La somme de 2 variables aléatoires
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Effectuer des opérations sur deux lois de variables aléatoires et notamment la somme de deux variables.
- Soit X une
variable aléatoire et a et b deux nombres
réels.
L’espérance de aX + b est E(aX + b) = aE(X) + b.
La variance de aX + b est V(aX + b) = a2V(X). - Soit X et
Y deux variables
aléatoires discrètes d’univers
respectifs
et
.
La variable couple Z = (X ; Y) a pour universet
.
- Soit X et
Y deux variables
aléatoires discrètes.
L’espérance de la somme de X et Y est égale à la somme des espérances de X et Y, c’est-à-dire E(X + Y) = E(X) + E(Y). - Soit X et
Y deux variables
aléatoires indépendantes :
V(X + Y) = V(X) + V(Y).
- Calculer des probabilités.
- Connaitre la notion de variables aléatoires.
- Calculer espérance et variance.
Soit X une
variable aléatoire discrète
d’univers dont la loi est
donnée dans le tableau suivant :
xi | x1 | x2 | … | xn |
pi = p(X = xi) | p1 | p2 | … | pn |
L'espérance mathématique de X est :

La variance de X est :


L’écart-type de X est :


Y = aX + b est la variable aléatoire discrète d’univers

Autrement dit, il n’y a que l’univers de Y qui change, les probabilités restent les mêmes.
Soit X la variable aléatoire discrète de loi :
xi | 1 | 2 | 3 |
pi = p(X = xi) | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
Donc la loi de la variable aléatoire Y = 2X + 1 sera :
yi | 3 | 5 | 7 |
pi = p(Y = yi) | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
L’espérance de aX + b est E(aX + b) = aE(X) + b.
Soit X une
variable aléatoire discrète et
Y =
aX + b,
avec a
et b
deux nombres réels. Donc, pour tout
1 ≤ i ≤ n
:
yi = axi + b
et p(Y = yi) =
p(X = xi)
Or et
.
Donc E(Y) = aE(X) +
b × 1.
E(aX + b)
= aE(X) +
b
E(Y) = aE(X) + b
La variance de aX + b est V(aX + b) = a2V(X).
On dispose de deux urnes. L’urne n° 1
contient quatre jetons, dont trois sont
numérotés 1 et un
numéroté 2. L’urne
n° 2 contient 2 jetons,
numérotés 3 et 4.
On tire d’abord un jeton dans l’urne
n° 1 et on note son numéro, puis on tire
un jeton dans l’urne n° 2 et on note
son numéro.
On note X
le numéro du jeton tiré dans
l’urne n° 1 ; Y le numéro du
jeton tiré dans l’urne n° 2 et
Z le
couple des numéros obtenus lors de ces deux
tirages.
X est une variable aléatoire dont
l’univers est et dont la loi est :
xi | 1 | 2 |
pi = p(X = xi) | 0,75 | 0,25 |
Y est une
variable aléatoire dont l’univers est
et dont la loi est :
yi | 3 | 4 |
pi = p(Y = yi) | 0,5 | 0,5 |
Z est une
variable aléatoire dont l’univers est
, soit le produit
cartésien
.
On peut noter Z par (X ; Y).
La loi de Z peut être
déduite de l’arbre suivant :

p(Z = (1 ; 3)) = 0,375 ;
p(Z = (1 ; 4)) = 0,375 ;
p(Z = (2 ; 3)) = 0,125
et p(Z = (2 ; 4)) = 0,125.
Cette loi peut être représentée
sous forme d’un tableau à double
entrée :
Y X |
3 | 4 |
1 | 0,375 | 0,375 |
2 | 0,125 | 0,125 |
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes d’univers respectifs


