Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale
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- Donner une nouvelle définition de la notion d’intégrale, définition liée à la notion de primitive qui permettra dans de nombreux cas de calculer rapidement une intégrale.
- Donner les propriétés de l’intégrale.
- Pour toute fonction f définie et continue
sur [a ; b],
,
où F est
une primitive de f sur [a ; b].
- Soit (a ;
b) un couple de
réels. Pour toute fonction f continue sur un intervalle
contenant les nombres a et b, on dispose de
l’égalité :
.
- Théorème – linéarité
de l’intégrale :
.
, pour tout réel
k.
- Théorème – relation de Chasles
:
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :
.
- Théorème – positivité :
Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors
.
Soit (a,
b) un couple
de réels vérifiant 
.
Soit f une
fonction continue sur [a ; b].
Si f est
positive, on sait que sur [a ; b] la fonction
est une primitive de f.
Donc 
et
.
On dispose donc de l’égalité
.
Si G est une
autre primitive de f sur [a ; b], alors G = F + k, où k est une constante.
Donc G(b) – G(a) =
F(b) – F(a) ;
ainsi l’égalité
ne
dépend pas du choix de la primitive de
f.
On démontre et on admet ici que cette
égalité reste vraie lorsque f n’est pas
positive.
On dispose alors maintenant d’une autre
définition de l’intégrale,
définition qui fournit un moyen de calcul simple
et rapide de cette notion.
,
où F
est une primitive de f sur [a ; b].
Ainsi, et à partir de maintenant
n’est rien d’autre qu’un nombre,
à savoir le nombre F(b) –
F(a). Il reste que ce nombre sera de
temps à autre un nombre qui exprimera une aire,
mais il y aura d’autres applications.
.On a pour tout réel x, (x3)’ = 3x2, donc
est une
primitive de f : x → x2.On a donc :
.Reste le cas où a > b !
Dans le cas contraire, on a
, donc
.Il est tentant de vouloir écrire
.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :
.
Dans tout ce paragraphe, (f ; g) est un couple de fonctions continues sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).
On dispose des égalités suivantes :
.Et pour tout réel k,
.
Démonstrations immédiates liées au fait que F + G est une primitive de f + g et kF une primitive de kf.
.
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :
.
Démonstration
.
Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors
.
Démonstration immédiate avec la définition de l’aire sous la courbe de f.
Si a < b et si f < 0, alors
.Si a < b et si f ≤ g sur [a ; b], alors
.
Démonstrations
Le corollaire 1 est immédiat avec la
définition de l’aire sous la courbe.
Pour le corollaire 2, si f < g sur [a ; b], alors f – g < 0 et
d’après le corollaire 1 :
, soit par
linéarité : 
, soit 
.
.
Interprétation graphique dans le cas où f est positive sur [a ; b] :
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