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Le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone

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Objectif

Savoir montrer qu’une équation admet une ou plusieurs solutions sur un intervalle.

Points clés
  • Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels de I.
    Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que f(c= k.
    Autrement dit, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x= k admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b].
  • Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a et b deux réels de I et k un nombre compris entre f(a) et f(b). De plus, on suppose que f est strictement monotone sur I.
    Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c= k.
    Autrement dit, l'équation f(x= k admet une unique solution dans l'intervalle [a ; b].
  • Le tableur de la calculatrice permet d’obtenir un encadrement de la (ou des) solution(s).
Pour bien comprendre
  • Étudier les variations d’une fonction.
  • Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
1. Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème (admis)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que f(c= k. 
Autrement dit, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x= k admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b].
Exemple
L'équation x3 x + 3 = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [2 ; 0].
En effet, posons . Comme tout polynôme, f est une fonction continue. De plus, et .

Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x= 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [–2 ; 0].
On voit sur la figure ci-dessous que la courbe d'équation  coupe l'axe des abscisses en un point sur l'intervalle [–2 ; 0].

2. Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : cas des fonctions continues et strictement monotones sur I
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a et b deux réels de I et k un nombre compris entre f(a) et f(b). De plus, on suppose que f est strictement monotone sur I.
Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f(c= k.
Autrement dit, l'équation f(x= k admet une unique solution comprise dans l'intervalle [a ; b].
Remarques
  • Il y a deux ajouts par rapport au théorème des valeurs intermédiaires. D'abord la stricte monotonie de f. Cela signifie que f est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur I. Ensuite, l'unicité de la solution.
  • Le théorème se généralise au cas où f est continue et strictement monotone sur un intervalle ]a ; b[, et où les limites de f aux bornes sont des infinis de signes contraires (et ). On peut adapter le théorème des valeurs intermédiaires et cette généralisation aux cas [a ; b[ et ]a ; b].
Exemple 1
On donne le tableau de variations d'une fonction g définie et continue sur [2 ; 10].

Ce tableau de variations permet de dire que :

  • la fonction g est continue et est strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 10] ;
  • g(2) = –1 et g(10) = 5
  • 0 ∈ [1 ; 5]

Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x= 0 admet une unique solution dans l’intervalle [2 ; 10].

Exemple 2
Soit f la fonction définie sur par f(xx3 + 3x + 4.
f’(x= 3x2+ 3.
Pour tout réel x, f’(x> 0. Donc la fonction f est strictement croissante sur .
D’autre part, la fonction f est continue sur car c’est une fonction polynôme.
et
Donc, d’après le corollaire des valeurs intermédiaires, l’équation f(x= 10 admet une unique solution dans .
3. Encadrement des solutions

Une fois que l'existence de la (ou des) solution(s) de l'équation f(x= k est établie, le tableur de la calculatrice permet d’obtenir un encadrement de cette (ces) solution(s).

Exemple
Reprenons la fonction f étudiée précédemment. Cette fonction f est définie sur par f(xx3 + 3x + 4.
Nous avons vu que l’équation f(x= 10 admet une unique solution dans . Notons α cette solution. Voici le tableur d’une calculatrice :

Nous remarquons que f(1) < 10 et que f(2) > 10, donc 1 < α 2.
En prenant un pas égal à 0,1, on obtient :


f(1,2) < 10 et f(1,3) > 10, donc 1,2 < α < 1,3.
En prenant un pas égal à 0,01, on obtient :


f(1,28) 10 et f(1,29) > 10, donc 1,28 < α < 1,29.

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