Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Donner une nouvelle définition de la notion d’intégrale, définition liée à la notion de primitive qui permettra dans de nombreux cas de calculer rapidement une intégrale.
- Donner les propriétés de l’intégrale.
- Pour toute fonction f définie et continue
sur [a ; b],
,
où F est
une primitive de f sur [a ; b].
- Soit (a ;
b) un couple de
réels. Pour toute fonction f continue sur un intervalle
contenant les nombres a et b, on dispose de
l’égalité :
.
- Théorème – linéarité
de l’intégrale :
.
, pour tout réel
k.
- Théorème – relation de Chasles
:
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :
.
- Théorème – positivité :
Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors
.
Soit (a,
b) un couple
de réels vérifiant 
.
Soit f une
fonction continue sur [a ; b].
Si f est
positive, on sait que sur [a ; b] la fonction
est une primitive de f.
Donc 
et
.
On dispose donc de l’égalité
.
Si G est une
autre primitive de f sur [a ; b], alors G = F + k, où k est une constante.
Donc G(b) – G(a) =
F(b) – F(a) ;
ainsi l’égalité
ne
dépend pas du choix de la primitive de
f.
On démontre et on admet ici que cette
égalité reste vraie lorsque f n’est pas
positive.
On dispose alors maintenant d’une autre
définition de l’intégrale,
définition qui fournit un moyen de calcul simple
et rapide de cette notion.
,
où F
est une primitive de f sur [a ; b].
Ainsi, et à partir de maintenant
n’est rien d’autre qu’un nombre,
à savoir le nombre F(b) –
F(a). Il reste que ce nombre sera de
temps à autre un nombre qui exprimera une aire,
mais il y aura d’autres applications.
.On a pour tout réel x, (x3)’ = 3x2, donc
est une
primitive de f : x → x2.On a donc :
.Reste le cas où a > b !
Dans le cas contraire, on a
, donc
.Il est tentant de vouloir écrire
.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :
.
Dans tout ce paragraphe, (f ; g) est un couple de fonctions continues sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).
On dispose des égalités suivantes :
.Et pour tout réel k,
.
Démonstrations immédiates liées au fait que F + G est une primitive de f + g et kF une primitive de kf.
.
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :
.
Démonstration
.
Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors
.
Démonstration immédiate avec la définition de l’aire sous la courbe de f.
Si a < b et si f < 0, alors
.Si a < b et si f ≤ g sur [a ; b], alors
.
Démonstrations
Le corollaire 1 est immédiat avec la
définition de l’aire sous la courbe.
Pour le corollaire 2, si f < g sur [a ; b], alors f – g < 0 et
d’après le corollaire 1 :
, soit par
linéarité : 
, soit 
.
.
Interprétation graphique dans le cas où f est positive sur [a ; b] :
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques
La notion de primitive via le calcul intégral
Mathématiques
Construire un arbre de probabilité
Mathématiques
L'indépendance de deux évènements
Mathématiques
Définitions et notations ensemblistes- Terminale- Mathématiques
Mathématiques
Le vocabulaire de la logique- Terminale- Mathématiques
Mathématiques
Les différents raisonnements mathématiques- Terminale- Mathématiques
Mathématiques
Loi binomiale, espérance et écart type- Terminale- Mathématiques
Mathématiques
Loi, épreuve et schéma de Bernoulli
Mathématiques
Ensembles et sous-ensembles : réunion, produit cartésien, k-uplets
Mathématiques
Nombre de parties d'un ensemble fini et permutations
Fermer
Accédez gratuitement à
