La composée de deux fonctions - Maxicours

La composée de deux fonctions

Objectifs
  • Comprendre la composition de deux fonctions.
  • Savoir trouver une image par une fonction composée.
  • Savoir dériver une fonction composée.
Points clés
  • Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J.
    Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K. On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g et elle se note .
  • Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.
  • Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur f(I).
    La fonction est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I : .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion d’image par une fonction.
  • Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
1. Définition et notation
a. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K.
On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g et elle se note .

Exemple
Soit f et g deux fonctions définies sur telles que f(xx + 3 et g(x= 2x  5.
On a :

Remarque importante
est très souvent différente de .
Exemple
On reprend les deux fonctions de l’exemple précédent : f(xx + 3 et g(x= 2x 5.

On a donc bien .
b. Calculer une image par la composée de deux fonctions

Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.

Exemple
Soit deux fonctions f et g définies sur telles que f(xx + 3 et g(xx2 + 2.
Calculons .
On a :

Donc .
2. Dérivée d’une fonction composée de deux fonctions dérivables
Propriété (admise)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur f(I).
La fonction est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I : .
Exemples

• Soit deux fonctions f et g définies sur  par f(x= 5x + 3 et g(xx2 + 2.
On a .
Calculer .
On a f’(x= 5 et g’(x= 2x.

• Soit deux fonctions f et g définies sur  par f(x= 4x2 + 3 et g(xx10.
On a .
Calculer .
On a f’(x8x et  g'(x= 10x9.

• Calculer la dérivée de la fonction h définie sur par .
On a avec et .
On a f’(x= 2x et .
Donc .

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