Nombre de parties d'un ensemble fini et permutations
Effectuer des dénombrements simples dans différentes situations.
- Si E est un ensemble à n éléments, alors le nombre de parties de E est 2n : card P(E) = 2n.
- Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier tel que
1 ≤ k ≤ n. Alors le nombre de
k-uplets
d’éléments distincts de E
est n(n – 1) × … × (n – k + 1) =
.
- Soit E un ensemble fini de cardinal n. On appelle permutation de E un n-uplet d’éléments distincts de E. Le nombre de permutations de E est n! = n × (n – 1) × … × 1.
- Connaitre le vocabulaire des ensembles.
- Calculer le cardinal d’un ensemble.
- Connaitre les propriétés des ensembles et sous-ensembles, k-uplets.
- Définir une épreuve de Bernoulli.
L’ensemble de toutes les parties de E est notée P(E). On a alors A ∈ P(E).
Soit E = {a, b, c}. Alors {a} et {b, c} sont des parties de E.
Soit E un ensemble de cardinal n.
Alors le nombre de parties de E est 2n : card P(E) = 2n.
Soit E un ensemble de cardinal n : E = {x1, x2, …, xn} et A une partie de E.
Chaque élément xi de E
appartient ou n’appartient pas à A.
On peut donc associer à la partie A un unique
n-uplet de
{0 ; 1} avec la convention : le
i-ème
élément du n-uplet vaut 0 si
xi 
A et il vaut 1 si
xi ∈ A.
Par exemple, si E = {x1, x2, x3, x4}
et A = {x2,
x4},
alors on associe à A le
4-uplet (0 ; 1 ; 0 ; 1).
Réciproquement, à chaque n-uplet de {0 ; 1}, on peut associer une unique partie A de E.
Il y a donc autant de parties A que de
n-uplets de
l’ensemble {0 ; 1} de
cardinal 2.
Or le nombre de n-uplet d’un ensemble
de cardinal 2 est 2n.
Donc card P(E) = 2n.
Si on reprend l’exemple précédent avec E = {a, b, c} : card E = 3.
Alors card P(E) = 23 = 8.
On peut écrire toutes les parties de E :
P(E) = {ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E}.
- Soit E un alphabet à 2
éléments : E = {A, B}. Un mot de
longueur n est
un n-uplet
de E. Donc le nombre de mots de
longueur n (qui aient un sens ou non)
est 2n.
Exemple : il y a 25 = 32 mots de 5 lettres.
- On considère une épreuve de
Bernoulli : elle a deux issues (
le succès et 
l’échec). On
répète n fois de manière
identique et indépendante cette épreuve. On
obtient ainsi un n-uplet
de E = {, }. Alors le nombre d'issues
possibles est 2n.
Exemple : pour n = 3, on a l’arbre suivant.Il y a 23 = 8 issues possibles. Par exemple,
et 
sont des issues possibles.
On appelle k-uplet d’éléments distincts de E tout k-uplet de E dont les éléments sont deux à deux distincts.
Si E = {a, b, c, d}, alors card E = 4.
Un triplet d’éléments distincts de E est par exemple (d, c, a).
En revanche, (c, c, a) est un triplet de E, mais n’est pas un triplet d’éléments distincts de E.
Une k-liste de E de cardinal n peut contenir plus de n éléments mais une k-liste d’éléments distincts de E ne peut pas contenir plus de n éléments. D’où la condition 1 ≤ k ≤ n.
Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier tel que 1 ≤ k ≤ n.
Alors le nombre de k-uplets d’éléments distincts de E est :
n × (n – 1) × … × (n – k + 1).
Soit (x1, x2, …, xk) un k-uplet d’éléments distincts de E : c’est un élément du produit cartésien E1 × E2 × … × Ek.
On a n choix
possibles pour x1
: card E1 = n.
Puis, ce choix étant fait, il reste
(n – 1) choix
possibles pour x2 :
card E2 = n – 1.
Il y a (n
–
k + 1) choix possibles pour
xk :
card Ek = n – k + 1.
Alors, d’après la propriété du
produit cartésien :
card(E1 × E2 × … × En) = card E1 × card E2 × … × card En
card(E1 × E2 × … × En) = n × (n + 1) × … × (n – k + 1)
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10.
On tire successivement et sans remise 5 boules de l’urne.
Cela signifie qu’on tire la première boule et on note son numéro (par exemple 2), puis on ne la remet pas dans l’urne. On tire ensuite la deuxième boule et on regarde son numéro (par exemple 9) et ainsi de suite.
Un tirage possible est par exemple (2 ; 9 ; 6 ; 3 ; 1) : c’est un 5-uplet d’éléments distincts de E où E est constitué des 10 boules (n = 10).
Le nombre de tirages possibles est donc 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30 240.
Si E = {a, b, c, d}.
Une permutation de E est par exemple (b, d, c, a) ou (d, a, b, c).
En revanche, (d, c, c, a) n’est pas une permutation de E car le 4-uplet contient deux éléments identiques.
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
Alors le nombre de permutations de E est n × (n – 1) × … × 1.
On le note n! = n(n – 1) × … × 1.
La démonstration découle directement de la propriété des k-uplets d’éléments distincts.
n! se lit « factorielle n ».
Avec cette notation factorielle, le nombre de k-uplets d’éléments distincts de E est :
n(n – 1) × … × (n – k + 1) =
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10.
On tire successivement et sans remise les 10 boules de l’urne.
Le nombre de tirages possibles est donc 10! = 3 628 800.
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