La limite infinie d'une fonction en un point - Maxicours

La limite infinie d'une fonction en un point

Objectif

Déterminer dans des cas simples la limite d’une fonction en un point.

Points clés
  • Soit f une fonction définie sur un intervalle I. La limite à droite de f en a est +∞ signifie que tout intervalle ]A ; +∞[, avec A > 0, contient f(x) pour tout x assez proche de a et supérieur à a.
  • La limite à droite de f en a est –∞ signifie que tout intervalle ]–∞ ; B[, avec B < 0, contient f(x) pour tout x assez proche de a et supérieur à a.
  • La limite à gauche de f en a est +∞ signifie que tout intervalle ]A ; +∞[, avec A > 0, contient f(x) pour tout x assez proche de a et inférieur à a.
  • La limite à droite de f en a est –∞ signifie que tout intervalle ]–∞ ; B[, avec B < 0, contient f(x) pour tout x assez proche de a et inférieur à a.
    • f admet une limite en a si sa limite à droite et sa limite à gauche sont égales.
Pour bien comprendre
  • Manipuler les inégalités.
  • Calculer des limites de fonctions usuelles.
1. Limite à droite, limite à gauche
a. Approche graphique

On considère la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous.


On constate que lorsque x s’approche de 1 en étant plus petit que 1, f(x) tend vers –∞. On dit que f admet une limite à gauche de 1 égale à –∞ et on note :
ou .

On constate aussi que lorsque x s’approche de 1 en étant plus grand que 1,  f(x) tend vers +∞. On dit que f admet une limite à droite de 1 égale à +∞ et on note :
ou .

Ainsi on a aussi :
et .

On considère maintenant le graphique suivant :


On constate que, pour n’importe quelle valeur de A positif, f(x) > A pour des x qui s’approchent de a.

b. Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
  • La limite à droite de f en a est +∞ signifie que tout intervalle ]A ; +∞[, avec A > 0, contient f(x) pour tout x assez proche de a et supérieur à a.
    On note .
  • La limite à droite de f en a est –∞ signifie que tout intervalle ]–∞ ; B[, avec B < 0, contient f(x) pour tout x assez proche de a et supérieur à a.
    On note .

Autrement dit :

  • On dit que la limite à droite de f en a est +∞ si, pour tout réel A positif, il existe un nombre réel λ  positif tel que f(x) > A pour tout ∈ ]; a + λ[.
  • On dit que la limite à droite de f en a est –∞ si, pour tout réel A négatif, il existe un nombre réel λ positif tel que f(x) < A pour tout x ∈ ]+ λ[.
On définit de même les expressions « la limite à gauche de f en a est +∞ » et « la limite à gauche de f en a est –∞  » en remplaçant et supérieur à a par et inférieur à a.
On note et .

Autrement dit :

  • On dit que la limite à gauche de f en a est +∞ si, pour tout réel A positif, il existe un nombre réel λ  positif tel que f(x) > A pour tout x ∈ ]– λ ; a[.
  • On dit que la limite à gauche de f en a est –∞, si pour tout réel A négatif, il existe un nombre réel λ  positif tel que f(x) < A pour tout x ∈ ]– λ ; a[.
Exemple
On va montrer que la limite à droite en 1 de la fonction f définie sur {1} par est égale à +∞ en utilisant la définition, puis le calcul des limites.

• Par définition :
On choisit n’importe quel réel A positif et on cherche λ positif pour que f(x) > A  pour tout x ∈ ]1 ; 1 + λ[.
En effet, on veut que :
f(x) > A
 > A
x– 1 < 
x2 <  + 1

x < 
x < 1 +  – 1

x < 1 + λ avec λ =  – 1

Et, comme x > 1, 1 < x < 1 + λ, donc on a bien trouvé λ qui est
λ =   1

• Par le calcul des limites :


car x2 – 1 > 0 pour tout x > 1

Par quotient, , donc .

Autres exemples simples
et  ;
; en effet lorsque x tend vers 2 et x > 2, alors 2 – x tend vers 0 et 2 – x < 0.
; en effet lorsque x tend vers 2 et x < 2, alors 2 – x tend vers 0 et 2 – x > 0.
2. Limite infinie d'une fonction en a
a. Existence d'une limite en a

Soit f une fonction et a un nombre réel.
On dit que f admet une limite finie ou infinie en a si la limite à gauche et la limite à droite en a sont égales :

Exemple
On donne la représentation graphique d’une fonction f.

La limite à droite et à gauche de f en 3 est égale +∞, donc on peut dire que f admet une limite en 3 qui est +∞.
En revanche, en 2, les limites à droite et à gauche ne sont pas égales : l’une est +∞ et l’autre est –∞, donc on peut dire que f n’admet pas de limite en 2, elle a des limites à droite et à gauche qui ne sont pas égales.

Remarque
Si une fonction est définie sur un intervalle qui débute par a ou finit par a, on peut prendre comme limite de f en a sa limite à droite ou sa limite à gauche.
b. Définition théorique
Soit f une fonction et a un réel.
« f(x) tend vers +∞  lorsque x tend vers a » ou « f a pour limite en a » signifie que tout intervalle de la forme ]A ; +∞[ contient tous les nombres f(x) pour tout x assez proche de a.
On note ou .

Autrement dit :

  • On dit que la limite de f en a est +∞ si, pour tout réel A positif, il existe un nombre réel λ positif tel que f(x) > A pour tout x ∈ ]a – λ ; a + λ[.
  • On dit que la limite de f en a est –∞ si, pour tout réel A négatif, il existe un nombre réel λ positif tel que f(x) < A pour tout x ∈ ]a – λ ; a + λ[.
Exemple
Soit la fonction f définie pour x ≠ 0 par . La limite de f en 0 est +∞.
Pour établir ce résultat, on démontre que, pour tout A > 0, si  < x < , alors  > A.
En effet, si 0 < x < , alors x2 <  et  > A.

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