La dérivée seconde d'une fonction
Objectifs
- Savoir calculer une dérivée seconde.
- Connaitre la notion de point d’inflexion.
Points clés
- La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I et soit c un réel de I. Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Pour bien comprendre
- Dériver une fonction.
- Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
1. Définition et notation
a. Définition
La dérivée seconde est la
dérivée de la dérivée d'une
fonction, lorsqu'elle est définie.
Exemple
On considère la fonction
qui est
définie sur 
. Sa
dérivée est la fonction 
qui est
définie sur . Sa
dérivée seconde est 6x qui est définie
sur .
On considère la fonction
qui est
définie sur . Sa
dérivée est la fonction qui est
définie sur . Sa
dérivée seconde est 6x qui est définie
sur .
b. Notation
La dérivée d’une fonction f est notée f’.
Remarque
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
La dérivée seconde d’une fonction f est notée f’’.
Remarque
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
2. Point d'inflexion
Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I
et C sa
courbe représentative.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I et soit c un réel de I.
Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I et soit c un réel de I.
Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Exemple
On considère la fonction définie et deux
fois dérivable sur .
On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x.
Le point A(0 ; 0) est un point d’inflexion de la courbe de f.
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x.
Le point A(0 ; 0) est un point d’inflexion de la courbe de f.
3. Dérivée seconde et extremum local
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est positive sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un minimum sur I en c.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est positive sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un minimum sur I en c.
Exemple
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .
On a
et 
.
pour x ∈ et 
soit x = –2.
Donc f admet un minimum sur en x = –2.
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .On a
et . pour x ∈ et soit x = –2.Donc f admet un minimum sur
en x = –2.
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est négative sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un maximum sur I en c.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est négative sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un maximum sur I en c.
Exemple
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .
On a
et 
.
pour x ∈ et 
soit x = 3.
Donc f admet un maximum sur en x = 3.
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .On a
et . pour x ∈ et
soit x = 3.Donc f admet un maximum sur
en x = 3.
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