Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale - Maxicours

Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale

Objectif(s)
• Donner une nouvelle définition de la notion d’intégrale, définition liée à la notion de primitive qui permettra dans de nombreux cas de calculer rapidement une intégrale.
• Donner les propriétés de l’intégrale.
1. Définitions
Soit (a, b) un couple de réels vérifiant .
Soit f une fonction continue sur [a ; b].
Si f est positive, on sait que sur [a ; b] la fonction  est une primitive de f.

Donc et .

On dispose donc de l’égalité .

Si G est une autre primitive de f sur [a ;b], alors G = F + k, où k est une constante.

Donc G(b) – G(a) = F(b) – F(a); ainsi l’égalité ne dépend pas du choix de la primitive de f.
On démontre et on admet ici que cette égalité reste vraie lorsque f n’est pas positive.
On dispose alors maintenant d’une autre définition de l’intégrale, définition qui fournit un moyen de calcul simple et rapide de cette notion.
Définition 1
Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b], , où F est une primitive de f sur [a ; b].

Remarque :
Ainsi, et à partir de maintenant n’est rien d’autre qu’un NOMBRE, à savoir le nombre F(b) - F(a). Il reste que ce nombre sera de temps à autre un nombre qui exprimera une aire, mais il y aura d’autres applications.

Exemple : calculer .

On a pour tout réel x, (x3)’ = 3x², donc est une primitive de f : x → x².

On a donc  : .

Reste le cas où a > b !
Dans le cas contraire, on a , donc .

Il est tentant de vouloir écrire .
Définition 2
Soit (a ; b) un couple de réels.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :
.
2. Propriétés de l'intégrale
Dans tout ce paragraphe, (f ; g) est un couple de fonctions continues sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).

• Théorème 1 : linéarité de l’intégrale.

On dispose des égalités suivantes :
.

Et pour tout réel k, .
Démonstrations immédiates liées au fait que F + G est une primitive de f + g et kF une primitive de kf.

Exemple : .


Théorème 2 : relation de CHASLES.
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité :.
Démonstration :
.


Théorème 3 : positivité.
Si a < b et si f ≥ 0 sur l’intervalle I, alors .
Démonstration immédiate avec la définition de l’aire sous la courbe de f.

Corollaires
  - Si a < b et si f < 0, alors .
  - Si a < b et si f ≤ g sur [a ; b], alors .
Démonstrations :
Le corollaire 1 est immédiat avec la définition de l’aire sous la courbe.
Pour le corollaire 2, si f < g sur [a ; b], alors f – g < 0 et d’après le corollaire 1 :

, soit par linéarité : , soit .

Définition 3
Si a < b, on appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre égal à .

Interprétation graphique dans le cas où f est positive sur [a ; b] :





Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Découvrez
Maxicours

Des profs en ligne

Géographie

Des profs en ligne

  • 6j/7 de 17h à 20h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les 10 matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Une interface Parents

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l'utilisation de Cookies ou autres traceurs pour améliorer et personnaliser votre navigation sur le site, réaliser des statistiques et mesures d'audiences, vous proposer des produits et services ciblés et adaptés à vos centres d'intérêt et vous offrir des fonctionnalités relatives aux réseaux et médias sociaux.