Ensembles et sous-ensembles : réunion, produit cartésien, k-uplets - Maxicours

Ensembles et sous-ensembles : réunion, produit cartésien, k-uplets

Objectifs
  • Savoir dénombrer à l’aide du principe additif.
  • Savoir dénombrer à l’aide du principe multiplicatif.
  • Effectuer des dénombrements simples dans différentes situations.
Points clés
  • On dit que des parties E1, E2, … , Ep forment une partition de E lorsqu'elles sont disjointes deux à deux et lorsque leur réunion est égale à E.
  • Si E1, E2, … , Ep forment une partition d’un ensemble fini E alors card E = card E1 + card E2 + … + card Ep.
  • Le produit cartésien E1 × E2 × … × Ek est constitué par les k-uplets (x1, x2, … , xk) tels que x1  E1, x2  E2, … , xk ∈ Ek.
  • Le nombre d’éléments du produit cartésien E1 × E2 × … × Ek est : card(E1 × E2 × … × Ek= card E1 × card E2 × … × card Ek.
  • Soit E un ensemble fini de cardinal n. Alors le nombre de k-uplets de E est nk.
Pour bien comprendre

Connaitre le vocabulaire des ensembles.

1. Parties d'un ensemble – Rappels

Soit E un ensemble et A et B deux parties de E.

Intersection de deux ensembles Réunion de deux ensembles Ensembles disjoints
 B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.  B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.  B = ∅
Soit E un ensemble et E1, E2, … , Ep des parties de E.
On dit que les parties E1, E2, … , Ep forment une partition de E lorsque :
• elles sont disjointes deux à deux : pour tout i ≠ j on a Ei  Ej = ∅.
• leur réunion est égale à E : E1  E2  …  Ep = E.
Exemple 1
E1, E2, E3, E4, E5, E6 sont disjoints deux à deux et on a :
= E1  E2 E3  E4  E5  E6.
Donc E1, E2, E3, E4, E5, E6 forment une partition de E.
Exemple 2
On considère E l’ensemble des 26 lettres de l’alphabet.
Soit C l’ensemble des consonnes et V l’ensemble des voyelles.
Alors C = ∅ et C  V = E.
Donc C, V forment une partition de E.
Exemple 3
Soit E l’ensemble des chiffres : E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Soit A l’ensemble des chiffres strictement positifs et B l’ensemble des chiffres pairs.
Alors A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et B = {0, 2, 4, 6, 8}.
D’où A  B = E mais A  B = {2, 4, 6, 8} ≠ ∅.
Donc A, B ne forment pas une partition de E.
2. Principe additif
Soit E un ensemble qui possède un nombre fini d’éléments.
Le cardinal de E est le nombre d'éléments de cet ensemble et on le note card E.
Propriété
Si E1, E2, … , Ep forment une partition d’un ensemble fini E, alors card E = card E1 + card E2 + … + card Ep.
Exemple
Combien de carrés de différentes longueurs peut-on compter dans la figure ci-dessous ?
Soit E l’ensemble de tous les carrés de la figure.
On note E1, E2, E3, E4, E5 les ensembles de carrés de côtés respectifs 1, 2, 3, 4 et 5. Alors E1, E2, E3, E4, E5 forment une partition de E.
On dénombre ensuite le nombre d’éléments de ces ensembles.

On compte le nombre de carrés de côté 1 :
Il y en a 5 par ligne et 5 en hauteur, donc en tout 5 × 5 = 25 carrés de côtés exactement égaux à 1, donc card E1 = 25.

On compte ensuite le nombre de carrés de côté 2 :
Il y en a 4 par ligne et 4 en hauteur donc en tout 4 × 4 = 16, donc card E2 = 16.

Et ainsi de suite : card E3 = 9 ; card E4 = 4 ; card E5 = 1.

On a donc :
card E = card E1 + card E2 + card E3 + card E4 + card E5 + card E6
card E = 25 + 16 + 9 + 4 + 1
card E = 55
Il y a donc 55 carrés dans la figure.
3. Produit cartésien - Principe multiplicatif
a. Produit cartésien de deux ensembles
Soit E et F deux ensembles.
On appelle produit cartésien de E et F l’ensemble E × F constitué des couples (ab) tels que a ∈ E et b ∈ F.

À retenir : E × F se lit « E croix F ».

Exemple 1
Dans un repère du plan, les coordonnées d’un point M sont données par un couple (x ; y) du produit cartésien R × R que l’on note R2.
Exemple 2
Si E = {abc} et F = {7, 8}, alors (b, 8) et (c, 7) sont des couples du produit cartésien E × F.
Remarque
Le produit cartésien E × F est différent du produit cartésien F × E . Ainsi, par exemple, le couple (a, 7) est différent du couple (7, a).
Propriété
Nombre d’éléments d’un produit cartésien (principe multiplicatif)
Soit E et F deux ensembles finis.
Le nombre d’éléments du produit cartésien E × F est égal au produit des cardinaux de E et F :

card(E × F) = card E × card F

Démonstration

Celle-ci repose sur le principe multiplicatif.

