,1 × 4
E(X) = 2
Les valeurs possibles de Y = X – E(X) sont :
ǀ0 – 2ǀ = ǀ– 2ǀ = 2
ǀ1 – 2ǀ = ǀ–1ǀ = 1
ǀ2 – 2ǀ = ǀ0ǀ = 0
ǀ3 – 2ǀ = ǀ1ǀ = 1
ǀ4 – 2ǀ = ǀ2ǀ = 2
Les probabilités de Y sont :
P(Y = 0) = P(X = 2) = 0,4
P(Y = 1) = P(X = 1) + P(X = 3) = 0,2 + 0,2 = 0,4
P(Y = 2) = P(X = 0) + P(X = 4) = 0,1 + 0,1 = 0,2
yi | 0 | 1 | 2 |
pi = P(Y = yi) | 0,4 | 0,4 | 0,2 |
Soit X une variable aléatoire positive d’univers ΩX = {x1 ; x2 ; … ; xi ; … ; xn} ordonné dans l’ordre croissant :
x1 ≤ E(X) ≤ xn
On note pi = P(X = xi) qui sont des nombres positifs.
On a x1 < x2 < … < xn.
Donc p1x1 ≤ p1x2≤ p1xn ; p2x1 ≤ p2x2 ≤ p2xn ; … ; pnx1 ≤ pnx2≤ pnxn.
Et, par somme membre à membre de ces inégalités, on a :
p1x1 + p2x1 + … + pnx1 ≤ p1x1 + p2x2 + ... + pnxn ≤ p1xn + p2xn + … + pnxn
(p1 + p2 + … + pn)x1 ≤ E(X) ≤ (p1 + p2 + … + pn)xn
1x1≤ E(X) ≤ 1xn
x1≤ E(X) ≤ xn
Soit X une variable aléatoire positive d’espérance E(X) et soit t un nombre réel strictement positif, alors :
Soit X une variable aléatoire positive d’univers ΩX = {x1 ; x2 ; … ; xi ; … ; xn}. On note pi = P(X = xi).
Soit t un nombre réel strictement positif.
- Si t < x1,
alors P(X ≥ t) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xn)
P(X ≥ t) = p1 + p2 + … + pn
P(X ≥ t) = 1
Or E(X) ≥ x1 et, comme x1 > t, donc E(X) > t et, comme on a que des nombres positifs, alors
> 1, donc P(X ≥ t) ≤
.
- Si xn ≥ t ≥ x1,
alors il existe un indice i tel
que t ≤ xi,
donc :
P(X ≥ t) = P(X = xi) + P(X = xi+1) + … + P(X = xn)
P(X ≥ t) = pi + pi+1 + … + pn
t × P(X ≥ t) = t(pi + pi+1 + … + pn)
t × P(X ≥ t) = tpi + tpi+1 + … + tpn
Or t ≤ xi et xi < xi+1 < … < xn donc :
t × P(X ≥ t) ≤ xipi + xi+1pi+1 + … + xnpn
Puisque nous n’avons que des nombres positifs :
xipi + xi+1pi+1 + … + xnpn ≤ p1x1 + … + pixi + pi+1 + … + pnxn
xipi + xi+1pi+1 + … + xnpn ≤ E(X)
Donc :
t × P(X ≥ t) ≤ E(X)
P(X ≥ t) ≤
- Si t > xn, alors P(X ≥ t) = 0 et l’inégalité est vérifiée.
On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres 200 et 0,03 ; son espérance est 200 × 0,03 = 6. On veut avoir une idée de la probabilité pour que X s'éloigne de son espérance 6, par exemple pour que X dépasse 150.
On utilise l’inégalité de
Markov : .
Ici t = 150.
P(X ≥ 150) ≤ 0,04
Ce qui signifie qu’il y a moins de 4 % de chances pour que X dépasse 150, c’est-à-dire que la somme des probabilités P(X = 150) + P(X = 151) + P (X = 152) + … + P(X = 200) ne dépassera pas 0,04.
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :
On considère la variable aléatoire Y = (X – E(X))2 qui prend comme valeurs possibles yi = (xi – E(X))2 et P(Y = yi) = P(X = xi) = pi, donc :
E(Y) = p1y1 + p2y2 + … + pnyn
E(Y) = p1(x1 – E(X))2 + p1(x2 – E(X))2 + … + pn(xn – E(X))2
Ce qui donne E(Y) = V(X).
Appliquons l’inégalité de Markov à Y avec t2.
On lance 1000 fois une pièce de monnaie et on note X le nombre de Faces obtenues.
X suit une loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,5.
E(X) = np = 1000 × 0,5 = 500
V(X) = np(1 – p) = 1000 × 0,5 × (1 – 0,5) = 250
Appliquons l’inégalité à t = 20.
En développant ces résultats, on obtient une autre information :
P(ǀX – E(X)ǀ ≥ 20) ≤ 0,625
1 – P(ǀX – 500ǀ < 20) ≤ 0,625
–P(ǀX – 500ǀ < 20) ≤ 0,625 – 1
–P(ǀX – 500ǀ < 20) ≤ –0,375
P(ǀX – 500ǀ < 20) ≥ 0,375
P(–20 < X – 500 < 20) ≥ 0,375
P(–20 + 500 < X < 20 + 500) ≥ 0,375
P(480 < X < 520) ≥ 0,375
Donc la probabilité d’obtenir entre 480 et 520 fois Faces si on lance 1000 fois la pièce de monnaie est d’au moins 37,5 %.
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