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Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale

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Objectif(s)

• Donner une nouvelle définition de la notion d’intégrale, définition liée à la notion de primitive qui permettra dans de nombreux cas de calculer rapidement une intégrale.
• Donner les propriétés de l’intégrale.

1. Définitions

Soit (a, b) un couple de réels vérifiant

.
Soit f une fonction continue sur [a ; b].
Si f est positive, on sait que sur [a ; b] la fonction

est une primitive de f.

Donc

.

On dispose donc de l’égalité

.

Si G est une autre primitive de f sur [a ;b], alors G = F + k, où k est une constante.

Donc G(b) – G(a) = F(b) – F(a); ainsi l’égalité

ne dépend pas du choix de la primitive de f.
On démontre et on admet ici que cette égalité reste vraie lorsque f n’est pas positive.
On dispose alors maintenant d’une autre définition de l’intégrale, définition qui fournit un moyen de calcul simple et rapide de cette notion.

• Définition 1
Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b],

, où F est une primitive de f sur [a ; b].

Remarque :
Ainsi, et à partir de maintenant n’est rien d’autre qu’un NOMBRE, à savoir le nombre F(b) - F(a). Il reste que ce nombre sera de temps à autre un nombre qui exprimera une aire, mais il y aura d’autres applications.

• Exemple : calculer

.

On a pour tout réel x, (x³)’ = 3x², donc

est une primitive de f : x → x².

On a donc :

.

Reste le cas où a > b !
Dans le cas contraire, on a

, donc

.

Il est tentant de vouloir écrire

• Définition 2
Soit (a ; b) un couple de réels.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :

2. Propriétés de l'intégrale

Dans tout ce paragraphe, (f ; g) est un couple de fonctions continues sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).

• Théorème 1 : linéarité de l’intégrale.

On dispose des égalités suivantes :

.

Et pour tout réel k,

Démonstrations immédiates liées au fait que F + G est une primitive de f + g et kF une primitive de kf.

Exemple :

• Théorème 2 : relation de CHASLES.
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :

Démonstration :

• Théorème 3 : positivité.
Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors

Démonstration immédiate avec la définition de l’aire sous la courbe de f.

• Corollaires
- Si a < b et si f < 0, alors

.
- Si a < b et si f ≤ g sur [a ; b], alors

Démonstrations :
Le corollaire 1 est immédiat avec la définition de l’aire sous la courbe.
Pour le corollaire 2, si f < g sur [a ; b], alors f – g < 0 et d’après le corollaire 1 :