La dérivée seconde d'une fonction - Maxicours

La dérivée seconde d'une fonction

Objectifs
  • Savoir calculer une dérivée seconde.
  • Connaitre la notion de point d’inflexion.
Points clés
  • La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.
  • Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
  • Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I et soit c un réel de I. Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Pour bien comprendre
  • Dériver une fonction.
  • Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
1. Définition et notation
a. Définition
La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.
Exemple
On considère la fonction qui est définie sur . Sa dérivée est la fonction   qui est définie sur . Sa dérivée seconde est 6x qui est définie sur .
b. Notation

La dérivée d’une fonction f est notée f’.

Remarque
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation .

La dérivée seconde d’une fonction f est notée f’’.

Remarque
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation .
2. Point d'inflexion
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.

Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I et soit c un réel de I.
Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Exemple
On considère la fonction définie et deux fois dérivable sur .
On a f’(x= 3x2 et f’’(x= 6x.
 
Le point A(0 ; 0) est un point d’inflexion de la courbe de f.
3. Dérivée seconde et extremum local
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est positive sur I et si, pour un réel c de I,  f’(c0, alors f admet un minimum sur I en c.

Exemple
On considère la fonction définie et deux fois dérivable sur .
On a et .
 pour x et  soit x = –2.
Donc f admet un minimum sur  en x = –2.
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est négative sur I et si, pour un réel c de I,  f’(c0, alors f admet un maximum sur I en c.

Exemple
On considère la fonction définie et deux fois dérivable sur .
On a  et .
 pour x et  soit x = 3.
Donc f admet un maximum sur en x = 3.

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