La limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini - Maxicours

La limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini

Objectifs
  • Prolongement du travail réalisé sur les suites.
  • Appropriation du concept de limite.
  • Acquisition des techniques de base.
Points clés
  • On appelle « limite d'une fonction » la valeur que semble prendre cette fonction pour un réel, un intervalle, ou un signe à l'infini donnés ; cette valeur peut être un réel ou tendre vers +∞ ou –∞.
  • Certaines fonctions communes, dites fonctions de référence, ont des limites connues :
f(x)


 
0 0

x3
 
–∞ +∞
1. Limite finie d'une fonction aux infinis
a. Limite en plus l'infini
Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite L en +∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On notera : .

Traduction graphique :

Exemple
f est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = .
Démontrons que .

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 ; donc quel que soit x, f(x) > a.

b et x > 0x2 >   et x > 0x > et x > 0.

On en déduit que si x est assez grand (dès que x > )  alors f(x) < b.
Donc, si x est assez grand, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.

b. Limite en moins l'infini
Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers –∞ » ou « f a pour limite L en –∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue. On notera : .
Exemple
f est la fonction définie sur ]–∞ ; 0[ par f(x) = 

Démontrons que .

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 donc quel que soit x, f(x) > a.

< b et x < 0  x2> et x < 0 x < et x < 0.

On en déduit que si x est assez grand en valeur absolue et négatif (dès que x < ) alors f(x)  < b donc si x est assez grand en valeur absolue et négatif, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.

2. Limite infinie aux infinis
a. En plus l'infini
« f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite +∞ en +∞ » signifie que tout intervalle ]A ; +∞[, avec A > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.   ou    
Traduction graphique :
 
« f(x) tend vers lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite en +∞ » signifie que tout intervalle ]–∞ ; –B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.    ou   .
Exemple
f est la fonction définie sur ]–∞ ; +∞[ par f(x) = x3.
Démontrons que .

Soit A > 0 ; f est croissante sur  donc si x > , alors f(x) > A.
On en déduit que si x est assez grand (dès que x > ), alors f(x) ∈ ]A ; +∞[, ce qu'il fallait démontrer.

b. En moins l'infini
Les définitions sont analogues en remplaçant l'expression « pour x assez grand » par « pour x négatif et assez grand en valeur absolue ».
Exemple
f est la fonction définie sur ]–∞ ; +∞[ par f(x) = x3.

Démontrons que .

Il faut démontrer que tout intervalle ]∞ ; –B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue.

Soit B > 0 ; f est croissante sur donc si x < , alors f(x) < –B.

On en déduit que si x est négatif et assez grand en valeur absolue (dès que x > )  alors f(x) ∈ ]–∞ ; –B[, ce qu'il fallait démontrer.

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