La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions
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- Découvrir la fonction logarithme népérien.
- Connaitre les propriétés de la fonction logarithme népérien.
- La fonction logarithme népérien,
notée ln, est la
fonction définie sur
qui à tout réel
x strictement
positif associe l’unique solution de
l’équation
d’inconnue t :
et = x.
L’inconnue réelle t est
notée ln(x).
- Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
- Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des
propositions suivantes.
- Si x > 0, alors
x = et
t = ln(x)
- ln(ex) = x
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
- Si x > 0, alors
x = et
- Relation fonctionnelle : pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
- Pour tout couple (a ; b) de réels
strictement positifs, on dispose des propositions
suivantes :
et 
.
- Pour tout entier relatif
n, on a
et 
.
- La fonction logarithme népérien est
continue et dérivable sur
et pour tout
réel x strictement positif, on
dispose de l’égalité 
.
- Connaitre la fonction exponentielle.
- Maitriser le théorème des valeurs intermédiaires.
La fonction exponentielle est continue (puisque
dérivable) et strictement croissante sur
.
Ses limites aux infinis sont : 
et 
.
Donc l’ensemble image de 
par exp est l’intervalle
.
D’après l’un des corollaires du
théorème des valeurs intermédiaires,
pour tout nombre réel λ strictement positif, il
existe un unique réel t tel que et = λ.
Le réel t, solution unique de
l’équation et = λ
sera appelé le logarithme
népérien de λ et
noté ln(λ).
qui à tout
réel x strictement positif
associe l’unique solution de
l’équation d’inconnue t :
et = x.L’inconnue réelle t est notée ln(x).
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exp (à l'image de la fonction racine carrée pour la fonction carré).
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : Si x > 0, alors x = et
t = ln(x)• (P2) : ln(ex) = x
• (P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
• (P1) n’est qu’une autre traduction de
la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel.
ex > 0,
on peut alors poser t = ln(ex).
t = ln(ex) 
ex = et,
d’après (P1) et ex = et 
x = t.
• Pour (P3) : e0 = 1,
donc ln(1) = 0 et e1 = e donc ln(e) = 1.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Soit (a ; b) un couple de
réels tel que a > 0 et
b > 0.
a × b > 0,
donc on peut poser : P = ln(a × b)
et S = ln(a) + ln(b).
On a eP = a × b et eS = eln(a) + ln(b) = eln(a) × eln(b) = a × b, donc eP = eS, soit P = S.
On dit que le logarithme népérien transforme des produits en sommes.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) :
• (P2) :
• (P3) : Pour tout entier relatif n,
• (P4) :
.
Soit (a ; b) un couple de
réels tel que a > 0 et
b > 0.
• Pour (P1) : 
, donc 
;
or, ln(1) = 0, donc (P1)
est vraie.
• Pour (P2), on utilise 
.
• Pour (P3), on utilise un raisonnement par
récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour
n entier
naturel.
Pour n entier
non naturel (n < 0), on
a :
.
• Pour (P4) : 
, donc 
.
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur
et pour tout
réel x strictement positif, on
dispose de l’égalité :
.
On admet ici la continuité et la
dérivabilité de ln ; on démontre la
formule.
Soit x un
réel tel que x > 0.
On a :
eln(x) = x ;
or ln est
dérivable sur 
, donc x → eln(x)
l’est aussi, donc (eln(x))’ = (x)’,
soit (ln
x)’ × elnx = 1,
ou encore (ln x)’ × x = 1.
Finalement 
.
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