La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions

La fonction exponentielle est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur .

Ses limites aux infinis sont : et .
Donc l’ensemble image de par exp est l’intervalle .

D’après l’un des corollaires du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout nombre réel λ strictement positif, il existe un unique réel t tel que e^t = λ.
Le réel t, solution unique de l’équation e^t = λ sera appelé le logarithme népérien de λ et noté ln(λ).

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur  qui à tout réel x strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnue t : e^t = x.
L’inconnue réelle t est notée ln(x).
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : e^ln(x) = x.

Propriété (conséquence de la définition)
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : Si x > 0, alors x = e^t  t = ln(x)
• (P2) : ln(e^x) = x
• (P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

• (P1) n’est qu’une autre traduction de la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel. e^x > 0, on peut alors poser t = ln(e^x).
t = ln(e^x)  e^x = e^t, d’après (P1) et e^x = e^t  x = t.
• Pour (P3) : e⁰ = 1, donc ln(1) = 0 et e¹ = e donc ln(e) = 1.

Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.
a × b > 0, donc on peut poser : P = ln(a × b) et S = ln(a) + ln(b).

On a e^P = a × b et e^S = e^{ln(a) + ln(b)} = e^ln(a) × e^ln(b) = a × b, donc e^P = e^S, soit P = S.

Propriété
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :

• (P1) :

• (P2) :

• (P3) : Pour tout entier relatif n,

• (P4) : .

Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.

• Pour (P1) : , donc  ;
or, ln(1) = 0, donc (P1) est vraie.

• Pour (P2), on utilise .

• Pour (P3), on utilise un raisonnement par récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour n entier naturel.
Pour n entier non naturel (n < 0), on a :

.

• Pour (P4) : , donc .

Propriété
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur et pour tout réel x strictement positif, on dispose de l’égalité : .

On admet ici la continuité et la dérivabilité de ln ; on démontre la formule.
Soit x un réel tel que x > 0.

On a :
e^ln(x) = x ; or ln est dérivable sur , donc x → e^ln(x) l’est aussi, donc (e^ln(x))’ = (x)’,
soit (ln x)’ × e^lnx = 1, ou encore (ln x)’ × x = 1.

Finalement .