Les suites numériques : comportement à l'infini de (q^n), avec q un réel - Maxicours

Les suites numériques : comportement à l'infini de (q^n), avec q un réel

Objectif

Étudier à l’infini la suite (qn), avec q un réel (cela permettra le calcul de la limite d’une suite géométrique).

Points clés
  • Inégalité de Bernoulli : soit a un réel strictement positif. Pour tout entier naturel n, on dispose de l’inégalité (1 + a)n ≥ 1 + na.
  • Soit q un nombre réel.
    • si q > 1, alors  ;
    • si = 1, alors  ;
    • si 1 q < 1, alors  ;
    • si q ≤ –1, alors la suite (qn) n’a pas de limite.
  • Une suite géométrique u de raison q est une suite de terme général un = up × qnp, où up est le premier terme, terme donné.
1. Inégalité de Bernoulli

Pour l’étude à l’infini de (qn), q étant un réel, on doit utiliser à un moment de la démonstration une inégalité qui fut démontrée par Bernoulli.

Remarque
Il s’agit donc d’un « petit » théorème qui va nous être utile pour un théorème « plus important » : un tel « petit » théorème est alors appelé lemme.
Lemme : inégalité de Bernoulli
Soit a un réel strictement positif.
Pour tout entier naturel n, on dispose de l’inégalité (1 + a)n ≥ 1 + na.
Démonstration

La démonstration de cette inégalité se fait à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
Soit a un réel strictement positif fixe et n un entier naturel quelconque.

On appelle (Pn) la proposition (1 + a)n ≥ 1 + na.

Initialisation

n = 0
On a : (a)0 = 1 et 1 + 0 × a = 1 et 1 ≥ 1, donc (P0) est une proposition vraie.

Hérédité

Soit k un entier naturel quelconque.

On doit démontrer que la proposition ((Pk)(Pk+1)) est une proposition vraie. Autrement dit, on doit démontrer que l’inégalité (1 + a)k+1 ≥ 1 + (k + 1)a  est vraie sachant que l’on dispose de l’inégalité (1 + a)k ≥ 1 + ka.

On a : (1 + a)k+1 = (1 + a) (1 + a)k et (1 + a)k ≥ 1 + ka et a > 0,
donc  (1 + a) (1 + a)k ≥ (1 +  a)(1 + ka). On a en fait multiplié les deux côtés par le nombre positif (1 + a).

Ainsi (1 + a)k+1 ≥ 1 + (k + 1)a + ka2.
Or, 1 + (k + 1)a + ka2 ≥ 1 + (k + 1)a  puisque ka2 ≥ 0.

Finalement, on a bien (1 + a)k+1 ≥ 1 + (k + 1)a.

Conclusion

La proposition (Pn) est vraie au rang initial n = 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

2. Comportement à l'infini de (q^n), avec q un réel
Théorème
Soit q un nombre réel. On dispose des propositions suivantes :
  • (P1) : si q > 1, alors  ;
  • (P2) : si q = 1, alors  ;
  • (P3) : si 1 < q < 1, alors  ;
  • (P4) : si q ≤ –1, alors la suite (qn) n’a pas de limite.

Conformément au programme, on ne démontre que (P1). On note néanmoins que (P2) est une proposition évidente puisque 1n = 1, donc 1n → 1.

Démonstration de (P1)

Soit q un réel vérifiant q > 1. On a :
q > 1, il existe un réel a tel que q = 1 + a et a > 0.

Donc d’après le lemme de l’inégalité de Bernoulli, on a :
qn = (1 + a)n  ≥ 1 + na
(n → + ∞ et a et > 0) (na → + ∞)
(1→ 1 et na → + ∞) (1 + na → + ∞)

Conclusion : (qn ≥ 1 + na et 1 + na → + ∞) (qn → + ∞), d’après un théorème de comparaison.

Exemples d’application directe
  • 2n → + ∞ car 2 > 1.
  • car .
Exemple d’application indirecte
Pour tout entier naturel n, on pose . Étudier le comportement à l’infini de (un).
Soit n un entier naturel.
On a :
.

On peut constater qu’il est nécessaire de bien maitriser les formules sur les puissances entières, formules vues au collège.
, donc et , donc un → + ∞.
3. Application aux suites géométriques
  • Une suite géométrique u de raison q est une suite de terme général un = up × qnp, où up est le premier terme, terme donné.

Donc ; est un nombre fixe donné et l’on connait le comportement à l’infini de qn à l’aide du théorème précédent : on peut donc étudier le comportement à l’infini de la suite u.

  • Soit u une suite géométrique de premier terme u0 donné et de raison q (on adaptera les calculs si le premier terme n’est pas u0).

On s’intéresse parfois dans les exercices à la somme des termes consécutifs de la suite u.

Par exemple, on pose : .

On a vu en 1S que l’on peut simplifier Sn ; on va le refaire pour rappel.

On a :

, il s’agit d’une somme de (n+1) termes.
Sn = u0(1 + q + … + qn1 + qn)

  • Cas 1 : q = 1.

Sn = u0(1 + 1 + … + 1 + 1) = u0(n+1).
n + 1 → + ∞ et u0 → u0 donc Sn → ± ∞, cela dépend du signe de u0.

  • Cas 2 : q 1.

Sn = u0(1 + q + … + qn1+ qn)

d’après une formule démontrée en 1S.

.

Remarque
On recommande ici de ne pas apprendre par cœur cette formule, mais de refaire sur votre copie les quelques lignes qui l’établissent.

est une constante et on connait le comportement à l’infini de qn. Il ne reste plus qu’à déduire le comportement à l’infini de (1 – q × qn), puis d’en déduire le comportement à l’infini de Sn.

Exemple d’application directe où u est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison q = –0,5.

Soit n un entier naturel. On a :
un = u0 × qn = 2 × (–0,5)n
Sn = 2 + 2(–0,5) + … + 2(–0,5)n–1 + 2(–0,5)n
Sn = 2(1 + (–0,5) + … + (–0,5)n
1+ (–0,5)n)

(–0,5)n → 0 car –1 < –0,5 < 1,
donc 0,5 × (–0,5)n → 0 et (1 + 0,5 × (–0,5)n → 1).

Ainsi, on a : .

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