La notion de primitive via le calcul intégral - Maxicours

La notion de primitive via le calcul intégral

Objectif

Comprendre le lien entre primitive et intégrale d’une fonction.

Points clés
  • Pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction est dérivable sur [a ; b] et on a .
  • Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.
  • Propriétés :
    f admet des primitives sur I.
    • Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
    • Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x0) = y0 pour (x0 ; y0) un couple de réels donnés de I.
Pour bien comprendre
  • Connaitre la définition d’une fonction continue.
  • Connaitre le théorème des gendarmes.
  • Calculer un nombre dérivé, dériver une fonction.
1. Lien entre le calcul intégral et la dérivation
Théorème
Pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction est dérivable sur [a ; b] et a pour fonction dérivée f.
Autrement dit, pour tout réel x de [a ; b], on a .
Remarque
Dans l'écriture de l'intégrale, on utilise deux variables x et t.
x est la variable de la fonction F tandis que t est celle de f. On ne doit surtout pas utiliser la même lettre pour ces deux variables.
Exemples

Principe de démonstration

Soit un repère orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).
Soit (a ; b) un couple de réels vérifiant ab.
Soit f une fonction continue, positive et strictement monotone sur [a ; b] de courbe représentative Cf.
On va ici supposer que f est strictement croissante sur [a ; b].

Remarque
Le cas où f est strictement décroissante se traite de la même façon.

Soit t un réel de [a ; b].
On considère la partie du plan définie par :
{M(x ; y), a x t et 0 y f(x)} et on note A(t) son aire.
Soit h un réel non-nul vérifiant t + h [a ; b].

Voici une figure qui illustre la situation dans le cas où h > 0.

On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.

Par définition, on a : A(t) = .

Donc A(t + h) A(t) représente l'aire de la partie verte. Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives f(t) et f(t + h).





Ainsi on dispose des inégalités h × f(t) A(t + h) – A(t) h × f(t + h), et puisque h > 0 :
.
On fait maintenant intervenir la continuité de f sur [a ; b], donc en t.
Ainsi lorsque h tend vers 0, on a : .
En utilisant le théorème d'encadrement dit des « gendarmes », on a : .

On traite le cas h < 0 de la même façon, on obtient aussi : .

Finalement, on dispose de l’égalité : .

Cela signifie que la fonction A est dérivable en t et que A'(t= f(t).
Puisque t est quelconque sur [a ; b], la fonction A est dérivable sur [a ; b] et A' = f sur [a ; b].

2. Notion de primitives d'une fonction
Rappel : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.
Remarque
Voir la fiche intitulée « La primitive comme solution d'une équation différentielle y' = f ».
Conséquence immédiate

Avec les notations et conditions du théorème précédent, la fonction est une primitive de la fonction f sur [a ; b].

Exemple
Pour tout réel x, (x2+ 3)' = 2x, donc xx2+ 3 est une primitive de la fonction x →  2x.
Propriétés
Pour toute fonction f définie et continue sur un intervalle I :
(P1) f admet des primitives sur I.
(P2) Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
(P3) Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x0) = y0 pour (x0 ; y0) un couple de réels donnés de I.
Démonstrations

On se place dans le cas où I = [a ; b].

  • Pour (P1)

Il est nécessaire d'admettre le théorème qui énonce que toute fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] admet un minimum m sur I.

Graphiquement, cela semble cohérent :

Ainsi, pour tout réel x de I, f(x) m, donc f(x) m 0.

La fonction est continue et positive sur I, elle admet donc une primitive, à savoir la fonction .
Donc G'(x) = g(x) = f(x) m, soit encore f(x) = G'(x) + m.
Finalement, la fonction est une primitive de f car
F'(x) = G'(x) + m = f(x).

  • Pour (P2)

Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I.
Réciproquement, soit G une primitive de f sur I.
Alors G' = f = F', donc G' F' = 0, soit encore (G F)' = 0.
Autrement dit, G F = kk est une constante réelle, soit G = F + k.

  • Pour (P3)

Si G est une primitive de f sur I telle que G(x0) = y0, alors F(x0) + k = y0, donc k = y0 F(x0).
Ainsi G est l'unique fonction définie sur I par xF(x) + y0 F(x0).

Exemples

• Déterminer les primitives sur de .
On cherche d'abord une fonction F continue et dérivable sur telle que F'(x) = f(x).
On va utiliser ses connaissances sur les dérivées, à savoir :
(x3)' = 3x2, donc (x3)' = 2x2 et (x2+ x)' = 5x + 1.
Ainsi, (x3+ x2+ x)' = 2x2+ 5x + 1 = f(x)
et F(x) = x3+ x2+ x.
Les primitives de f sur I sont donc les fonctions de la forme , où k est une constante réelle.

• Déterminer la primitive G de f qui s'annule en 1.
G vérifie : G(x) = x3+ x2+ x + k pour tout réel x et G(1) = 0.
Donc .

Remarque
Le cours « La primitive comme solution d'une équation différentielle y' f » propose un tableau regroupant les primitives des fonctions de référence à connaitre en terminale.

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