La fonction logarithme népérien : variations et limites - Maxicours

La fonction logarithme népérien : variations et limites

Objectif

Étudier la fonction logarithme népérien.

Points clés
  • La fonction ln est strictement croissante sur .
  •  et 
  • Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
  • Pour tous réels a et b strictement positifs :
    a = b ln a = ln b.
    a < b ln a < ln b.
  • et, de manière générale, pour tout entier naturel n non nul, .
  • et
  • Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
    La fonction x ↦ ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la fonction exponentielle.
  • Connaitre la fonction logarithme népérien.
1. Étude de la fonction ln
a. Dérivée et variations
Propriétés
La fonction ln est définie sur l’intervalle par f(x= ln(x).
Pour tout réel x de , .
Or x > 0, donc f’(x> 0 sur l’intervalle .
Donc la fonction ln est strictement croissante sur .
b. Limites aux bornes de l'ensemble de définition
Limite en +∞
Propriété
Démonstration

On peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout réel A, il existe un réel M tel que la proposition (x > M  ln x > A) est vraie.

Soit A un réel.
On a ln x > A x > eA ; il suffit de choisir M = eA.
On en déduit .

Limite en 0
Propriété
Démonstration

Soit x un réel tel que > 0.
On a  ; on pose .
Quand x → 0 et x > 0, alors et .
On en déduit .

c. Courbe représentative de la fonction logarithme népérien
Propriété
Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y x.
Démonstration

Soit x un réel tel que x > 0.

Soit Cln et Cexp les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle dans un repère orthonormé.
On pose L(x ; ln x) un point de Cln.

On a , donc E(ln x ; x) est un point de Cexp.

et , un vecteur directeur de (d) : y = x sont orthogonaux puisque leur produit scalaire est nul.
De plus le milieu M de [EL] a pour coordonnées , donc M est un point de (d).

Ainsi, Cln et Cexp sont bien symétriques par rapport à la droite y = x.

2. Résolutions d'équations et d'inéquations avec ln
Propriétés
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur l’intervalle et la fonction exponentielle est strictement croissante sur .
On en déduit que, pour tous réels a et b strictement positifs :
a = b ln a = ln b.
a < b ln a < ln b.
Exemples
Sur l’intervalle , ln(x) = ln(2) x = 2.
Sur l’intervalle , ln(x) > ln(2) x > 2.
3. Croissances comparées
Propriétés

  1. De manière générale, pour tout entier naturel n non nul :
     .

  2. De manière générale, pour tout entier naturel n non nul :
Démonstrations
  1. Soit x un réel ; on pose X = ex, donc ln X = x.
    Donc ; or, et , donc .
    On peut donc en déduire que .
  2. Soit x un réel tel que x > 0.
    On a : ; on pose .
    Quand x 0 et x > 0, . Or .
    On peut donc en déduire que .
4. Limite et dérivabilité d'une fonction
Propriété
Démonstration

On utilise la définition donnée en classe de première du nombre dérivé de ln en 1.
On a : ;
or, .

5. La fonction ln(u) avec u fonction strictement positive sur un intervalle I
Propriété
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité : .
Exemple
Pour tout réel x, on pose f(x= ln(1 + x2).
Pour tout réel x, on pose : u(x= 1 + x2.
u est dérivable et strictement positive sur , donc f est aussi dérivable sur et, pour tout réel x, on a : .

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