Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale

Soit (a, b) un couple de réels vérifiant .
Soit f une fonction continue sur [a ; b].

Si f est positive, on sait que sur [a ; b] la fonction  est une primitive de f.
Donc et .

On dispose donc de l’égalité .

Si G est une autre primitive de f sur [a ; b], alors G = F + k, où k est une constante.
Donc G(b) – G(a) = F(b) – F(a) ; ainsi l’égalité ne dépend pas du choix de la primitive de f.

On démontre et on admet ici que cette égalité reste vraie lorsque f n’est pas positive.
On dispose alors maintenant d’une autre définition de l’intégrale, définition qui fournit un moyen de calcul simple et rapide de cette notion.

Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b], , où F est une primitive de f sur [a ; b].

Remarque
Ainsi, et à partir de maintenant n’est rien d’autre qu’un nombre, à savoir le nombre F(b) – F(a). Il reste que ce nombre sera de temps à autre un nombre qui exprimera une aire, mais il y aura d’autres applications.

Exemple : calculer .
On a pour tout réel x, (x³)’ = 3x², donc est une primitive de f : x → x².
On a donc  : .
Reste le cas où a > b !
Dans le cas contraire, on a , donc .
Il est tentant de vouloir écrire .

Soit (a ; b) un couple de réels.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :
.

Dans tout ce paragraphe, (f ; g) est un couple de fonctions continues sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).

Théorème – linéarité de l’intégrale
On dispose des égalités suivantes :
.
Et pour tout réel k, .

Démonstrations immédiates liées au fait que F + G est une primitive de f + g et kF une primitive de kf.

Exemple : .

Théorème – relation de Chasles
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :.

Démonstration
.

Théorème – positivité
Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors .

Démonstration immédiate avec la définition de l’aire sous la courbe de f.

Corollaires
Si a < b et si f < 0, alors .
Si a < b et si f ≤ g sur [a ; b], alors .

Démonstrations
Le corollaire 1 est immédiat avec la définition de l’aire sous la courbe.
Pour le corollaire 2, si f < g sur [a ; b], alors f – g < 0 et d’après le corollaire 1 :
, soit par linéarité : , soit .

Si a < b, on appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre égal à .

Interprétation graphique dans le cas où f est positive sur [a ; b] :