L'indépendance de deux évènements
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- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques.
- Soit A et
B deux
évènements. On dit que les
évènements A et B sont indépendants si
- Deux évènements A et
B sont dits indépendants si et seulement si
.
- Soit E et F deux ensembles. On appelle le produit cartésien de E par F l’ensemble de tous les couples (a ; b) avec a ∈ E et b ∈ F. Ce produit cartésien est noté E × F.
- Soit X et
Y deux variables
aléatoires d’univers respectifs
et 
. On peut définir la variable
aléatoire Z = (X ; Y) : son univers sera le
produit cartésien × .
- Connaitre les notions de probabilités vues en première.
- Calculer un produit cartésien d'ensembles.
- Construire un arbre de probabilité.
Commençons par étudier un exemple pour mieux comprendre la notion de probabilités conditionnelles.
Dans un lycée de 1000 élèves, 450 sont des filles, et parmi les filles 135 sont internes ; parmi les garçons 220 sont externes.
On peut résumer ces données dans le tableau suivant :
| Internes | Externes | Total | |
| Garçons | 330 | 220 | 550 |
| Filles | 135 | 315 | 450 |
| Total | 465 | 535 | 1000 |
G : « L’élève est un garçon » ;
F : « L’élève est une fille » ;
I : « L’élève est interne » ;
E : « L’élève est externe ».
On a les probabilités suivantes :
et 
.On prend au hasard une fille, la probabilité pour qu’elle soit interne est
.On dit que la probabilité de l’évènement I sachant l’évènement F est
, soit 0,3.On note
.On remarque
qu’on peut
généraliser pour n’importe quels deux
évènements.
définie par 
.
Soit X une variable aléatoire définie dont la loi est donnée dans le tableau suivant :
| xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi= p(X = xi) | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,1 |
Soit A et B deux événements :
p(A ∩ B) = p(A) pA(B)
Dans un atelier, il y a deux machines M1 et M2.
On estime qu’un jour donné la probabilité pour que la machine M1 soit en panne est 0,05 et, si la machine M1 est en panne, alors la probabilité que la machine M2 soit aussi en panne est 0,02. Quelle est la probabilité pour que les deux machines soient en panne en même temps ?
On note :
M1 : « La machine M1 est en panne ce jour. »
M2 : « La machine M2 est en panne ce jour. »
On a p(M1) = 0,05 ; pM1(M2) = 0,02 et on cherche p(M1 ∩ M2).
p(M1 ∩ M2) = p(M1) pM1 (M2) = 0,05 × 0,02 = 0,001
Dans le langage courant, on dit que deux évènements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre. On va donner une définition mathématique de cette notion.
.
On considère une famille qui a deux enfants qui ne sont pas des jumeaux et on note :
F1 : « l'ainée est une fille » et G2 : « le cadet est un garçon »
Donc F1 et G2 sont deux évènements indépendants.
Deux évènements A et B sont dits indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B).
Soit A et B deux évènements indépendants.
p(A ∩ B) = p(A) pA(B) = p(A) p(B)
car A et B sont indépendants ce qui
est équivalent par définition à
.
« Incompatibles » est différent de « indépendants ». En effet, si A et B sont deux évènements incompatibles de probabilités non nulles, on a p(A ∩ B) = 0 avec p(A) × p(B) ≠ 0.
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A « obtenir une figure (valet, dame ou roi) » et B « obtenir un carreau ».
On a alors A
B « obtenir un
valet de carreau ou une dame de carreau ou un roi de
carreau ».On a p(A
B) = 
.De même p(A) =
=
et
p(B) = 
.On a p(A) × p(B) = p(A
B), les évènements
sont donc indépendants.
Si A et B sont deux évènements indépendants, alors
et B le sont aussi.
.Donc
.
d'où
, les évènements
et B sont donc indépendants.
De la même façon, si A et B sont indépendants, alors
et 
sont indépendants.
