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Le calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue

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Objectif

Prolonger la définition d'aire d'une surface plane pour les domaines dont un bord est une courbe de fonction continue, non nécessairement positive.

Points clés
  • Le domaine plan situé sous la courbe de f est le domaine noté ici Pf, limité par l'axe (OI), la courbe Cf et les droites d'équations x = a et x = b.
  • On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note  ou , le nombre égal à : aire(Pf+) – aire(Pf).
  • Si f ≤ g sur [a ; b], alors le domaine plan limité par Cf, Cg et les droites d'équations x = a et x = b a une aire égale à : .

On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).

1. Définitions

Soit (a, b) un couple de réels vérifiant a ≤ b.
Soit f une fonction continue sur [a ; b] de courbe représentative Cf.

Le domaine plan situé sous la courbe de f est le domaine noté ici Pf, limité par l'axe (OI), la courbe Cf et les droites d'équations x = a et x = b.
On appelle Pf+ l'éventuelle partie du domaine Pf située au-dessus de l'axe (OI) et Pf l'éventuelle partie de Pf  située au-dessous de (OI).

Autrement dit :

  • Pf+ = {M(x ; y), a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)} ;
  • Pf = {M(x ; y), a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0} ;
  • et Pf  = Pf+ Pf.
a. Illustrations des trois cas de figures possibles
  • Cas 1 (déjà vu) : f est positive, donc Pf = Pf+.
  • Cas 2 : f est négative, donc Pf = Pf.

  • Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.

b. Théorème, définition 2 et trois cas
On admet que Pf a une aire.
On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note ou , le nombre égal à : aire(Pf+) – aire(Pf).

Reprenons les trois cas de figures :

  • Cas 1 : f est positive, donc Pf = Ø. = aire(Pf+).
  • Cas 2 : f est négative, donc Pf+ = Ø.  = – aire(Pf).
  • Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.
    = aire(Pf+) – aire(Pf).



2. Aire entre deux courbes
a. Théorème admis

Soit (f ; g) un couple de fonctions continues sur un intervalle I de courbes respectives Cf et Cg.
Soit (a ; b) un couple de réels de I vérifiant ≤ b.

Si f ≥ g sur [a ; b], alors le domaine plan limité par Cf, Cg et les droites d'équations x = a et x = b a une aire égale à : .
b. Illustration
Remarque
On vient de définir relativement rigoureusement le concept d’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

Mais ces définitions dépendent de calculs d’aires, donc hormis pour des fonctions très simples construites à l'aide de fonctions affines, ces calculs sont longs et compliqués, nécessitant l’utilisation de suites et de calculs de limites.

Ensuite on s’est limité au cas où  b ; qu’en est-il lorsque a > b ?

Il est donc urgent de trouver un moyen simple, rapide et performant pour calculer ces intégrales.

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