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L'indépendance de deux évènements

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Objectif

Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques.

Points clés

Soit A et B deux évènements. On dit que les évènements A et B sont indépendants si
Deux évènements A et B sont dits indépendants si et seulement si .
Soit E et F deux ensembles. On appelle le produit cartésien de E par F l’ensemble de tous les couples (a ; b) avec a ∈ E et b ∈ F. Ce produit cartésien est noté E × F.
Soit X et Y deux variables aléatoires d’univers respectifs et . On peut définir la variable aléatoire Z = (X ; Y) : son univers sera le produit cartésien × .

Pour bien comprendre

Connaitre les notions de probabilités vues en première.
Calculer un produit cartésien d'ensembles.
Construire un arbre de probabilité.

1. Probabilités conditionnelles

Commençons par étudier un exemple pour mieux comprendre la notion de probabilités conditionnelles.

Exemple
Dans un lycée de 1000 élèves, 450 sont des filles, et parmi les filles 135 sont internes ; parmi les garçons 220 sont externes.
On peut résumer ces données dans le tableau suivant :

	Internes	Externes	Total
Garçons	330	220	550
Filles	135	315	450
Total	465	535	1000

On prend au hasard un élève et on note les évènements :
G : « L’élève est un garçon » ;
F : « L’élève est une fille » ;
I : « L’élève est interne » ;
E : « L’élève est externe ».
On a les probabilités suivantes :

.
On prend au hasard une fille, la probabilité pour qu’elle soit interne est

.
On dit que la probabilité de l’évènement I sachant l’évènement F est

, soit 0,3.
On note

.
On remarque

qu’on peut généraliser pour n’importe quels deux évènements.

Soit A et B deux évènements, la probabilité de B sachant A (ou probabilité de B conditionnée par A) est la probabilité notée

définie par

Exemple
Soit X une variable aléatoire définie dont la loi est donnée dans le tableau suivant :

x_i	0	1	2	3	4	5
p_i= p(X = x_i)	0,1	0,2	0,2	0,1	0,3	0,1

Propriété : probabilité de l’intersection de deux événements
Soit A et B deux événements :

p(A ∩ B) = p(A) p_A(B)

Exemple
Dans un atelier, il y a deux machines M₁ et M₂.
On estime qu’un jour donné la probabilité pour que la machine M₁ soit en panne est 0,05 et, si la machine M₁ est en panne, alors la probabilité que la machine M₂ soit aussi en panne est 0,02. Quelle est la probabilité pour que les deux machines soient en panne en même temps ?
On note :
M₁ : « La machine M₁ est en panne ce jour. »
M₂ : « La machine M₂ est en panne ce jour. »
On a p(M₁) = 0,05 ; pM₁(M₂) = 0,02 et on cherche p(M₁ ∩ M₂).
p(M₁ ∩ M₂) = p(M₁) pM₁ (M₂) = 0,05 × 0,02 = 0,001

2. Indépendance de deux évènements

Dans le langage courant, on dit que deux évènements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre. On va donner une définition mathématique de cette notion.

Soit A et B deux événements. On dit que les évènements A et B sont indépendants si

Exemple
On considère une famille qui a deux enfants qui ne sont pas des jumeaux et on note :
F₁ : « l'ainée est une fille » et G₂ : « le cadet est un garçon »

Donc F₁ et G₂ sont deux évènements indépendants.

Propriété
Deux évènements A et B sont dits indépendants si et seulement si p(A ∩ B) = p(A) × p(B).

Démonstration

Soit A et B deux évènements indépendants.

p(A ∩ B) = p(A) p_A(B) = p(A) p(B)

car A et B sont indépendants ce qui est équivalent par définition à .

Remarque
« Incompatibles » est différent de « indépendants ». En effet, si A et B sont deux évènements incompatibles de probabilités non nulles, on a p(A ∩ B) = 0 avec p(A) × p(B) ≠ 0.

Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu classique de 32 cartes. On considère les évènements : A « obtenir une figure (valet, dame ou roi) » et B « obtenir un carreau ».
On a alors A

B « obtenir un valet de carreau ou une dame de carreau ou un roi de carreau ».
On a p(A

B) =

.
De même p(A) =

et p(B) =

.
On a p(A) × p(B) = p(A

B), les évènements sont donc indépendants.

Propriété
Si A et B sont deux évènements indépendants, alors

et B le sont aussi.

Démonstration

On a

.
Donc

Or A et B sont indépendants, donc

d'où

, les évènements

et B sont donc indépendants.

