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La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions

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Objectif(s)

• Introduire une nouvelle fonction usuelle, à savoir la fonction logarithme népérien.
• Donner les premières propriétés de cette fonction.

1. Définition et propriétés immédiates

Préambule
Conformément à l’esprit du programme officiel, on se place dans le cas où l’on connait déjà la fonction exponentielle, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires.

La fonction exponentielle est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur

.

Ses limites aux infinis sont :

.

Donc l’ensemble image de

par exp est l’intervalle

(par abus de notation, on le note exp(

) =

) .

Donc d’après l’un des corollaires du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre réel λ strictement positif, il existe un unique réel t tel que e^t = λ.

Le réel t, solution unique de l’équation e^t = λ sera appelé le logarithme népérien de et noté ln(λ).

Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur

qui à tout réel x strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnue t : e^t = x.
L’inconnue réelle t est notée ln(x) ou par abus lnx.
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : e^ln(x) = x.

Remarque immédiate (et évidente)
La fonction ln est liée de par sa définition à la fonction exp.

Propriété 1 (conséquence de la définition)
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
(P1) : Si x > 0, alors (x = e^t

t = ln(x)
(P2) : ln(e^x) = x
(P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

► Démonstration
• (P1) n’est qu’une autre traduction de la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel. e^x > 0, on peut alors poser t = ln(e^x).
t = ln(e^x)

e^x = e^t, d’après (P1) et e^x = e^t

x = t
• Pour (P3) : e⁰ = 1, donc ln(1) = 0 et e¹ = e donc ln(e) = 1.

2. Propriétés

Propriété 2 : relation fonctionnelle
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b).

► Démonstration
Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.
a.b > 0, donc on peut poser : P = ln(a × b) et S = ln(a) + ln(b).

On a : e^P = a × b et e^S = e^{ln(a) + ln(b)} = e^ln(a) × e^ln(b) = a × b, donc e^P = e^S, soit P = S.

Remarque
On dit que le logarithme népérien transforme des produits en sommes.

Propriété 3
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :

• (P1) :

• (P2) :

• (P3) : Pour tout entier relatif n,

• (P4) :

► Démonstration
Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.

• Pour (P1) :

, donc

;

or, ln(1) = 0, donc (P1) est vraie.

• Pour (P2), on utilise

.

• Pour (P3), on utilise un raisonnement par récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour n entier naturel.

Pour n entier non naturel (n < 0), on a :

.

• Pour (P4) :

, donc

Propriété 4
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur

et pour tout réel x strictement positif, on dispose de l’égalité :

On admet ici la continuité et la dérivabilité de ln ; on démontre la formule.
Soit x un réel tel que x > 0.

On a :
e^ln(x) = x ; or ln est dérivable sur