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Les dérivées des fonctions sinus, cosinus et applications

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Objectifs

Résoudre une équation du type cos(x) = a ou sin(x) = a.
Résoudre une inéquation de la forme cos(x) ⩽ a ou sin(x) ⩽ a.
Étudier une fonction simple définie à partir de fonctions trigonométriques.

Points clés

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et, pour tout réel x, on a sin’(x) = cos(x) et cos’(x) = –sin(x).
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période . Pour tout réel x, on a et .
La fonction cosinus est paire. Pour tout réel x, cos(–x) = cos x.
La fonction sinus est impaire. Pour tout réel x, sin(–x) = –sin x.
Pour résoudre une équation ou une inéquation avec cos ou sin, on peut utiliser le cercle trigonométrique ou la représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.

Pour bien comprendre

Connaitre les notions de trigonométrie.
Dériver une fonction.

1. Quelques résultats utiles

a. Aire d'un secteur circulaire

L’aire d’un secteur circulaire de rayon R et d’angle au centre α (en radians) est égale à

b. Propriétés des fonctions sinus et cosinus

Propriétés
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(2a) = 1 – 2sin²(a)

On considère la figure suivante à laquelle on se référera tout au long de cette fiche.

Propriété

Démonstration

Pour 0 < x < , on utilise le théorème de Thalès dans le triangle OIT.
On obtient : soit car CM = OS et donc
IT = = tan(x).
On constate aussi que le triangle OIM est inclus dans le secteur circulaire IOM, inclus lui-même dans le triangle OIT.
Donc en utilisant les aires, on obtient :
, soit sin(x) ≤ x ≤ car OI = 1.
En inversant, on obtient .
Soit cos(x) ≤ ≤ 1 car sin(x) > 0 pour 0 < x < .
De plus, cos(–x) = cos(x) et donc cos(– x) ≤ ≤ 1.
Ainsi, .

2. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus

a. Rappels

Soit h un réel non nul, on pose : t_f (h) =

.
t_f (h) est le taux de variation de f entre a et a + h.

Propriété
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est dérivable en a s’il existe un nombre L vérifiant :

.
On note L = f ’(a).

b. Dérivabilité en 0

Fonction sinus

Propriétés
La fonction sinus est dérivable en 0 et sin’(0) = 1.

Démonstration

Pour x non nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est :
t_sin(x) = .

On a vu que cos(x) ≤ ≤ 1 pour et que .
Donc, d’après le théorème d’encadrement, on en déduit que :
.
Ainsi : et donc sin’(0) = 1.

Fonction cosinus

Propriétés
La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos’(0) = 0.

Démonstration

Pour x non nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre x et 0 est :

.
On a vu que

.
Donc :

, donc

.
Ainsi,

et cos'(0) = 0.

c. Dérivabilité sur R

Propriété
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur

et pour tout réel x, on a :

Démonstration

Soit (a ; h) un couple de réels tel que .
Le taux de variation de la fonction sinus entre a et a + h est donné par .

On utilise la formule .
Donc .
Et .

On procède de la même façon avec la fonction cosinus et .

Remarque

3. Étude des fonctions sinus et cosinus

a. Périodicité

Propriété
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période

.
Pour tout réel x, on a :

Remarque
Cela signifie que, pour tracer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus, il suffit de les tracer sur un intervalle d’amplitude

puis de compléter les courbes par translations successives de vecteur

b. Parité

Propriété
La fonction cosinus est paire. Pour tout réel x, cos(–x) = cos x.

Remarque
Cela signifie que, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Propriété
La fonction sinus est impaire. Pour tout réel x, sin(–x) = –sin x.

Remarque
Cela signifie que, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.

c. Tableau de variation et courbe représentative

Étant donné la parité et la périodicité des fonctions cosinus et sinus, on les étudie sur .

Fonction cosinus

x	0 π
cos'(x) = – sin x	0 – 0
cos(x)	1 –1

Tableau de variations

Courbe

Fonction sinus

x	0 π
sin'(x) = cos x	1 + 0 – –1
sin(x)	0 1 0

Tableau de variations

Courbe

4. Rappels sur les équations et inéquations trigonométriques

Dans ce paragraphe, on rappelle les méthodes de résolution d’équations et d’inéquations par le biais d’exemples.

a. Équations du type cos x = a ou sin x = a

Exemple
Résoudre l’équation

sur l’intervalle

1^re méthode : On utilise le cercle trigonométrique.
On place sur le cercle les deux points qui correspondent à , c’est-à-dire les deux points d’abscisse .

Donc l’équation admet deux solutions dans l’intervalle : .

2^e méthode : On utilise la courbe représentative de la fonction cosinus.
On trace la courbe représentative de la fonction cosinus et la droite d’équation .
On cherche le nombre de points d’intersection dans l’intervalle : il y en a deux.
Les abscisses correspondent à des valeurs remarquables du cosinus.

On retrouve sur l’intervalle .

Remarque
On peut utiliser ces deux méthodes pour résoudre une équation du type sin x = 0. Avec la méthode de l’utilisation du cercle trigonométrique, on place les points d’ordonnée a.

b. Inéquations du type cos x <= a ou sin x <= a

Exemple
Résoudre l’équation

sur l’intervalle

1^re méthode : On utilise le cercle trigonométrique.

Les points solutions du cercle ont une abscisse inférieure ou égale à .

Il s’agit des points qui sont sur l’arc de cercle rouge de la figure.
Donc l’ensemble des solutions sur l’intervalle est un intervalle :
.

2^e méthode : On utilise la courbe représentative de la fonction cosinus.
On cherche les points de la courbe qui ont une ordonnée inférieure ou égale à sur l’intervalle , c’est-à-dire les points de la courbe situés en dessous de la droite.

Donc .

Remarque
Pour la résolution d’inéquations du type sin x ≤ a, on applique les mêmes méthodes. Dans le cas de l’utilisation du cercle trigonométrique, on observe les points dont l’ordonnée est inférieure ou égale à a.