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La limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini

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Objectifs

Prolongement du travail réalisé sur les suites.
Appropriation du concept de limite.
Acquisition des techniques de base.

Points clés

On appelle « limite d'une fonction » la valeur que semble prendre cette fonction pour un réel, un intervalle, ou un signe à l'infini donnés ; cette valeur peut être un réel ou tendre vers +∞ ou –∞.

Certaines fonctions communes, dites fonctions de référence, ont des limites connues :

f(x)
	0	0
x³	–∞	+∞

1. Limite finie d'une fonction aux infinis

a. Limite en plus l'infini

Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite L en +∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand. On notera :

Traduction graphique :

Exemple
f est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) =

.
Démontrons que

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 ; donc quel que soit x, f(x) > a.

< b et x > 0 ⇔ x² > et x > 0 ⇔ x > et x > 0.

On en déduit que si x est assez grand (dès que x > ) alors f(x) < b.
Donc, si x est assez grand, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.

b. Limite en moins l'infini

Soit f une fonction et L un réel.
« f(x) tend vers L lorsque x tend vers –∞ » ou « f a pour limite L en –∞ » signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x négatif et assez grand en valeur absolue. On notera :

Exemple
f est la fonction définie sur ]–∞ ; 0[ par f(x) =

Démontrons que .

Soit ]a ; b[ un intervalle contenant 0. Il est certain que a < 0 et que quel que soit x, f(x) > 0 donc quel que soit x, f(x) > a.

< b et x < 0 ⇔ x²> et x < 0 ⇔ x < et x < 0.

On en déduit que si x est assez grand en valeur absolue et négatif (dès que x < ) alors f(x) < b donc si x est assez grand en valeur absolue et négatif, f(x) ∈ ]a ; b[, ce qu'il fallait démontrer.

2. Limite infinie aux infinis

a. En plus l'infini

« f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite +∞ en +∞ » signifie que tout intervalle ]A ; +∞[, avec A > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

Traduction graphique :

« f(x) tend vers –∞ lorsque x tend vers +∞ » ou « f a pour limite –∞ en +∞ » signifie que tout intervalle ]–∞ ; –B[, avec B > 0, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

Exemple
f est la fonction définie sur ]–∞ ; +∞[ par f(x) = x³.
Démontrons que

Soit A > 0 ; f est croissante sur donc si x > , alors f(x) > A.
On en déduit que si x est assez grand (dès que x > ), alors f(x) ∈ ]A ; +∞[, ce qu'il fallait démontrer.