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Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale

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Objectifs
  • Donner une nouvelle définition de la notion d’intégrale, définition liée à la notion de primitive qui permettra dans de nombreux cas de calculer rapidement une intégrale.
  • Donner les propriétés de l’intégrale.
Points clés
  • Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b], , où F est une primitive de f sur [a ; b].
  • Soit (a ; b) un couple de réels. Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité : .
  • Théorème – linéarité de l’intégrale :
    .
    , pour tout réel k.
  • Théorème – relation de Chasles :
    Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :.
  • Théorème – positivité :
    Si a < b et si f 0 sur l’intervalle I, alors .
1. Définitions

Soit (a, b) un couple de réels vérifiant .
Soit f une fonction continue sur [a ; b].

Si f est positive, on sait que sur [a ; b] la fonction  est une primitive de f.
Donc et .

On dispose donc de l’égalité .

Si G est une autre primitive de f sur [a ; b], alors G = F + k, où k est une constante.
Donc G(b) – G(a) = F(b) – F(a) ; ainsi l’égalité ne dépend pas du choix de la primitive de f.

On démontre et on admet ici que cette égalité reste vraie lorsque f n’est pas positive.
On dispose alors maintenant d’une autre définition de l’intégrale, définition qui fournit un moyen de calcul simple et rapide de cette notion.

Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b], , où F est une primitive de f sur [a ; b].
Remarque
Ainsi, et à partir de maintenant n’est rien d’autre qu’un nombre, à savoir le nombre F(b) – F(a). Il reste que ce nombre sera de temps à autre un nombre qui exprimera une aire, mais il y aura d’autres applications.
Exemple : calculer .
On a pour tout réel x, (x3)’ = 3x2, donc est une primitive de f : x → x2.
On a donc  : .
Reste le cas où a > b !
Dans le cas contraire, on a , donc .
Il est tentant de vouloir écrire .
Soit (a ; b) un couple de réels.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :
.
2. Propriétés de l'intégrale

Dans tout ce paragraphe, (f ; g) est un couple de fonctions continues sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).

Théorème – linéarité de l’intégrale
On dispose des égalités suivantes :
.
Et pour tout réel k, .

Démonstrations immédiates liées au fait que F + G est une primitive de f + g et kF une primitive de kf.

Exemple : .
Théorème – relation de Chasles
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :.

Démonstration
.

Théorème – positivité
Si a < b et si f 0 sur l’intervalle I, alors .

Démonstration immédiate avec la définition de l’aire sous la courbe de f.

Corollaires
Si a < b et si f < 0, alors .
Si a < b et si f g sur [a ; b], alors .

Démonstrations
Le corollaire 1 est immédiat avec la définition de l’aire sous la courbe.
Pour le corollaire 2, si f < g sur [a ; b], alors f g < 0 et d’après le corollaire 1 :
, soit par linéarité : , soit .

Si a < b, on appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre égal à .

Interprétation graphique dans le cas où f est positive sur [a ; b] :

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