Propriété
De la même façon, si A et B sont indépendants, alors

sont indépendants.

Ce qui peut se traduire par l’arbre pondéré suivant :

3. Variables aléatoires indépendantes

a. Produit cartésien d’ensembles

Soit E et F deux ensembles. On appelle le produit cartésien de E par F l’ensemble de tous les couples (a ; b) avec a ∈ E et b ∈ F. Ce produit cartésien est noté E × F.

Exemple
Soit E = {a ; b ; c} et F = {b ; d}
E × F = {(a ; b) ; (a ; d) ; (b ; b) ; (b ; d) ; (c ; b) ; (c ; d)}

On peut représenter un produit cartésien de deux ensembles soit par un tableau à double entrée soit par un arbre.

Exemple
On reprend l’exemple précédent.

F E	b	d
a	(a ; b)	(a ; d)
b	(b ; b)	(b ; d)
c	(c ; b)	(c ; d)

On généralise la définition d’un produit cartésien de deux ensembles à un produit cartésien de n ensembles.

Soit E₁ ; E₂ ; … ; E_n n ensembles.
Le produit cartésien de ces ensembles est l’ensemble des n-uplets (a₁ ; a₂ ; … ; a_n) avec a₁∈ E₁ ; a₂∈ E₂ ; … ; a_n∈ E_n et on note ce produit par E₁× E₂ × … × E_n.

Remarque
On ne peut pas représenter ce produit cartésien par un tableau à double entrée si n est supérieur à 2 ; en revanche, on peut le représenter par un arbre mais ce n’est pas pratique.

Rappel
Soit X une variable aléatoire, l’univers de X est l’ensemble des valeurs possibles de X et on le note par

Propriété
Soit X et Y deux variables aléatoires d’univers respectifs

.
On peut définir la variable aléatoire Z = (X ; Y) : son univers sera le produit cartésien

b. Variables aléatoires indépendantes

On enchaine successivement deux épreuves et à chaque épreuve on associe une variable aléatoire.
Ces épreuves sont indépendantes dès lors que l’issue d’une épreuve ne dépend pas de celle qui l’a précédée.
On dira ainsi que les deux variables aléatoires associées à ces épreuves sont indépendantes, c’est-à-dire que les probabilités des résultats de l’une n’influencent pas les probabilités des résultats de l’autre.

Ce qui nous ramène à la définition suivante en s’inspirant de la notion de l’indépendance de deux évènements.

Soit X une variable aléatoire d’univers

et Y une variable aléatoire d’univers

. On dit que X et Y sont indépendantes si

pour tout et tout .

Autrement dit, si on note Z = (X ; Y) et son univers :

pour tout (x ;y)

Remarque
Attention, il faut vérifier cette égalité pour tous les x et les y.

Exemple
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes dont les lois sont les suivantes.

x_i	0	1
p_i= p(X = x_i)	0,6	0,4

y_i	0	2
p_i= (Y = y_i)	0,3	0,7

On note Z = (X ; Y). On veut déterminer la loi de Z.
L’univers de Z est = {(0 ; 0) ; (0 ; 2) ; (1 ; 0) ; (1 ; 2)}

p(Z = (0 ; 0)) = p(X = 0) p(Y = 0) = 0,6 × 0,3 = 0,18
p(Z = (0 ; 2)) = p(X = 0) p(Y = 2) = 0,6 × 0,7 = 0,42
p(Z = (1 ; 0)) = p(X = 1) p(Y = 0) = 0,4 × 0,3 = 0,12
p(Z = (1 ; 2)) = p(X = 1) p(Y = 2) = 0,4 × 0,7 = 0,28

Cette loi est résumée sous la forme du tableau suivant :

z_i	(0 ; 0)	(0 ; 2)	(1 ; 0)	(1 ; 2)
p_i= p(x_i; y_i)	0,18	0,42	0,12	0,28

Ou sous la forme d’un tableau à double entrée :

Y X	0	2	Loi de X
0	0,6 × 0,3 = 0,18	0,6 × 0,7 = 0,42	0,6
1	0,4 × 0,3 = 0,12	0,4 × 0,7 = 0,28	0,4
Loi de Y	0,3	0,7	1

Remarque
On multiplie les probabilités de la loi de X par les probabilités de la loi de Y.
Ceci nous permet aussi de vérifier que deux variables aléatoires sont indépendantes à partir d’un tableau à double entrée qui donne la loi de la variable aléatoire Z = (X ; Y).