Le calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue - Maxicours

Le calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue

Objectif

Prolonger la définition d'aire d'une surface plane pour les domaines dont un bord est une courbe de fonction continue, non nécessairement positive.

Points clés
  • Le domaine plan situé sous la courbe de f est le domaine noté ici Pf, limité par l'axe (OI), la courbe Cf et les droites d'équations x = a et x = b.
  • On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note  ou , le nombre égal à : aire(Pf+) – aire(Pf).
  • Si f ≤ g sur [a ; b], alors le domaine plan limité par Cf, Cg et les droites d'équations x = a et x = b a une aire égale à : .

On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).

1. Définitions

Soit (a, b) un couple de réels vérifiant a ≤ b.
Soit f une fonction continue sur [a ; b] de courbe représentative Cf.

Le domaine plan situé sous la courbe de f est le domaine noté ici Pf, limité par l'axe (OI), la courbe Cf et les droites d'équations x = a et x = b.
On appelle Pf+ l'éventuelle partie du domaine Pf située au-dessus de l'axe (OI) et Pf l'éventuelle partie de Pf  située au-dessous de (OI).

Autrement dit :

  • Pf+ = {M(x ; y), a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)} ;
  • Pf = {M(x ; y), a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0} ;
  • et Pf  = Pf+ Pf.
a. Illustrations des trois cas de figures possibles
  • Cas 1 (déjà vu) : f est positive, donc Pf = Pf+.
  • Cas 2 : f est négative, donc Pf = Pf.

  • Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.

b. Théorème, définition 2 et trois cas
On admet que Pf a une aire.
On appelle intégrale de f sur [a ; b] et l'on note ou , le nombre égal à : aire(Pf+) – aire(Pf).

Reprenons les trois cas de figures :

  • Cas 1 : f est positive, donc Pf = Ø. = aire(Pf+).
  • Cas 2 : f est négative, donc Pf+ = Ø.  = – aire(Pf).
  • Cas 3 : f est non-positive, c'est-à-dire de signe variable.
    = aire(Pf+) – aire(Pf).



2. Aire entre deux courbes
a. Théorème admis

Soit (f ; g) un couple de fonctions continues sur un intervalle I de courbes respectives Cf et Cg.
Soit (a ; b) un couple de réels de I vérifiant ≤ b.

Si f ≥ g sur [a ; b], alors le domaine plan limité par Cf, Cg et les droites d'équations x = a et x = b a une aire égale à : .
b. Illustration
Remarque
On vient de définir relativement rigoureusement le concept d’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b].

Mais ces définitions dépendent de calculs d’aires, donc hormis pour des fonctions très simples construites à l'aide de fonctions affines, ces calculs sont longs et compliqués, nécessitant l’utilisation de suites et de calculs de limites.

Ensuite on s’est limité au cas où  b ; qu’en est-il lorsque a > b ?

Il est donc urgent de trouver un moyen simple, rapide et performant pour calculer ces intégrales.

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