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La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions

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Objectifs
  • Découvrir la fonction logarithme népérien.
  • Connaitre les propriétés de la fonction logarithme népérien.
Points clés
  • La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur qui à tout réel x strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnue t : et = x. L’inconnue réelle t est notée ln(x).
  • Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
  • Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes.
    • Si x > 0, alors x = et   t = ln(x)
    • ln(ex) = x
    • ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
  • Relation fonctionnelle : pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
  • Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
    et .
  • Pour tout entier relatif n, on a et .
  • La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur  et pour tout réel x strictement positif, on dispose de l’égalité .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la fonction exponentielle.
  • Maitriser le théorème des valeurs intermédiaires.
1. Définition et propriétés immédiates

La fonction exponentielle est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur .

Ses limites aux infinis sont : et .
Donc l’ensemble image de par exp est l’intervalle .

D’après l’un des corollaires du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre réel λ strictement positif, il existe un unique réel t tel que et = λ.
Le réel t, solution unique de l’équation et = λ sera appelé le logarithme népérien de λ et noté ln(λ).

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur  qui à tout réel x strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnue t : et = x.
L’inconnue réelle t est notée ln(x).
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
Remarque immédiate (et évidente)
La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exp (à l'image de la fonction racine carrée pour la fonction carré).
Propriété (conséquence de la définition)
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : Si x > 0, alors x = et  t = ln(x)
• (P2) : ln(ex) = x
• (P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Démonstration

• (P1) n’est qu’une autre traduction de la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel. ex > 0, on peut alors poser t = ln(ex).
t = ln(ex)  ex = et, d’après (P1) et ex = et  x = t.
• Pour (P3) : e0 = 1, donc ln(1) = 0 et e1 = e donc ln(e) = 1.

2. Propriétés
Propriété : relation fonctionnelle
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Démonstration

Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.
a × b > 0, donc on peut poser : P = ln(a × b) et S = ln(a) + ln(b).

On a eP = a × b et eS = eln(a) + ln(b) = eln(a) × eln(b) = a × b, donc eP = eS, soit P = S.

Remarque
On dit que le logarithme népérien transforme des produits en sommes.
Propriété
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :

• (P1) :

• (P2) :

• (P3) : Pour tout entier relatif n,

• (P4) : .
Démonstration

Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.

• Pour (P1) : , donc  ;
or, ln(1) = 0, donc (P1) est vraie.

• Pour (P2), on utilise .

• Pour (P3), on utilise un raisonnement par récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour n entier naturel.
Pour n entier non naturel (n < 0), on a :

.

• Pour (P4) : , donc .

Propriété
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur et pour tout réel x strictement positif, on dispose de l’égalité : .

On admet ici la continuité et la dérivabilité de ln ; on démontre la formule.
Soit x un réel tel que x > 0.

On a :
eln(x) = x ; or ln est dérivable sur , donc x → eln(x) l’est aussi, donc (eln(x)) = (x),
soit (ln x) × elnx = 1, ou encore (ln x) × x = 1.

Finalement .

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