La variable couple Z = (X ; Y) a pour univers


La loi de Z peut être présentée sous forme d’un tableau à double entrée :
Y X |
y1 | y2 | ... | ym |
x1 | p(Z =( x1 ; y1)) | p(Z =( x1 ; y2)) | ... | p(Z =( x1 ; ym)) |
x2 | p(Z =( x2 ; y1)) | p(Z =( x2 ; y2)) | ... | p(Z =( x2 ; ym)) |
... | ... | ... | ... | ... |
xn | p(Z =( xn ; y1)) | p(Z =( xn ; y2)) | ... | p(Z =( xn ; ym)) |
On peut utiliser la loi d’un couple de variables aléatoires pour déterminer la loi d’une variable aléatoire résultant d’opérations à partir de ces deux variables aléatoires.
Soit X et Y deux variables aléatoires. Soit Z = (X ; Y) le couple de X et Y dont la loi est :
Y X |
0 | 2 | 4 |
1 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
2 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
On va déterminer la loi de la variable
aléatoires M =
XY.
Les univers de X et Y sont et
.
Les valeurs possibles de M qui est le produit de
X par
Y sont
:
• 0 qui correspond à 1 × 0 et 2 × 0 ;
• 2 qui correspond à 1 × 2 ;
• 4 qui correspond à 1 × 4 et 2 × 2 ;
• 8 qui correspond à 2 × 4.
Donc p(M = 0) = p(Z = (1 ; 0)) + p(Z = (2 ; 0)) = 0,1 + 0,2 = 0,3
p(M = 2) = p(Z = (1 ; 2)) = 0,3
p(M = 4) = p(Z = (1 ; 4)) + p(Z = (2 ; 2)) = 0,2 + 0,1 = 0,3
p(M = 8) = p(Z = (2 ; 4)) = 0,1
Donc la loi de M est :
mi | 0 | 2 | 4 | 8 |
pi = p(M = mi) | 0,3 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Une urne contient 5 jetons : 3 jetons
numérotés 1 et 2 jetons
numérotés 2. On tire au hasard un
jeton et on note son numéro. On ne le remet
pas dans l’urne, on tire un autre jeton et on
note son numéro.
On note X
le numéro du jeton du premier tirage et
Y le
numéro du jeton du second tirage.
On va déterminer la loi Z = (X ; Y)
et la loi de la somme S = X + Y.
Pour faciliter les calculs, on représente la
situation sous la forme d’un arbre
pondéré :