Ce qui peut se traduire par l’arbre pondéré suivant :
Soit E = {a ; b ; c} et F = {b ; d}
E × F = {(a ; b) ; (a ; d) ; (b ; b) ; (b ; d) ; (c ; b) ; (c ; d)}
On peut représenter un produit cartésien de deux ensembles soit par un tableau à double entrée soit par un arbre.
On reprend l’exemple précédent.
|
F
E
|
b | d |
| a | (a ; b) | (a ; d) |
| b | (b ; b) | (b ; d) |
| c | (c ; b) | (c ; d) |
On généralise la définition d’un produit cartésien de deux ensembles à un produit cartésien de n ensembles.
Le produit cartésien de ces ensembles est l’ensemble des n-uplets (a1 ; a2 ; … ; an) avec a1∈ E1 ; a2∈ E2 ; … ; an∈ En et on note ce produit par E1× E2 × … × En.
On ne peut pas représenter ce produit cartésien par un tableau à double entrée si n est supérieur à 2 ; en revanche, on peut le représenter par un arbre mais ce n’est pas pratique.
Soit X une variable aléatoire, l’univers de X est l’ensemble des valeurs possibles de X et on le note par
.
Soit X et Y deux variables aléatoires d’univers respectifs
et .On peut définir la variable aléatoire Z = (X ; Y) : son univers sera le produit cartésien
× .
On enchaine successivement deux épreuves et
à chaque épreuve on associe une variable
aléatoire.
Ces épreuves sont indépendantes
dès lors que l’issue d’une
épreuve ne dépend pas de celle qui
l’a précédée.
On dira ainsi que les deux variables aléatoires
associées à ces épreuves sont
indépendantes, c’est-à-dire que les
probabilités des résultats de l’une
n’influencent pas les probabilités des
résultats de l’autre.
Ce qui nous ramène à la définition suivante en s’inspirant de la notion de l’indépendance de deux évènements.
et Y une variable
aléatoire d’univers . On dit que X et Y sont
indépendantes si
pour tout 
et tout 
.
Autrement dit, si on note Z = (X ; Y)
et 
son univers :
pour tout (x ;y) 
Attention, il faut vérifier cette égalité pour tous les x et les y.
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes dont les lois sont les suivantes.
| xi | 0 | 1 |
| pi= p(X = xi) | 0,6 | 0,4 |
| yi | 0 | 2 |
| pi= (Y = yi) | 0,3 | 0,7 |
On note Z = (X ; Y).
On veut déterminer la loi de Z.
L’univers de Z est 
= {(0 ; 0) ; (0 ; 2) ; (1 ; 0)
; (1 ; 2)}
p(Z = (0 ; 0)) = p(X = 0) p(Y = 0) = 0,6 × 0,3 = 0,18
p(Z = (0 ; 2)) = p(X = 0) p(Y = 2) = 0,6 × 0,7 = 0,42
p(Z = (1 ; 0)) = p(X = 1) p(Y = 0) = 0,4 × 0,3 = 0,12
p(Z = (1 ; 2)) = p(X = 1) p(Y = 2) = 0,4 × 0,7 = 0,28
Cette loi est résumée sous la forme du tableau suivant :
| zi | (0 ; 0) | (0 ; 2) | (1 ; 0) | (1 ; 2) |
| pi= p(xi; yi) | 0,18 | 0,42 | 0,12 | 0,28 |
Ou sous la forme d’un tableau à double entrée :
|
Y X |
0 | 2 | Loi de X |
| 0 | 0,6 × 0,3 = 0,18 | 0,6 × 0,7 = 0,42 | 0,6 |
| 1 | 0,4 × 0,3 = 0,12 | 0,4 × 0,7 = 0,28 | 0,4 |
| Loi de Y | 0,3 | 0,7 | 1 |
On multiplie les probabilités de la loi de X par les probabilités de la loi de Y.
Ceci nous permet aussi de vérifier que deux variables aléatoires sont indépendantes à partir d’un tableau à double entrée qui donne la loi de la variable aléatoire Z = (X ; Y).
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