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Les différents raisonnements mathématiques

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Objectifs
  • Reconnaitre les différents types de raisonnement.
  • Savoir quel type de raisonnement utiliser dans telle ou telle situation.
Points clés
  • Disjonction de cas : on vérifie notre propriété en testant différents cas et on montre que tous les cas aboutissent au même résultat.
  • Contraposée : pour vérifier P⇒Q on prouve que (non)Q⇒(non)P
  • Raisonnement par l’absurde : on part du principe que la propriété est vrai et on montre qu’on arrive à quelque chose d’absurde ou d’incohérent.
  • Contre exemple : on trouve une situation dans laquelle notre propriété ne marche pas.
Pour bien comprendre
  • Reconnaitre des implications et équivalences.
  • Savoir déterminer et reconnaitre les négations d’affirmation.
1. Le raisonnement par disjonction de cas
Pour prouver qu’une affirmation est vraie

Pour prouver qu’une affirmation P est vraie, il est parfois nécessaire de tester si l’affirmation est vraie lorsque l’on différencie les cas.

Exemple
Montrer que quelque soit ,  est un nombre entier. 
Pour cela on utilise une disjonction de cas :
  • Nous allons d’abord tester notre affirmation pour un nombre n pair.
    On a donc n = 2k avec k.
    Dans ce cas,  or k(2k + 1) est un nombre entier. L’affirmation est donc vérifiée si n est pair.
  • Nous testons ensuite notre affirmation pour un nombre n impair.
    On a donc n = 2k + 1 avec k.
    Dans ce cas, or (2k + 1)(k + 1) est un nombre entier. L’affirmation est donc vérifiée si n est impair.

L’affirmation est vraie pour n pair et pour n impair. L’affirmation est donc vérifiée quelque soit n.

Exemple non mathématique
Partons du principe que sur Mars il existe deux types de martiens avec un comportement très différent. Les martiens verts et les martiens rouges.
Pour vérifier l’affirmation P suivante : « Les martiens sont tous accueillants », on va faire une disjonction de cas.
Nous allons d’abord vérifier si les martiens verts sont accueillants.
Ensuite, nous vérifierons que les martiens rouges sont également accueillants.
Si les deux conditions sont vérifiées alors nous allons conclure que l’affirmation P est vraie.
2. Le raisonnement par contraposée
Pour prouver qu’une implication est vraie

Pour prouver que P implique Q, on peut prouver que l’inverse de la proposition Q implique l’inverse de la proposition P.

Exemple
Soit a et b deux entiers naturel non nul.
Prouvons que « ab = 1 » ⇒ « a = b = 1 »
Si a ≠ 1 alors ≥ 2 et b ≥ 1. Donc ab ≠ 1.
Même chose si b ≠ 1. On a prouvé que « a ou b ≠ 1 » ⇒ « ab ≠ 1 ».
Par contraposée « ab = 1 » ⇒ « a = b = 1 ».
Exemple non mathématique
Retournons sur Mars.
P : « Le martien est bleu ».
Q : « Le martien est gentil ».
P⇒Q signifie « Si le martien est bleu alors le martien est gentil ». 
La contraposée de P⇒Q est (non)Q⇒(non)P .

Pour prouver que « Si le martien est bleu alors il est gentil » il suffit de prouver que « Si le martien n’est pas gentil alors le martien n’est pas bleu ».
3. Le raisonnement par l'absurde
Pour prouver qu’une affirmation est fausse

Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, on part du principe que cette propriété est vraie. On arrive alors à une incohérence ou une absurdité qui nous prouve que l’affirmation P ne peut pas être vraie et s’avère donc fausse.

Exemple
Prouvons que est un nombre irrationnel.
Partons du principe que est un nombre rationnel. C’est-à-dire qu’il est possible de l’écrire sous forme de fraction : avec a et b deux nombres entiers relatifs, premiers entre eux. 
  2b2= a2. Cela veut dire que a2 est pair et donc que a est pair. C’est-à-dire que a = 2k.
On a donc  : 2b2= (2k)2 2b2 = 4k2 b2 = 2k2
Cela veut dire que b2 est pair donc que b est pair. 
Or, dans notre hypothèse de départ, nous avons choisi a et b  tels qu’ils soient premiers entre eux. Si tous les deux sont pairs, ils ne sont pas premiers entre eux et nous arrivons à une incohérence.
On en conclut donc, à la suite de notre raisonnement par l’absurde, que n’est pas un nombre rationnel et qu’il est donc irrationnel.
Exemple non mathématique
Démontrons par l’absurde que « Les pommes ne poussent pas sur des poiriers ».
Pour cela on considère la proposition suivante comme vraie « Les pommes poussent sur des poiriers ». Or les fruits qui poussent sur des poiriers sont des poires donc puisque les pommes poussent sur des poiriers, ce sont des poires. C’est une absurdité.
On peut donc conclure que les pommes ne poussent pas sur des poiriers.
4. Contre exemple
Pour prouver qu’une affirmation est fausse

Pour prouver qu’une affirmation P est fausse, il peut nous suffire de trouver un exemple pour lequel l’affirmation est fausse.

Exemple
Prenons l’affirmation « Le carré d’un nombre n est toujours pair ».
Prenons n = 3. n2 = 9 or 9 est impair donc l’affirmation est fausse.
Exemple non mathématique
Pour démontrer que l’affirmation « Les martiens bleus sont gentils » est fausse, il nous suffit de trouver un martien bleu qui n’est pas gentil.

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On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

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