Le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone

Exemple
L'équation x³– x + 3 = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [–2 ; 0].
En effet, posons . Comme tout polynôme, f est une fonction continue. De plus, et .

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [–2 ; 0].
On voit sur la figure ci-dessous que la courbe d'équation  coupe l'axe des abscisses en un point sur l'intervalle [–2 ; 0].

Exemple 1
On donne le tableau de variations d'une fonction g définie et continue sur [2 ; 10].

Ce tableau de variations permet de dire que :

• la fonction g est continue et est strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 10] ;
• g(2) = –1 et g(10) = 5
• 0 ∈ [–1 ; 5]

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [2 ; 10].

Exemple 2
Soit f la fonction définie sur par f(x) = x³ + 3x + 4.
f’(x) = 3x²+ 3.
Pour tout réel x, f’(x) > 0. Donc la fonction f est strictement croissante sur .
D’autre part, la fonction f est continue sur car c’est une fonction polynôme.
et
Donc, d’après le corollaire des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 10 admet une unique solution dans .

Exemple
Reprenons la fonction f étudiée précédemment. Cette fonction f est définie sur par f(x) = x³ + 3x + 4.
Nous avons vu que l’équation f(x) = 10 admet une unique solution dans . Notons α cette solution. Voici le tableur d’une calculatrice :

Nous remarquons que f(1) < 10 et que f(2) > 10, donc 1 < α < 2.
En prenant un pas égal à 0,1, on obtient :

f(1,2) < 10 et f(1,3) > 10, donc 1,2 < α < 1,3.
En prenant un pas égal à 0,01, on obtient :

f(1,28) < 10 et f(1,29) > 10, donc 1,28 < α < 1,29.