La convexité d'une fonction
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- Connaitre les différentes définitions d’une fonction convexe.
- Savoir déterminer si une fonction est convexe.
- Savoir trouver un point d’inflexion.
- Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
- Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.
- Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f , alors on dit que f est concave.
- La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.
- La fonction f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.
- f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.
- Connaitre la notion de dérivée seconde.
- Dériver une fonction.
- Connaitre la notion de point d’inflexion.
Dans tout ce paragraphe on considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
On peut aussi donner les propriétés suivantes qui sont équivalentes aux définitions précédentes.
La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.
f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.
On peut aussi définir une fonction convexe à partir de la définition d’une fonction concave.
f est une fonction convexe sur I si (–f) est concave sur I.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.
Considérons la fonction f(x) = x2 définie et dérivable sur
.On a f’(x) = 2x.
f’ est donc une fonction croissante sur
. Donc f est une fonction
convexe sur .
Il existe une propriété identique pour les fonctions concaves.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f’ est décroissante sur I.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.
On considère la fonction
.On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x. Pour
, 
donc f est convexe sur
.
On a la propriété correspondante sur les fonctions concaves. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est négative sur I.
Soit f une fonction définie et convexe sur un intervalle I, alors, pour tous nombres réels a et b de I, on a :
.
Cette propriété est facile à comprendre en observant le dessin ci-dessous.
Il existe une propriété similaire sur les fonctions concaves.
Soit f une fonction définie et concave sur un intervalle I, alors, pour tous nombres réels a et b de I, on a :
.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I.
Le point d’inflexion est le point de I, s’il existe, où la fonction passe de concave à convexe ou de convexe à concave.
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