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La fonction logarithme népérien : variations et limites

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Objectif

Étudier la fonction logarithme népérien.

Points clés

La fonction ln est strictement croissante sur .
et
Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Pour tous réels a et b strictement positifs :
a = b ln a = ln b.
a < b ln a < ln b.
et, de manière générale, pour tout entier naturel n non nul, .
et
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x ↦ ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité .

Pour bien comprendre

Connaitre la fonction exponentielle.
Connaitre la fonction logarithme népérien.

1. Étude de la fonction ln

a. Dérivée et variations

Propriétés
La fonction ln est définie sur l’intervalle

par f(x) = ln(x).
Pour tout réel x de

.
Or x > 0, donc f’(x) > 0 sur l’intervalle

.
Donc la fonction ln est strictement croissante sur

b. Limites aux bornes de l'ensemble de définition

Limite en +∞

Propriété

Démonstration

On peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout réel A, il existe un réel M tel que la proposition (x > M ln x > A) est vraie.

Soit A un réel.
On a ln x > A x > e^A ; il suffit de choisir M = e^A.
On en déduit .

Limite en 0

Propriété

Démonstration

Soit x un réel tel que x > 0.
On a ; on pose .
Quand x → 0 et x > 0, alors et .
On en déduit .

c. Courbe représentative de la fonction logarithme népérien

Propriété
Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Démonstration

Soit x un réel tel que x > 0.

Soit C_ln et C_exp les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle dans un repère orthonormé.
On pose L(x ; ln x) un point de C_ln.

On a , donc E(ln x ; x) est un point de C_exp.

et , un vecteur directeur de (d) : y = x sont orthogonaux puisque leur produit scalaire est nul.
De plus le milieu M de [EL] a pour coordonnées , donc M est un point de (d).

Ainsi, C_ln et C_exp sont bien symétriques par rapport à la droite y = x.

2. Résolutions d'équations et d'inéquations avec ln

Propriétés
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’intervalle

et la fonction exponentielle est strictement croissante sur

.
On en déduit que, pour tous réels a et b strictement positifs :
a = b

ln a = ln b.
a < b

ln a < ln b.

Exemples
Sur l’intervalle

, ln(x) = ln(2)

x = 2.
Sur l’intervalle

, ln(x) > ln(2)

x > 2.

3. Croissances comparées

Propriétés

De manière générale, pour tout entier naturel n non nul :
.
De manière générale, pour tout entier naturel n non nul :

Démonstrations

Soit x un réel ; on pose X = e^x, donc ln X = x.
Donc ; or, et , donc .
On peut donc en déduire que .
Soit x un réel tel que x > 0.
On a : ; on pose .
Quand x → 0 et x > 0, . Or .
On peut donc en déduire que .

4. Limite et dérivabilité d'une fonction

Propriété

Démonstration

On utilise la définition donnée en classe de première du nombre dérivé de ln en 1.
On a : ;
or, .

5. La fonction ln(u) avec u fonction strictement positive sur un intervalle I

Propriété
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité :