Les propriétés des fonctions sinus et cosinus
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- Connaitre les fonctions sinus et cosinus.
- Connaitre quelques propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.
- Connaitre les représentations graphiques de ces fonctions.
- Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.
- Elles sont périodiques de période 2π.
- La courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- La fonction cosinus est paire, ce qui signifie que pour
tout x
de
:
cos(x) = cos(–x).
- La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au centre du repère O.
- La fonction sinus est impaire, ce qui signifie que
pour tout x de : sin(x) = – sin(x).
Soit C le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
, la mesure de
l’angle orienté étant le
radian.À tout point M du cercle C, il existe une infinité de réels mesurant
. Si l’un d’entre
eux se note x, alors les autres valent
x + k × 2π,
où k
est un entier relatif quelconque.
Sur la droite du repère (I,K), le point A a pour abscisse x.
En « enroulant » le segment [IA] autour du cercle trigonométrique, on remarque que A est le point associé à M.
La longueur de l'arc 
est donc égale à x et l'angle orienté
associé mesure x radians.
M a pour
coordonnées (cos(x) ; sin(x)).
Les valeurs de sinus et cosinus sur (
) sont
répertoriées dans le tableau ci-dessous
(construit dans le sens trigonométrique) :
| x | 0 |
|
|
|
|
| sin(x) | 0 |
|
|
|
1 |
| cos(x) | 1 |
|
|
|
0 |
Le plan est muni d'un repère
orthonormal 
avec 
et 
.
par x → sin(x). On la
note sin.
par x → cos(x).
On la note cos.
Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :
sin(x + 2π) =
sin(x)
et
cos(x + 2π) =
cos(x).
On dit alors que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période 2π.
En effet, l’enroulement sur le cercle trigonométrique des points de la droite de repère (IK) d’abscisses x et x + 2π génère le même point M, puisque le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π.
sin((x – 2π) + 2π) = sin(x – 2π), soit sin(x) = sin(x – 2π).
-
Pour Csin, si un
point M
d’abscisse x est un point de
Csin, alors un
point N de
Csin
d’abscisse (x + 2π)
a pour ordonnée celle du point
M. On
dispose ainsi de l’égalité
et il suffit alors de tracer
Csin sur un
intervalle d’amplitude 2π, par exemple
l’intervalle [–π ; π],
puis de compléter le tracé par des
translations successives de vecteurs 2π
et –2π
.
- Il en est de même pour Ccos.
Pour tout réel x, on dispose des égalités suivantes :
sin(–x)
= –sin(x)
et
cos(x) =
cos(–x).
On dit que la fonction sinus est une fonction impaire, tandis que la fonction cosinus est une fonction paire.
En effet, si le point M est un point du cercle
trigonométrique tel que 
, alors le point M’ symétrique de
M par rapport
à (OI) est
un point du cercle trigonométrique tel que
.
Ainsi, par cette considération de
symétrie :
M’(xM
; –yM) soit
M’(cos(x) ;
–sin(x)).
Mais par définition de son repérage
circulaire :
M’(cos(–x) ;
sin(–x)), l’unicité
des coordonnées d’un point termine la
démonstration.
- Pour Csin, si un point
M d’abscisse
x est un
point de Csin, alors le point
M’ de
Csin
d’abscisse (–x) a une ordonnée
opposée à celle du point M. Ainsi, M’ est le
symétrique de M par rapport à
O.
Le point O, origine du repère est donc un centre de symétrie de la courbe Csin.
- Pour Ccos, si un point
M d’abscisse
x est un
point de Ccos, alors le point
M’’ de
Ccos
d’abscisse (–x) a une
ordonnée égale à celle du point
M. Ainsi,
M’’ est
le symétrique de M par rapport à
l’axe des ordonnées
.
L'axe des ordonnées est donc un axe de symétrie de la fonction cosinus.
Pour tout réel x, on dispose des égalités :
sin(
+ x) = cos(x)et
sin(
– x) = cos(x).
On admet ces deux égalités.
La démonstration repose sur la symétrie
du point M de
repérage circulaire x par rapport à la
droite d’équation y = x. Une figure permet de
visualiser clairement ces égalités.
Si C est un point
d’abscisse x de Ccos, alors le point
S d’abscisse
de Csin a la même
ordonnée que C.
Ainsi, 
.
Ccos
se déduit de Csin par translation
de vecteur 
.
À l’aide de ces propriétés,
on peut tracer les courbes Csin et
Ccos.
Pour cela, on utilisera les valeurs remarquables de
sinus et de cosinus.
On tracera d’abord Csin sur [0 ; π], puis par
symétrie sur [–π ; 0]
(propriété 2), puis on effectuera
des translations (propriété 1).
On déduira Ccos de
Csin
par translation (propriété 3).
Graphiquement, on constate que pour tout réel x, sin(x) et cos(x) sont des nombres compris entre –1 et 1. On le savait déjà de par la définition du cercle trigonométrique.
On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur
, à savoir
minorées par –1 et majorées
par 1.
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