Y X |
1 | 2 |
1 | 0,3 | 0,3 |
2 | 0,3 | 0,1 |
Son univers est 2 ; 3 et 4.
p(S = 2) = p(Z = (1 ; 1) = 0,3
p(S = 3) = p(Z = (1 ; 2) + p(Z = (2 ; 1) = 0,3 + 0,3 = 0,6
p(S = 4) = p(Z = (2 ; 2) = 0,1
si | 2 | 3 | 4 |
pi = p(S = si) | 0,3 | 0,6 | 0,1 |
On peut aussi déduire les lois de X et Y. En effet :
p(X = 1) = p(Z = (1 ; 1)) + p(Z = (1 ; 2)) = 0,3 + 0,3 = 0,6
p(X = 2) = p(Z = (2 ; 1)) + p(Z = (2 ; 2)) = 0,3 + 0,1 = 0,4
D’où la loi de X est :
xi | 1 | 2 |
pi = p(X = xi) | 0,6 | 0,4 |
p(Y = 1) = p(Z = (1 ; 1)) + p(Z = (2 ; 1)) = 0,3 + 0,3 = 0,6
p(Y = 2) = p(Z = (1 ; 2)) + p(Z = (2 ; 2)) = 0,3 + 0,1 = 0,4
D’où la loi de Y est :
yi | 1 | 2 |
pi = p(Y = yi) | 0,6 | 0,4 |
Soit X et
Y deux
variables aléatoires discrètes
d’univers respectifs et
.
On donne la loi de la variable couple Z = (X ; Y)
sous la forme du tableau à double entrée
suivant.
Y X |
y1 | y2 | ... | ym |
x1 | p(Z =( x1 ; y1)) | p(Z =( x1 ; y2)) | ... | p(Z =( x1 ; ym)) |
x2 | p(Z =( x2 ; y1)) | p(Z =( x2 ; y2)) | ... | p(Z =( x2 ; ym)) |
... | ... | ... | ... | ... |
xn | p(Z =( xn ; y1)) | p(Z =( xn ; y2)) | ... | p(Z =( xn ; ym)) |
Qu’on peut écrire en plus simple en notant pi;j = p(Z = (xi ; yj))
Y X |
y1 | y2 | ... | ym |
x1 | p1 ; 1 | p1 ; 2 | ... | p1 ; m |
x2 | p2 ; 1 | p2 ; 2 | ... | p2 ; m |
... | ... | ... | ... | ... |
xn | pn ; 1 | pn ; 2 | ... | pn ; m |
Donc la loi de X est définie par
:
Soit .
C’est-à-dire :
xi | x1 | x2 | ... | xn |
pi = p(X = xi) | p1;1 + p1;2 + … + p1;m | p2;1 + p2;2+ … + p2;m | ... | pn;1+ pn;2+ … + pn;m |
De même la loi de Y est définie par :
Soit :
C’est-à-dire :
yi | y1 | y2 | ... | ym |
qi = p(Y = yi) |
p1;1 + p2;1+ … + pn;1 |
p1;2+ p2;2+ … + pn;2 |
... | p1;m + p2;m + … + pn;m |
Autrement dit, pour calculer les probabilités de
X, on
calcule les sommes des lignes et, pour Y, on calcule les sommes
des colonnes.
Si on note pi = p(X =
xi) et qj =
p(Y =
yj), on peut
représenter les lois de Z ; X et Y dans un même
tableau.
Y X |
y1 | y2 | ... | ym | La loi de X |
x1 | p1 ; 1 | p1 ; 2 | ... | p1 ; m |
![]() |
x2 | p2 ; 1 | p2 ; 2 | ... | p1 ; m |
![]() |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
xn | pn ; 1 | pn ; 2 | ... | pn ;m |
![]() |
La loi de Y |
![]() |
![]() |
... |
![]() |
On considère la loi de la variable aléatoire couple (X ; Y) suivante.
Y X |
2 | 3 | 4 |
0 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
1 | 0,1 | 0,2 | 0,1 |
La loi de X est définie
par :
p(X = 0) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6
p(X = 1) = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4
La loi de Y est définie
par :
p(Y = 2) = 0,1 + 0,1 = 0,2
p(Y = 3) = 0,3 + 0,2 = 0,5
p(Y = 4) = 0,2 + 0,1 = 0,3
Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes.
L’espérance de la somme de X et Y est égale à la somme des espérances de X et Y, c’est-à-dire :
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
En prenant la loi couple Z = (X ; Y) et S = X + Y, on a :
E(X + Y)
= p1x1 +
p2x2 + ... +
pnxn+
q1y1 +
q2y2 + ... +
qmym
D’où
E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Soit X et Y deux variables aléatoires dont la loi couple Z = (X ; Y) est :
Y X |
0 | 1 |
0 | 0,1 | 0,2 |
1 | 0,3 | 0,1 |
2 | 0,2 | 0,1 |
Donc la loi de X est définie
par
p(X = 0) = 0,1 + 0,2 = 0,3
p(X = 1) = 0,3 + 0,1 = 0,4
p(X = 2) = 0,2 + 0,1 = 0,3
Soit :
xi | 0 | 1 | 2 |
pi = p(X = xi) | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
E(X) = 0,3 × 0 + 0,4 × 1 + 0,3 × 2 = 1
La loi de Y est définie par
:
p(Y = 0) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6
p(Y = 1) = 0,2 + 0,1 + 0,1 = 0,4
Soit :
yi | 0 | 1 |
pi = p(Y = yi) | 0,6 | 0,4 |
E(Y) = 0,6 × 0 + 0,4 × 1 = 0,4
La loi de S = X + Y
est définie par :
p(S = 0) = p(Z = (0 ; 0)) = 0,1
p(S = 1) = p(Z = (0 ; 1)) + p(Z = (1 ;0) = 0,2 + 0,3 = 0,5
p(S = 2) = p(Z = (2 ; 0)) + p(Z = (1 ; 1)) = 0,2 + 0,1 = 0,3
p(S = 3) = p(Z = (2 ; 1)) = 0,1
Soit :
si | 0 | 1 | 2 | 3 |
pi = p(S = si) | 0,1 | 0,5 | 0,3 | 0,1 |
E(S) = E(X + Y)
= 0,1
× 0
+ 0,5
× 1
+ 0,3
× 2
+ 0,1
× 3
= 1,4
On a E(X)
= 1 et
E(Y)
= 0,4, donc
E(X) + E(Y)
= 1,4, donc on a
bien E(X + Y) = E(X) + E(Y).
Soit X et Y deux variables aléatoires d’univers respectifs


X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes si et seulement si :

Soit

Et en utilisant les notations précédentes : pij = pi × qj.
Ainsi la loi de Z est :
Y X |
y1 | y2 | ... | ym |
x1 | p1× q1 | p1× q2 | ... | p1× qm |
x2 | p2× q1 | p2× q2 | ... | p2× qm |
... | ... | ... | ... | ... |
xn | pn × q1 | pn × q2 | ... | pn × qm |
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes dont les lois sont :
xi | 0 | 1 |
pi = p(X = xi) | 0,4 | 0,6 |
yi | 0 | 1 | 2 |
qi = p(Y = yi) | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Donc la loi de Z = (X ; Y)
Y X |
0 | 1 | 2 |
0 | 0,4 × 0,2 = 0,08 | 0,4 × 0,3 = 0,12 | 0,4 × 0,5 = 0,2 |
1 | 0,6 × 0,2 = 0,12 | 0,6 × 0,3 = 0,18 | 0,6 × 0,5 = 0,3 |
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes :
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes :
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes alors :
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes.
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