Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale
• Donner les propriétés de l’intégrale.

Soit f une fonction continue sur [a ; b].
Si f est positive, on sait que sur [a ; b] la fonction

Donc


On dispose donc de l’égalité

Si G est une autre primitive de f sur [a ;b], alors G = F + k, où k est une constante.
Donc G(b) – G(a) = F(b) – F(a); ainsi l’égalité

On démontre et on admet ici que cette égalité reste vraie lorsque f n’est pas positive.
On dispose alors maintenant d’une autre définition de l’intégrale, définition qui fournit un moyen de calcul simple et rapide de cette notion.
Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b],

Remarque :
Ainsi, et à partir de maintenant

• Exemple : calculer

On a pour tout réel x, (x3)’ = 3x², donc

On a donc :

Reste le cas où a > b !
Dans le cas contraire, on a


Il est tentant de vouloir écrire

Soit (a ; b) un couple de réels.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :

On dispose des égalités suivantes :

Et pour tout réel k,

Exemple :

Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :


Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors

- Si a < b et si f < 0, alors

- Si a < b et si f ≤ g sur [a ; b], alors

Le corollaire 1 est immédiat avec la définition de l’aire sous la courbe.
Pour le corollaire 2, si f < g sur [a ; b], alors f – g < 0 et d’après le corollaire 1 :



Si a < b, on appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre égal à

Interprétation graphique dans le cas où f est positive sur [a ; b] :


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