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Loi, épreuve et schéma de Bernoulli

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Objectifs

Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques.
Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli.

Points clés

Une épreuve de Bernoulli est une expérience admettant exactement deux issues. Ces deux issues sont donc contraires l'une de l'autre.
Soit X une variable aléatoire et p un nombre réel tel que 0 < p < 1. On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si : l’univers de X est Ω_X = {0 ; 1} ; P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p.
On note la loi de Bernoulli par B(p).
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors :
- l’espérance de X est E(X) = p ;
- la variance de X est V(X) = p(1 – p) ;
- l’écart-type de X est .
Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition, d’une manière indépendante, d’une épreuve de Bernoulli n fois.
Le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n est .

1. Notion de variables aléatoires

a. Définitions

Une variable aléatoire est une variable qui prend au hasard des valeurs numériques. On note souvent une variable aléatoire par une lettre majuscule (X ; Y ; …).

« X = a » est l’événement lorsque X prend la valeur a.

P(X = a) est la probabilité de l'événement « X = a ».

L’univers de X est l’ensemble des valeurs possibles de X.

Exemple
On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Si on obtient la face 6, on gagne 2 euros.
Si on obtient la face 1 ou 3, on ne gagne rien.
Si on obtient une autre face, on perd 1 euro.
On note X le gain obtenu.
X est une variable aléatoire dont l’univers est 2 ; 0 et –1.

On peut résumer ces probabilités sous la forme d’un tableau, qu’on appelle le tableau de la loi de probabilité de X.

x_i	–1	0	2
p_i = P(X = x_i)

b. Propriétés

Propriétés
Soit X une variable aléatoire d’univers Ω_X = {x₁ ; x₂ ; … ; x_n} et dont la loi est définie par
p₁ = P(X = x₁) ; p₂ = P(X = x₂) ; … ; p_n = P(X = x_n).
On sait que, dans une expérience aléatoire, la somme des probabilités des événements (c’est-à-dire les éléments de l’univers de cette expérience) est égale 1.
Donc p₁ + p₂ + … + p_n = 1.

Soit ou .

Les événements « X ≥ k » et « X < k » sont deux événements contraires, ainsi que les événements « X > k » et « X ≤ k », donc :
P(X ≥ k) = 1 – P(X < k)
P(X > k) = 1 – P(X ≤ k)

Remarque
Il faut faire attention aux inégalités larges et strictes dans ces formules.

2. Loi de Bernoulli

a. Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience admettant exactement deux issues. Ces deux issues sont donc contraires l'une de l'autre.

On appelle communément les deux issues :

« succès » notée S et sa probabilité p ;
« échec » notée et sa probabilité q = 1 – p.

En d’autres termes, P(S) = p et .

On peut représenter l’épreuve de Bernoulli par l’arbre pondéré suivant.

Exemple
Les situations suivantes peuvent être modélisées comme une épreuve de Bernoulli :

le lancer d’une pièce (Face ou Pile) ;
le lancer d’un dé si l’on ne s'intéresse qu’à la face 6.

b. Loi de Bernoulli

Étant donné une épreuve de Bernoulli, considérons la variable aléatoire X prenant pour valeur 1 quand le succès est réalisé, ou prenant pour valeur 0 dans le cas de la réalisation de l'échec.

Une variable aléatoire ainsi définie s'appelle variable de Bernoulli. On dit aussi que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité du succès.

Soit X une variable aléatoire et p un nombre réel tel que 0 < p < 1.
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si :

l’univers de X est Ω_X = {0 ; 1} ;
P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p.

On note la loi de Bernoulli par B(p).

Autrement dit, la loi de Bernoulli peut se résumer sous la forme du tableau suivant :

x_i	0	1
p_i = P(X = x_i)	1 – p	p

Exemple
On lance un dé cubique classique équilibré.
On s’intéresse à l'événement « le numéro tiré est un 6 ».
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le numéro est un 6 » de probabilité

.
La variable de Bernoulli associée est une variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 est sorti, ou prend la valeur 0 si c'est un autre numéro qui sort.
La loi de X est une loi de Bernoulli de paramètre

c. Espérance, variance et écart-type d'une loi de Bernoulli

Propriétés
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p alors :

l’espérance de X est E(X) = p ;
la variance de X est V(X) = p(1 – p)
l’écart-type de X est .

Démonstration

Considérons une variable aléatoire X suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.

x_i	0	1
p_i = P(X = x_i)	1 – p	p

E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ = 0 × (1 – p) + 1 × p = p
V(X) = E(X²) – E(X)² = (0² × (1 – p) + (1² × p) – p² = p – p² = p(1 – p)

Exemple
Reprenons l’exemple précédent du lancer de dé pour lequel on considère la sortie de la face 6 : la loi de X est une loi de Bernoulli de paramètre

, donc :

3. Schéma de Bernoulli

a. Définition

Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition, d’une manière indépendante, d’une épreuve de Bernoulli n fois.

Exemple
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est

. On note X le nombre de fois qu’on obtient pile lors de ces trois lancers. On va tracer l’arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
Un succès S est représenté par chaque apparition de l’événement « pile », de probabilité

. L’échec, l’événement

, aura pour probabilité

k	0	1	2	3
P(X = k)

Remarque
On dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.

b. Nombre de chemins ayant le même nombre de succès dans un schéma de Bernoulli

Définition et propriétés

Rappel
Soit n un nombre entier naturel, on définit un nombre entier qu’on note n! (on lit factorielle n) par : n! = 1 × 2 × … × n et 0! = 1

Rappel : propriété
Soit k un nombre entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n, on définit un nombre entier naturel noté

et on lit « k parmi n » par

Exemples
3! = 1 × 2 × 3 = 6

Rappel : propriété de Pascal
Soit n et k deux nombres entiers naturels tels que 0 < k < n.

Propriété
Le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n est

Démonstration

On procède par un raisonnement par récurrence : on note P_n : « Le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n est ».

1^re étape : Initialisation

On vérifie que P_n est vraie pour n le plus petit possible, ici n = 1.
On se retrouve dans une situation d’une épreuve de Bernoulli où il n’y a qu’un seul chemin avec un succès, soit .
Donc P_n est vraie pour n = 1.

2^e étape : Hérédité

On suppose que pour P_n est vraie, c’est-à-dire que le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n est . Démontrons que P_n + 1 est vraie, c’est-à-dire que le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n + 1 est .
En effet, on a (n + 1) répétitions de l’épreuve de Bernoulli, s’il y a (k – 1) succès pour les n premières répétitions, puis un succès à la dernière répétition, cela fournit chemins et, s’il y a eu k succès pour les n premières répétitions, puis un échec à la dernière répétition, cela fournit chemins.
On a donc au total chemins, or, d’après la propriété de Pascal, . Donc on a bien chemins ayant k succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre n + 1. Donc P_n+1 est vraie.

3^e étape : Conclusion

P_n est vraie pour tout entier naturel non nul, donc le nombre de chemins ayant k succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre n est .

Exemple
Dans un schéma de Bernoulli d’ordre 5, le nombre de chemins ayant 2 succès est

Utilisation de la calculatrice ou d’un tableur

Toutes les calculatrices ont une touche « ! » qu’on peut utiliser pour avoir le résultat de n!.
Pour calculer les résultats de :

Sur Texas instrument (82 stat, 83 et 84), écrire n, puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb »), puis l’argument k. Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.
Sur TI-NSpire, dans une page calcul, entrer « nCr ».
Sur Casio, écrire n puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB »), puis l’argument k.