L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit X une variable aléatoire d’univers Ω_X = {x₁ ; x₂ ; … ; x_n} :

p = P(X = x_i).

L’espérance mathématique de X (c’est-à-dire sa moyenne) est :

E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + … + p_nx_n.

La variance de X (qui mesure la dispersion des valeurs possibles de X autour de son espérance) est :

V(X) = p₁(x₁ – E(X))² + p₂(x₂ – E(X))² + … + p_n(x_n – E(X))²

ou V(X) = E(X²) – E(X)²

On note p_i = P(X = x_i) qui sont des nombres positifs.

On a x₁ < x₂ < … < x_n.

Donc p₁x₁ ≤ p₁x₂≤ p₁x_n ; p₂x₁ ≤ p₂x₂ ≤ p₂x_n ; … ; p_nx₁ ≤ p_nx₂≤ p_nx_n.

Et, par somme membre à membre de ces inégalités, on a :

p₁x₁ + p₂x₁ + … + p_nx₁ ≤ p₁x₁ + p₂x₂ + ... + p_nx_n ≤ p₁x_n + p₂x_n + … + p_nx_n

(p₁ + p₂ + … + p_n)x₁ ≤ E(X) ≤ (p₁ + p₂ + … + p_n)x_n

1x₁≤ E(X) ≤ 1x_n

x₁≤ E(X) ≤ x_n

Soit X une variable aléatoire positive d’univers Ω_X = {x₁ ; x₂ ; … ; x_i ; … ; x_n}. On note p_i = P(X = x_i).

Soit t un nombre réel strictement positif.

• Si t < x₁, alors P(X ≥ t) = P(X = x₁) + P(X = x₂) + … + P(X = x_n)

  P(X ≥ t) = p₁ + p₂ + … + p_n

  P(X ≥ t) = 1

  Or E(X) ≥ x₁ et, comme x₁ > t, donc E(X) > t et, comme on a que des nombres positifs, alors  > 1, donc P(X ≥ t) ≤ .

• Si x_n ≥ t ≥ x₁, alors il existe un indice i tel que t ≤ x_i, donc :

  P(X ≥ t) = P(X = x_i) + P(X = x_i+1) + … + P(X = x_n)

  P(X ≥ t) = p_i + p_i+1 + … + p_n

  t × P(X ≥ t) = t(p_i + p_i+1 + … + p_n)

  t × P(X ≥ t) = tp_i + tp_i+1 + … + tp_n

  Or t ≤ x_i et x_i < x_i+1 < … < x_n donc :

  t × P(X ≥ t) ≤ x_ip_i + x_i+1p_i+1 + … +  x_np_n

  Puisque nous n’avons que des nombres positifs :

  x_ip_i + x_i+1p_i+1 + … + x_np_n ≤ p₁x₁ + … + p_ix_i + p_i+1 + … + p_nx_n

  x_ip_i + x_i+1p_i+1 + … + x_np_n ≤ E(X)

  Donc :

  t × P(X ≥ t) ≤ E(X)

  P(X ≥ t) ≤ 

• Si t > x_n, alors P(X ≥ t) = 0 et l’inégalité est vérifiée.

On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres 200 et 0,03 ; son espérance est 200 × 0,03 = 6. On veut avoir une idée de la probabilité pour que X s'éloigne de son espérance 6, par exemple pour que X dépasse 150.

On utilise l’inégalité de Markov : .
Ici t = 150.

P(X ≥ 150) ≤ 0,04

Ce qui signifie qu’il y a moins de 4 % de chances pour que X dépasse 150, c’est-à-dire que la somme des probabilités P(X = 150) + P(X = 151) + P (X = 152) + … + P(X = 200) ne dépassera pas 0,04.

On considère la variable aléatoire Y = (X – E(X))² qui prend comme valeurs possibles y_i = (x_i – E(X))² et P(Y = y_i) = P(X = x_i) = p_i, donc :

E(Y) = p₁y₁ + p₂y₂ + … + p_ny_n

E(Y) = p₁(x₁ – E(X))² + p₁(x₂ – E(X))² + … + p_n(x_n – E(X))²

Ce qui donne E(Y) = V(X).

Appliquons l’inégalité de Markov à Y avec t².

On lance 1000 fois une pièce de monnaie et on note X le nombre de Faces obtenues.

X suit une loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,5.

E(X) = np = 1000 × 0,5 = 500

V(X) = np(1 – p) = 1000 × 0,5 × (1 – 0,5) = 250

Appliquons l’inégalité à t = 20.

En développant ces résultats, on obtient une autre information :

P(ǀX – E(X)ǀ ≥ 20) ≤ 0,625

1 – P(ǀX – 500ǀ < 20) ≤ 0,625

–P(ǀX – 500ǀ < 20) ≤ 0,625 – 1

–P(ǀX – 500ǀ < 20) ≤ –0,375

P(ǀX – 500ǀ < 20) ≥ 0,375

P(–20 < X – 500 < 20) ≥ 0,375

P(–20 + 500 < X < 20 + 500) ≥ 0,375

P(480 < X < 520) ≥ 0,375

Donc la probabilité d’obtenir entre 480 et 520 fois Faces si on lance 1000 fois la pièce de monnaie est d’au moins 37,5 %.