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La convexité d'une fonction

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Objectifs
  • Connaitre les différentes définitions d’une fonction convexe.
  • Savoir déterminer si une fonction est convexe.
  • Savoir trouver un point d’inflexion.
Points clés
  • Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
  • Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.
  • Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f , alors on dit que f est concave.
  • La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.
  • La fonction f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.
  • f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.
  • Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion de dérivée seconde.
  • Dériver une fonction.
  • Connaitre la notion de point d’inflexion.
1. Définitions d’une fonction convexe

Dans tout ce paragraphe on considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.

a. Première définition d’une fonction convexe
Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.

Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f, alors on dit que f est concave.

b. Deuxième définition d’une fonction convexe

On peut aussi donner les propriétés suivantes qui sont équivalentes aux définitions précédentes.

Propriété
La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.

Propriété
f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.

c. Troisième définition d’une fonction convexe

On peut aussi définir une fonction convexe à partir de la définition d’une fonction concave.

Propriété
f est une fonction convexe sur I si (f) est concave sur I.
2. Propriétés des fonctions convexes
Propriété 1 (admise)
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.
Exemple
Considérons la fonction f(xx2 définie et dérivable sur .
On a f’(x= 2x.
f’ est donc une fonction croissante sur . Donc est une fonction convexe sur .

Remarque
Il existe une propriété identique pour les fonctions concaves.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f’ est décroissante sur I.
Propriété 2 (admise)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.
Exemple
On considère la fonction .
On a f’(x= 3x2 et f’’(x= 6x. Pour  donc f est convexe sur .
Remarque
On a la propriété correspondante sur les fonctions concaves. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est négative sur I.
Propriété 3 (admise)
Soit f une fonction définie et convexe sur un intervalle I, alors, pour tous nombres réels a et b de I, on a : .

Cette propriété est facile à comprendre en observant le dessin ci-dessous.


Remarque
Il existe une propriété similaire sur les fonctions concaves.
Soit f une fonction définie et concave sur un intervalle I, alors, pour tous nombres réels a et b de I, on a : .
3. Point d’inflexion
Rappel
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.

Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I.
Le point d’inflexion est le point de I, s’il existe, où la fonction passe de concave à convexe ou de convexe à concave.

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