La fonction logarithme népérien : variations et limites
Étudier la fonction logarithme népérien.
- La fonction ln est
strictement croissante sur
.
-
et 
- Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
- Pour tous réels a et b strictement
positifs :
a = b
ln a = ln b.
a < bln a < ln b.
-
et, de manière
générale, pour tout entier
naturel n
non nul, 
.
-
et 
- Soit u une
fonction dérivable et positive sur un
intervalle I.
La fonction x ↦ ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité
.
- Connaitre la fonction exponentielle.
- Connaitre la fonction logarithme népérien.
La fonction ln est définie sur l’intervalle
par f(x) = ln(x).Pour tout réel x de
, 
.Or x > 0, donc f’(x) > 0 sur l’intervalle
.Donc la fonction ln est strictement croissante sur
.
On peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout
réel A, il existe un
réel M tel que la proposition
(x > M 
ln x > A) est vraie.
Soit A un
réel.
On a ln x > A 
x > eA ;
il suffit de choisir M = eA.
On en déduit 
.
Soit x un
réel tel que x > 0.
On a 
; on pose 
.
Quand x → 0 et
x > 0,
alors 
et 
.
On en déduit 
.
Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Soit x un réel tel que x > 0.
Soit Cln et
Cexp
les courbes représentatives des fonctions
logarithme népérien et exponentielle dans
un repère orthonormé.
On pose L(x ; ln x) un point de
Cln.
On a 
, donc E(ln x ; x) est un point de
Cexp.
et 
, un vecteur directeur de
(d) : y = x
sont orthogonaux puisque leur produit scalaire est
nul.
De plus le milieu M
de [EL] a pour
coordonnées 
, donc M est un point de
(d).
Ainsi, Cln et
Cexp
sont bien symétriques par rapport à la
droite y = x.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’intervalle
et la fonction exponentielle est
strictement croissante sur 
.On en déduit que, pour tous réels a et b strictement positifs :
a = b
ln a = ln b.a < b
ln a < ln b.
Sur l’intervalle
, ln(x) = ln(2) 
x = 2.Sur l’intervalle
, ln(x) > ln(2) 
x > 2.
-
De manière générale, pour tout entier naturel n non nul :
.
-
De manière générale, pour tout entier naturel n non nul :
- Soit x un
réel ; on pose X = ex, donc
ln X = x.
Donc
; or, 
et 
, donc
.
On peut donc en déduire que.
- Soit x un
réel tel que x > 0.
On a :
; on
pose 
.
Quand x → 0 et x > 0,
. Or 
.
On peut donc en déduire que.
On utilise la définition donnée en classe
de première du nombre dérivé
de ln
en 1.
On a : 
;
or, 
.
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité :
.
Pour tout réel x, on pose f(x) = ln(1 + x2).
Pour tout réel x, on pose : u(x) = 1 + x2.
u est dérivable et strictement positive sur
, donc f est aussi dérivable
sur 
et, pour tout
réel x, on a : 
.
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