Les dérivées des fonctions sinus, cosinus et applications
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Résoudre une équation du type cos(x) = a ou sin(x) = a.
- Résoudre une inéquation de la forme cos(x) ⩽ a ou sin(x) ⩽ a.
- Étudier une fonction simple définie à partir de fonctions trigonométriques.
- Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables
sur
et, pour tout
réel x, on a sin’(x) = cos(x) et cos’(x) = –sin(x).
- Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques
de période
. Pour tout réel
x, on a
et 
.
- La fonction cosinus est paire. Pour tout réel
x,
cos(–x) = cos x.
La fonction sinus est impaire. Pour tout réel x, sin(–x) = –sin x. - Pour résoudre une équation ou une inéquation avec cos ou sin, on peut utiliser le cercle trigonométrique ou la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.
- Connaitre les notions de trigonométrie.
- Dériver une fonction.
.
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = 1 – 2sin2(a)
On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche.
Pour 0 < x <
, on utilise le
théorème de Thalès dans le
triangle OIT.
On obtient : 
soit 
car CM = OS et donc
IT =
= tan(x).
On constate aussi que le triangle OIM est inclus dans le secteur
circulaire IOM, inclus lui-même dans
le triangle OIT.
Donc en utilisant les aires, on obtient :
, soit sin(x) ≤ x ≤
car OI = 1.
En inversant, on obtient 
.
Soit cos(x) ≤ 
≤ 1 car sin(x) > 0 pour 0 < x < 
.
De plus, cos(–x) = cos(x) et 
donc cos(– x) ≤ 
≤ 1.
Ainsi, .
.tf (h) est le taux de variation de f entre a et a + h.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant :
.On note L = f ’(a).
La fonction sinus est dérivable en 0 et sin’(0) = 1.
Pour x non
nul, le taux de variation de la fonction sinus entre
x et 0
est :
tsin(x)
= 
.
On a vu que cos(x) ≤ 
≤ 1 pour
et que 
.
Donc, d’après le théorème
d’encadrement, on en déduit que :
.
Ainsi : 
et donc sin’(0) = 1.
La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos’(0) = 0.
.On a vu que
.Donc :
.
, donc 
et 
.Ainsi,
et cos'(0) = 0.
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur
et pour tout
réel x, on a :
.
Soit (a ;
h) un couple
de réels tel que 
.
Le taux de variation de la fonction sinus entre
a et
a + h
est donné par 
.
On utilise la formule 
.
Donc 
.
Et 
.
On procède de la même façon avec la
fonction cosinus et 
.
.
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période
.Pour tout réel x, on a :
et 
.
Cela signifie que, pour tracer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus, il suffit de les tracer sur un intervalle d’amplitude
puis de compléter
les courbes par translations successives de vecteur
et 
.
La fonction cosinus est paire. Pour tout réel x, cos(–x) = cos x.
Cela signifie que, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La fonction sinus est impaire. Pour tout réel x, sin(–x) = –sin x.
Cela signifie que, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Étant donné la parité et la
périodicité des fonctions cosinus et
sinus, on les étudie sur 
.
| x | 0 π |
| cos'(x) = – sin x | 0 – 0 |
| cos(x) |
1 
–1
|
Courbe
| x |
0
π
|
| sin'(x) = cos x | 1 + 0 – –1 |
| sin(x) |
0 
1  0
|
Courbe
Dans ce paragraphe, on rappelle les méthodes de résolution d’équations et d’inéquations par le biais d’exemples.
Résoudre l’équation
sur l’intervalle
.
1re
méthode : On utilise le cercle
trigonométrique.
On place sur le cercle les deux points qui
correspondent à 
, c’est-à-dire
les deux points d’abscisse 
.
Donc l’équation admet deux solutions
dans l’intervalle : 
.
2e méthode
: On utilise la courbe
représentative de la fonction cosinus.
On trace la courbe représentative de la
fonction cosinus et la droite d’équation
.
On cherche le nombre de points d’intersection
dans l’intervalle : il y en a deux.
Les abscisses correspondent à des valeurs
remarquables du cosinus.
On retrouve sur l’intervalle
.
On peut utiliser ces deux méthodes pour résoudre une équation du type sin x = 0. Avec la méthode de l’utilisation du cercle trigonométrique, on place les points d’ordonnée a.
Résoudre l’équation
sur l’intervalle
.
1re méthode : On utilise le cercle trigonométrique.
Les points solutions du cercle ont une abscisse
inférieure ou égale à
.
Il s’agit des points qui sont sur l’arc
de cercle rouge de la figure.
Donc l’ensemble des solutions sur
l’intervalle est un
intervalle :
.
2e méthode
: On utilise la courbe
représentative de la fonction cosinus.
On cherche les points de la courbe qui ont une
ordonnée inférieure ou égale
à sur l’intervalle
, c’est-à-dire
les points de la courbe situés en dessous de
la droite.
Donc .
Pour la résolution d’inéquations du type sin x ≤ a, on applique les mêmes méthodes. Dans le cas de l’utilisation du cercle trigonométrique, on observe les points dont l’ordonnée est inférieure ou égale à a.
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