La composée de deux fonctions
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- Comprendre la composition de deux fonctions.
- Savoir trouver une image par une fonction composée.
- Savoir dériver une fonction composée.
- Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I et
prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K. On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g et elle se note
.
- Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.
- Soit f une
fonction dérivable sur un
intervalle I et
g une fonction
dérivable sur f(I).
La fonction est dérivable
sur I et on a,
pour tout x appartenant
à I : 
.
- Connaitre la notion d’image par une fonction.
- Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K.
On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g et elle se note
.
Soit f et g deux fonctions définies sur
telles que f(x) = x + 3
et g(x) = 2x – 5.On a :
est très souvent
différente de 
.
On reprend les deux fonctions de l’exemple précédent : f(x) = x + 3 et g(x) = 2x – 5.
On a donc bien
.
Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.
Soit deux fonctions f et g définies sur
telles que f(x) = x + 3
et g(x) = x2 + 2.Calculons
.On a :
Donc
.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur f(I).
La fonction
est dérivable
sur I et on a,
pour tout x appartenant
à I : .
• Soit deux fonctions f et g définies
sur par f(x) = 5x + 3 et
g(x) = x2 + 2.
On a 
.
Calculer 
.
On a f’(x) = 5 et g’(x) = 2x.
• Soit deux fonctions f et g définies
sur par f(x) = 4x2 + 3
et g(x) = x10.
On a 
.
Calculer .
On a f’(x) = 8x et g'(x) = 10x9.
• Calculer la dérivée de la fonction
h
définie sur par 
.
On a 
avec 
et 
.
On a f’(x) = 2x et 
.
Donc 
.
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