La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions
• Donner les premières propriétés de cette fonction.
Conformément à l’esprit du programme officiel, on se place dans le cas où l’on connait déjà la fonction exponentielle, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires.
La fonction exponentielle est continue (puisque dérivable) et strictement croissante sur

Ses limites aux infinis sont :


Donc l’ensemble image de




Le réel t, solution unique de l’équation et = λ sera appelé le logarithme népérien de et noté ln(λ).

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur

L’inconnue réelle t est notée ln(x) ou par abus lnx.
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
Remarque immédiate (et évidente)
La fonction ln est liée de par sa définition à la fonction exp.
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
(P1) : Si x > 0, alors (x = et

(P2) : ln(ex) = x
(P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
► Démonstration
• (P1) n’est qu’une autre traduction de la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel. ex > 0, on peut alors poser t = ln(ex).
t = ln(ex)


• Pour (P3) : e0 = 1, donc ln(1) = 0 et e1 = e donc ln(e) = 1.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
► Démonstration
Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.
a.b > 0, donc on peut poser : P = ln(a × b) et S = ln(a) + ln(b).
On a : eP = a × b et eS = eln(a) + ln(b) = eln(a) × eln(b) = a × b, donc eP = eS, soit P = S.
Remarque
On dit que le logarithme népérien transforme des produits en sommes.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) :

• (P2) :

• (P3) : Pour tout entier relatif n,

• (P4) :

► Démonstration
Soit (a ; b) un couple de réels tel que a > 0 et b > 0.
• Pour (P1) :


or, ln(1) = 0, donc (P1) est vraie.
• Pour (P2), on utilise

• Pour (P3), on utilise un raisonnement par récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour n entier naturel.
Pour n entier non naturel (n < 0), on a :

• Pour (P4) :


La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur


On admet ici la continuité et la dérivabilité de ln ; on démontre la formule.
Soit x un réel tel que x > 0.
On a :
eln(x) = x ; or ln est dérivable sur

soit (lnx)’.elnx = 1, ou encore (lnx)’.x = 1.
Finalement


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