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La fonction logarithme népérien : variations et limites

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Objectif(s)

• Étudier la fonction logarithme népérien.
• Donner des limites importantes qui serviront pour les cas de formes indéterminées.
• Donner le complément de dérivation concernant ln.

1. Etude de la fonction ln

Théorème 1
La fonction ln est strictement croissante sur

Démonstration
Soit x un réel tel que x > 0.
On a :

, donc (lnx)’ > 0 et le théorème est démontré.

Propriété 4
Dans un repère orthonormal du plan, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Démonstration
Soit x un réel tel que x > 0.
On pose L(x ; lnx) un point de C_ln.

On a :

, donc E(lnx ; x) est un point de C_exp.

, un vecteur directeur de (d) : y = x sont orthogonaux puisque leur produit scalaire est nul.
De plus le milieu M de [EL] a pour coordonnées

, donc M est un point de (d).

Ainsi, C_ln et C_exp sont bien symétriques par rapport à la droite y = x.

Propriété 5
On dispose des propositions suivantes :

• (P1) :

.

• (P2) :

Démonstration
• Pour (P1), on peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout réel A, il existe un réel M tel que la proposition
(x > M

lnx > A) est vraie.
Soit A un réel.
On a : lnx > A

x > e^A ; il suffit donc de choisir M = e^A.

• Pour (P2) : soit x un réel tel que x > 0.

On a :

; on pose :

.

Quand x → 0 et x > 0, alors

, donc (P2) est vraie.

2. Compléments

Propriété 6
Pour tout couple (a ; b) de reéls strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : a = b

lna = lnb.
• (P2) : a < b

lna < lnb.

Démonstration liée aux variations des fonctions croissantes exp et ln.

Propriété 7
On dispose des propositions suivantes :

• (P1) :

.

• (P2) :

.

• (P3) :

Démonstration
• Pour (P1), on utilise la définition donnée en 1S du nombre dérivé de ln en 1.

On a :

;

or,

.

• Pour (P2) : soit x un réel; on pose X = e^x, donc lnX= x.

Donc

; or,

, donc

.

• Pour (P3) : Soit x un réel tel que x > 0.

On a :

; on pose

.

Quand x → 0 et x > 0,

. Il suffit alors d’appliquer (P2).

Propriété 8 (admise)
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout réel x de I on dispose de l’égalité :

Remarque
Cette formule « prolonge » la formule de (lnx)’.

Exemple
Pour tout réel x, on pose f(x) = ln(1 + x²).
Pour tout réel x, on pose : u(x) = 1 + x². u est dérivable et strictement positive sur