Si card E m et card F n, alors (x ; y) est un couple du produit cartésien E × F :

  • on a m choix possibles pour choisir le 1er élément x dans E ;
  • on a n choix possibles pour choisir le 2e élément y dans F.

Donc on a en tout m × n possibilités pour le couple (x ; y), c’est-à-dire :

card(E × F) = m × n = card E × card F

Exemple
Retour sur l’exemple 2 précédent
card E = 3 et card F = 2 donc card(E × F) = 6
Voici tous les couples : E × F = {(a, 7), (a, 8), (b, 7), (b, 8), (c, 7), (c, 8)}.
b. Produit cartésien de trois ensembles ou plus
Soit E, F et G trois ensembles.
On appelle produit cartésien de E, F et G l’ensemble E × F × G constitué des triplets (abc) tels que a ∈ E, b ∈ F et c ∈ G.
Exemple 1
Dans un repère de l’espace, les coordonnées d’un point M sont données par un triplet (x ; yz) du produit cartésien R × R × R que l’on note R3.
Exemple 2
Si E = {abc}, F = {7, 8} et G = {1, 2}, alors (a, 8, 1) et (c, 7, 2) sont des triplets du produit cartésien E × F × G.
Propriété
Soit E, F et G trois ensembles finis, alors le nombre d’éléments du produit cartésien E × F × G est :

card(E × F × G) = card E × card F × card G

Démonstration

Si card E m, card F n et card G p, alors (x ; y ; z) est un triplet du produit cartésien E × F × G :

  • on a m choix possibles pour choisir le 1er élément x dans E ;
  • on a n choix possibles pour choisir le 2e élément y dans F ;
  • on a p choix possibles pour choisir le 3e élément z dans G.

Donc on a en tout m × n × p possibilités pour le triplet (x ; y ; z), c’est-à-dire :

card(E × F × G) = m × n × p = card E × card F × card G

Exemple
Retour sur l’exemple 2 précédent
card E = 3, card F = 2 et card G = 2 donc card(E × F × G) = 12


On peut généraliser le produit cartésien à plus de trois ensembles :

On considère E1, E2, … , Ek des ensembles.
Alors le produit cartésien E1 × E2 × … × Ek est constitué par les k-uplets (ou k-listes) (x1x2, … , xk) tels que x1 ∈ E1, x2 ∈ E2, … , xk ∈ Ek.
Propriété
Soit E1, E2, … , Ek des ensembles finis.
Alors le nombre d’éléments du produit cartésien E1 × E2 × … × Ek est :

card(E1 × E2 × … × Ek= card E1 × card E2 × … × card Ek

4. k-uplet d'un ensemble à n éléments
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
On appelle k-uplets (ou k-listes) de E tout k-uplet (x1, x2, … , xk) du produit cartésien E × E  × … × E.

À retenir : tous les éléments du k-uplet sont des éléments de E.

Cas particuliers :
  • si k = 2 alors (x1x2) est un couple du produit cartésien E × E.
  • si k = 3 alors (x1x2x3) est un triplet du produit cartésien E × E × E.

À retenir :

  1. Un k-uplet est une liste ordonnée donc l’ordre des éléments de la liste est important.
    Exemple : Soit E = {abcdef}, alors (aec) et (ace) sont des triplets distincts de E.
  2. Les xi ne sont pas nécessairement distincts : certains peuvent être égaux.
    Exemple : (ddfc) est un 4-uplet de E.
  3. On peut avoir k > n.
    Exemple : (bedfcace) est un 8-uplet de E.
Propriété
Soit E un ensemble fini de cardinal n. Alors le nombre de k-uplets de E est nk.
Démonstration

Soit (x1x2, … , xk) un k-uplet de E : c’est un élément du produit cartésien E × E × … × E.
Alors d’après la propriété du produit cartésien : card(E × E × … × E) = card E × card E × … × card E = n × n × … × n = nk

Application : Tirage successif avec remise

Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10.

On tire successivement et avec remise 5 boules de l’urne.
Cela signifie qu’on tire la première boule et on note son numéro (par exemple, 2) puis on la remet dans l’urne. On tire ensuite la deuxième boule et on regarde son numéro (par exemple, 9) et ainsi de suite.

Un tirage possible est par exemple (2, 9, 7, 9, 1) : c’est un 5-uplet de E où E est constitué des 10 boules (n = 10).

Le nombre de tirages possibles est donc 105 = 100 000.

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