Construire un arbre de probabilité - Maxicours

Construire un arbre de probabilité

Objectifs
  • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
  • Exploiter les données d'un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.
Points clés
  • Un arbre pondéré permet de représenter la succession de deux épreuves.
    • Une branche relie deux événements successifs. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante.
    • Un chemin est une suite de branches, il représente l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d’un chemin est la probabilité de l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.
    • Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches.
  • Sur les branches secondaires, on lit toujours une probabilité conditionnelle.
  • La probabilité de l'événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin (règle du produit).
  • La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1 (règle de la somme).
     
Pour bien comprendre
  • Vocabulaire des probabilités
  • Calcul de probabilités dans un arbre et dans un tableau
  • Probabilités conditionnelles
1. Arbre de probabilités : Cas d'une expérience aléatoire à une étape

Un arbre de probabilité ou arbre pondéré permet de décrire une expérience aléatoire et de calculer des probabilités.

Pour le construire, on part d'une origine que l'on nomme racine de l'arbre, puis on construit les branches qui mènent aux feuilles appelées nœuds, c'est-à-dire à tous les événements possibles.
Sur chacune des branches on indique la probabilité de l'événement correspondant, on appelle cela le poids de la branche.

On lit l'arbre en partant de sa racine.

La somme des poids des branches vaut toujours 1.

Exemple
On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que le dé n'est pas pipé, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
Les issues possibles sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
Les probabilités associées à chacune de ces issues sont : .
L'arbre des probabilités est donc :
2. Arbre de probabilité : Cas d'une expérience aléatoire comportant plusieurs étapes

Pour décrire une expérience aléatoire comprenant plusieurs étapes, on va tout simplement rajouter des branches, aux extrémités de celles existant déjà.

L'arbre se lit et se construit en partant de sa racine.
Les branches partant de la racine sont dites primaires et mènent à des nœuds.
Les branches reliant deux nœuds successifs sont dites secondaires.
Un chemin partant de la racine pour relier un nœud est appelé un trajet ou chemin.


Propriétés
  • Le poids d'une branche primaire indique la probabilité de l'évènement correspondant.
  • Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'évènement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet menant à son origine a été réalisé.
  • La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
  • La probabilité d'un trajet est égale au produit des poids des branches le constituant.
  • La probabilité d'un évènement A écrit aux extrémités de plusieurs trajets est égale à la somme des probabilités des trajets menant à A.
Exemple
On considère une urne contenant 3 jetons rouges et 2 jetons bleus. Ces jetons sont indiscernables au toucher. L'expérience aléatoire consiste à tirer successivement et sans remise deux jetons.

La probabilité d'obtenir un jeton rouge sachant qu'on a obtenu un jeton rouge au premier tirage vaut pR(R) = .
La probabilité d'obtenir un jeton bleu sachant qu'on a obtenu un jeton rouge au premier tirage vaut pR(B) = .
La probabilité d'obtenir un jeton rouge sachant qu'on a obtenu un jeton bleu au premier tirage vaut pB(R) = .
La probabilité d'obtenir un jeton bleu sachant qu'on a obtenu un jeton bleu au premier tirage vaut pB(B) = .

 
La probabilité d'obtenir comme tirage (R,R) vaut p(R) × pR(R) = ×
Quelle est la probabilité d'obtenir un seul jeton rouge ?
Cet événement est réalisé par les trajets (R,B) et (B,R).
La probabilité d'obtenir comme tirage (R,B) vaut p(R) × pr(B) = × = .
La probabilité d'obtenir comme tirage (B,R) vaut p(B) × pB(R) = × =  = .
La probabilité d'obtenir un seul jeton rouge vaut = .

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Teste dès maintenant tes nouvelles connaissances dans notre quiz

Quiz sur le cours ‘Construire un arbre de probabilité’ – mathématiques

Réussis ton année de terminale générale avec le soutien scolaire en ligne Maxicours ! Teste tes connaissances avec notre quiz de mathématiques sur le cours intitulé ‘Construire un arbre de probabilité’. Réponds à l’ensemble des questions et vérifie ton taux de bonnes réponses. Tu peux même recevoir par e-mail les réponses détaillées avec les rappels de cours en nous laissant ton adresse !

Question 1/5

On considère l’arbre pondéré suivant :

Que vaut PA(D)?

Question 2/5

On donne l’arbre pondéré suivant :

Que vaut P(C)?

Question 3/5

Une maladie touche 5 % de la population. On met au point un test de dépistage. Ce test répond aux critères suivants :
♦ la probabilité pour qu’un individu contaminé soit positif au test est de 0,95.
♦ la probabilité pour qu’un individu non contaminé soit positif au test est de 0,02.

Quel arbre des probabilités traduit cette situation ?
On notera C l’évènement « être contaminé » et P « être positif au test ».

Question 4/5

Dans une entreprise, 45 % des employés sont des femmes. Dans cette entreprise, on sait que 25 % des femmes ont moins de 40 ans et que 20 % des hommes ont moins de 40 ans. On choisit au hasard un employé.
En notant par F l’évènement « être une femme » et par Q l’évènement « avoir moins de 40 ans », quel arbre représente cette situation?

Question 5/5

Un sac contient 3 jetons rouges et un jeton vert. On tire avec remise un jeton trois fois de suite. On obtient l’arbre des possibles ci-dessous :

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un jeton rouge sur trois jetons tirés ?
Clique sur la bonne réponse.

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Des profs en ligne

  • 6 j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent

Inscrivez-vous à notre newsletter !

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Conformément à la Loi Informatique et Libertés n°78-17 du 6 janvier 1978 modifiée, au RGPD n°2016/679 et à la Loi pour une République numérique du 7 octobre 2016, vous disposez du droit d’accès, de rectification, de limitation, d’opposition, de suppression, du droit à la portabilité de vos données, de transmettre des directives sur leur sort en cas de décès. Vous pouvez exercer ces droits en adressant un mail à : contact-donnees@sejer.fr. Vous avez la possibilité de former une réclamation auprès de l’autorité compétente. En savoir plus sur notre politique de confidentialité