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Le calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue

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Objectif

Définir l’intégrale d’une fonction continue et positive comme la mesure de l’aire d’un domaine du plan.

Points clés

Le domaine du plan P_f situé sous la courbe C_f est la partie plane délimitée par C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b :
.
On admet que P_f a une aire, appelée intégrale de f sur [a ; b] : .
Relation de Chasles : pour tout nombre c de [a ; b] :
.

Pour bien comprendre

Connaitre la notion d’aire d’une figure.
Connaitre la notion de fonction continue.

1. Historiquement...

La notion d'aire (ou plus exactement de la mesure de l'aire) d'une partie plane peut sembler un concept évident. Or, la définition de cette notion est en fait difficile et ne peut être rigoureusement établie en classe de lycée.

a. Contexte historique

Historiquement, on a assez vite dégagé quelques règles que devait suivre la notion d'aire et on a su établir les formules donnant les aires d'un rectangle, d'un triangle rectangle puis d'un triangle quelconque .
Ainsi, on pouvait calculer l'aire d'une ligne polygonale fermée quelconque comme somme des aires de triangles et on a démontré que cette aire était indépendante du découpage choisi.

Mais ces seules règles ne suffisaient pas pour calculer, par exemple, l'aire d'un disque ou encore l'aire d'une partie plane dont un bord est la courbe d'une fonction.

La partie plane hachurée en rouge, que l'on peut noter P_f , semble avoir une aire, au même sens intuitif que l’aire d’une ligne polygonale fermée. On note A(P_f ) cette aire supposée.
On a eu alors l’idée d’encadrer A(P_f ) par des aires (réelles) de parties du plan limitées par des lignes polygonales fermées. Voici brièvement la démarche.

b. Méthode

Soit n un entier naturel.
On utilise, par exemple, deux lignes polygonales fermées s_n et S_n, constituées chacune de n rectangles, la première incluse dans la partie P_f, la seconde contenant P_f .

On appelle a_n l'aire de s_n et A_n l'aire de S_n.

Illustration pour n = 4

Remarque
Bien sûr, on peut augmenter le nombre de rectangles pour obtenir un encadrement plus fin de A(P_f ) et même pour obtenir un encadrement aussi fin qu'on le souhaite ; autrement dit, la différence (A_n – a_n) peut être rendue aussi petite que l'on veut pourvu que n soit suffisamment grand.

Ainsi, la notion d'aire va se définir à l'aide de la notion de limite.

On démontre (et on admet ici) que les suites (a_n) et (A_n) sont respectivement croissante et décroissante et que :
; autrement dit les suites (A_n) et (a_n) ont une limite finie commune, à savoir la valeur de A(P_f).
On prouve aussi que cette limite est indépendante du choix des parties s_n et S_n.

2. Notion d'intégrale

a. Définition 1

On appelle une unité d’aire, notée 1 u.a, l’aire du rectangle engendré par les points O, I, J.

b. Définition 2

Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire.
Soit (a, b) un couple de réels vérifiant a ≤ b.
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] de courbe représentative C_f.

Remarque
Si a = b, C_f se réduit à un point de coordonnées (a ; f(a)).

Le domaine plan situé sous la courbe C_f est la partie plane délimitée par C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b. On le note ici P_f.
Autrement dit, on a P_f = {M(x ; y), axb et 0yf(x)}.

Le domaine P_f est représenté ci-dessous en bleu.

On admet que P_f a une aire.

On encadre cette aire par la somme des aires des rectangles situés sous la courbe et la somme des aires des rectangles situés au-dessus la courbe.
On crée n subdivisions de l’intervalle [a ; b].
Chaque rectangle inférieur a donc une aire égale à .
Chaque rectangle supérieur a donc une aire égale à .
On peut alors encadrer l’aire du domaine Pf :

c. Définition 3

Théorème et définition 3
On admet que P_f a une aire appelée intégrale de f sur [a ; b].
On la note

.
On a donc

= aire(P_f).

L’encadrement précédent devient :

Si l’on augmente le nombre n de subdivisions, les sommes des aires des rectangles tendent vers une limite commune égale à l’intégrale de la fonction f sur l’intervalle [a ; b].

Remarques

Le symbole ressemble à un S allongé. Il symbolise l’idée d’une somme.
se lit « intégrale (ou somme) de a à b de f(x)dx ».
Dans cette écriture, x est une variable (elle varie sur l'intervalle [a ; b]), dite « muette », c’est-à-dire que l’on peut la remplacer par une autre lettre, par exemple t, sans changer la définition.

Ainsi par exemple : .

d. Propriétés

On dispose des propriétés suivantes.

Relation de Chasles : Pour tout nombre c de [a ; b] :

Remarque
Les propriétés de l'intégrale sont abordées dans la fiche « Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale ».

Démonstration

Remarque
On peut utiliser l'invariance par symétrie ou translation de la notion d'aire pour calculer certaines intégrales. Par exemple, f étant une fonction paire, C_f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.