La fonction logarithme népérien : variations et limites
• Donner des limites importantes qui serviront pour les cas de formes indéterminées.
• Donner le complément de dérivation concernant ln.
La fonction ln est strictement croissante sur

Démonstration
Soit x un réel tel que x > 0.
On a :

Dans un repère orthonormal du plan, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Démonstration
Soit x un réel tel que x > 0.
On pose L(x ; lnx) un point de Cln.
On a :



De plus le milieu M de [EL] a pour coordonnées

Ainsi, Cln et Cexp sont bien symétriques par rapport à la droite y = x.

On dispose des propositions suivantes :
• (P1) :

• (P2) :

Démonstration
• Pour (P1), on peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout réel A, il existe un réel M tel que la proposition
(x > M

Soit A un réel.
On a : lnx > A

• Pour (P2) : soit x un réel tel que x > 0.
On a :


Quand x → 0 et x > 0, alors


Pour tout couple (a ; b) de reéls strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : a = b

• (P2) : a < b

Démonstration liée aux variations des fonctions croissantes exp et ln.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) :

• (P2) :

• (P3) :

Démonstration
• Pour (P1), on utilise la définition donnée en 1S du nombre dérivé de ln en 1.
On a :

or,

• Pour (P2) : soit x un réel; on pose X = ex, donc lnX= x.
Donc




• Pour (P3) : Soit x un réel tel que x > 0.
On a :


Quand x → 0 et x > 0,

Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout réel x de I on dispose de l’égalité :

Remarque
Cette formule « prolonge » la formule de (lnx)’.
Exemple
Pour tout réel x, on pose f(x) = ln(1 + x2).
Pour tout réel x, on pose : u(x) = 1 + x2. u est dérivable et strictement positive sur




Fiches de cours les plus recherchées

Des profs en ligne
- 6j/7 de 17h à 20h
- Par chat, audio, vidéo
- Sur les 10 matières principales

Des ressources riches
- Fiches, vidéos de cours
- Exercices & corrigés
- Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques
- Coach virtuel
- Quiz interactifs
- Planning de révision

Des tableaux de bord
- Suivi de la progression
- Score d’assiduité
- Une interface Parents