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Construire un arbre de probabilité

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Objectifs

Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
Exploiter les données d'un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.

Points clés

Un arbre pondéré permet de représenter la succession de deux épreuves.
- Une branche relie deux événements successifs. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante.
- Un chemin est une suite de branches, il représente l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d’un chemin est la probabilité de l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.
- Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches.
Sur les branches secondaires, on lit toujours une probabilité conditionnelle.
La probabilité de l'événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin (règle du produit).
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1 (règle de la somme).

Pour bien comprendre

Vocabulaire des probabilités
Calcul de probabilités dans un arbre et dans un tableau
Probabilités conditionnelles

1. Arbre de probabilités : Cas d'une expérience aléatoire à une étape

Un arbre de probabilité ou arbre pondéré permet de décrire une expérience aléatoire et de calculer des probabilités.

Pour le construire, on part d'une origine que l'on nomme racine de l'arbre, puis on construit les branches qui mènent aux feuilles appelées nœuds, c'est-à-dire à tous les événements possibles.
Sur chacune des branches on indique la probabilité de l'événement correspondant, on appelle cela le poids de la branche.

On lit l'arbre en partant de sa racine.

La somme des poids des branches vaut toujours 1.

Exemple
On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que le dé n'est pas pipé, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
Les issues possibles sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
Les probabilités associées à chacune de ces issues sont :

.
L'arbre des probabilités est donc :

2. Arbre de probabilité : Cas d'une expérience aléatoire comportant plusieurs étapes

Pour décrire une expérience aléatoire comprenant plusieurs étapes, on va tout simplement rajouter des branches, aux extrémités de celles existant déjà.

L'arbre se lit et se construit en partant de sa racine.
Les branches partant de la racine sont dites primaires et mènent à des nœuds.
Les branches reliant deux nœuds successifs sont dites secondaires.
Un chemin partant de la racine pour relier un nœud est appelé un trajet ou chemin.

Propriétés

Le poids d'une branche primaire indique la probabilité de l'évènement correspondant.
Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'évènement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet menant à son origine a été réalisé.
La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
La probabilité d'un trajet est égale au produit des poids des branches le constituant.
La probabilité d'un évènement A écrit aux extrémités de plusieurs trajets est égale à la somme des probabilités des trajets menant à A.

Exemple
On considère une urne contenant 3 jetons rouges et 2 jetons bleus. Ces jetons sont indiscernables au toucher. L'expérience aléatoire consiste à tirer successivement et sans remise deux jetons.

La probabilité d'obtenir un jeton rouge sachant qu'on a obtenu un jeton rouge au premier tirage vaut p_R(R) =

.
La probabilité d'obtenir un jeton bleu sachant qu'on a obtenu un jeton rouge au premier tirage vaut p_R(B) =

.
La probabilité d'obtenir un jeton rouge sachant qu'on a obtenu un jeton bleu au premier tirage vaut p_B(R) =

.
La probabilité d'obtenir un jeton bleu sachant qu'on a obtenu un jeton bleu au premier tirage vaut p_B(B) =

La probabilité d'obtenir comme tirage (R,R) vaut p(R) × p_R(R) =

Quelle est la probabilité d'obtenir un seul jeton rouge ?
Cet événement est réalisé par les trajets (R,B) et (B,R).
La probabilité d'obtenir comme tirage (R,B) vaut p(R) × p_r(B) =