L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev - Maxicours

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Objectif

Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour estimer largement la probabilité pour qu’une variable aléatoire X s’éloigne de son espérance.

Points clés
  • Soit X une variable aléatoire positive d’espérance E(X) et soit t un nombre réel strictement positif, alors :

  • Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :

1. Mesurer l'écart entre une variable aléatoire et son espérance
a. Rappels

Soit X une variable aléatoire d’univers ΩX = {x1 ; x2 ; … ; xn} :

p = P(X = xi).

L’espérance mathématique de X (c’est-à-dire sa moyenne) est :

E(Xp1x1 + p2x2 + … + pnxn.

La variance de X (qui mesure la dispersion des valeurs possibles de X autour de son espérance) est :

V(Xp1(x1  E(X))2 + p2(x2 – E(X))2 + … pn(xn – E(X))2

ou V(X= E(X2) – E(X)2

b. Mesure de l'écart entre une variable aléatoire et son espérance
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et dont l’univers est ΩX = {x1 ; x2 ;  ; xn}. On mesure l’écart entre une valeur possible xi de X et l'espérance E(X) par ǀxi  E(X)ǀ.
On définit ainsi une variable aléatoire qui mesurera cet écart par la variable aléatoire Y = ǀX  E(X)ǀ qui est la variable aléatoire dont l’univers est .
Exemple
Soit X la variable aléatoire dont la loi est :
xi 0 1 2 3 4
pi = P(X = xi) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

E(X= p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4
E(X) = 0,1 × + 0,2 × + 0,4 × + 0,2 × + 0,1 × 4
E(X) = 2

Les valeurs possibles de Y = X  E(X) sont :
ǀ0  2ǀ = ǀ 2ǀ = 2
ǀ 2ǀ = ǀ1ǀ = 1
ǀ 2ǀ = ǀ0ǀ = 0
ǀ 2ǀ = ǀ1ǀ = 1
ǀ 2ǀ = ǀ2ǀ = 2

Les probabilités de Y sont :
P(Y = 0) = P(X = 2) = 0,4
P(Y = 1) = P(X = 1) + P(X = 3) = 0,2 + 0,2 = 0,4
P(Y = 2) = P(X = 0) + P(X = 4) = 0,1 + 0,1 = 0,2

Ainsi la loi de probabilité de Y est :
yi 0 1 2
pi = P(Y = yi) 0,4 0,4 0,2
2. Inégalité de Markov
a. Encadrement de E(X)
Propriété
Soit X une variable aléatoire positive d’univers ΩX = {x1 ; x2 ;  ; xi ;  ; xn} ordonné dans l’ordre croissant :

x1  E(X)  xn

Démonstration

On note pi = P(X = xi) qui sont des nombres positifs.

On a x1 < x2 <  < xn.

Donc p1x1  p1x2 p1xn ; p2x1  p2x2  p2xn ;  ; pnx1  pnx2 pnxn.

Et, par somme membre à membre de ces inégalités, on a :

p1x1 + p2x1 +  + pnx1  p1x1 + p2x2 + ... + pnxn ≤ p1xn + p2xn +  + pnxn

(p1 + p2 +  + pn)x1  E(X (p1 + p2 + … + pn)xn

1x1 E(X) 1xn

x1 E(X) xn

b. Théorème de Markov
Théorème
Soit X une variable aléatoire positive d’espérance E(X) et soit t un nombre réel strictement positif, alors :

Démonstration

Soit X une variable aléatoire positive d’univers ΩX = {x1 ; x2 ; … ; xi ; … ; xn}. On note pi = P(X = xi).

Soit t un nombre réel strictement positif.

  • Si t x1, alors P(X  t= P(X = x1+ P(X = x2+ … + P(X = xn)

    P(X  t) = p1 + p2 + … pn

    P(X  t) = 1

    Or E(X xet, comme x1 > t, donc E(X> t et, comme on a que des nombres positifs, alors  > 1, donc P(X  t)  .

  • Si xn ≥ t ≥ x1, alors il existe un indice i tel que t ≤ xi, donc :

    P(X  t= P(X xi+ P(X = xi+1+ … + P(X = xn)

    P(X  t= pi + pi+1 + … + pn

    t × P(X  t= t(pi + pi+1 + … + pn)

    t × P(X  t= tpi + tpi+1 + … + tpn

    Or t  xi et xi < xi+1 < … < xn donc :

    t × P(X  t xipi + xi+1pi+1 + … +  xnpn

    Puisque nous n’avons que des nombres positifs :

    xipi + xi+1pi+1 + … + xnpn ≤ p1x1 + … + pixi + pi+1 + … + pnxn

    xipi + xi+1pi+1 + … + xnpn  E(X)

    Donc :

    t × P(X  t E(X)

    P(X  t) ≤ 

  • Si t > xn, alors P(X  t= 0 et l’inégalité est vérifiée.
c. Exemple

On considère une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres 200 et 0,03 ; son espérance est 200 × 0,03 = 6. On veut avoir une idée de la probabilité pour que X s'éloigne de son espérance 6, par exemple pour que X dépasse 150.

On utilise l’inégalité de Markov : .
Ici t = 150.

P(X ≥ 150)  0,04

Ce qui signifie qu’il y a moins de 4 % de chances pour que X dépasse 150, c’est-à-dire que la somme des probabilités P(X = 150) + P(X = 151) + P (X = 152) + … + P(X = 200) ne dépassera pas 0,04.

3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
a. Théorème
Théorème
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X). Pour tout réel t strictement positif :

Démonstration

On considère la variable aléatoire Y = (X – E(X))2 qui prend comme valeurs possibles yi = (xi – E(X))2 et P(Y = yi= P(X = xi= pi, donc :

E(Y= p1y1 + p2y2 + … + pnyn

E(Y= p1(x1  E(X))2 + p1(x2  E(X))2 + … + pn(xn  E(X))2

Ce qui donne E(YV(X).

Appliquons l’inégalité de Markov à Y avec t2.

b. Exemple

On lance 1000 fois une pièce de monnaie et on note X le nombre de Faces obtenues.

X suit une loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,5.

E(X= np = 1000 × 0,5 = 500

V(X= np(1  p) = 1000 × 0,5 × (1  0,5) = 250

Appliquons l’inégalité à t = 20.

En développant ces résultats, on obtient une autre information :

PX  E(X)ǀ  20)  0,625

 PX  500ǀ < 20)  0,625

PX  500ǀ < 20)  0,625 – 1

PX  500ǀ < 20)  –0,375

PX  500ǀ < 20)  0,375

P(–20 < X  500 < 20)  0,375

P(–20 + 500 < X < 20 + 500)  0,375

P(480 < X < 520)  0,375

Donc la probabilité d’obtenir entre 480 et 520 fois Faces si on lance 1000 fois la pièce de monnaie est d’au moins 37,5 %.

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