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Les suites numériques : suites majorées, minorées, bornées

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Objectifs

Définir trois nouvelles notions concernant les suites numériques.
Donner des nouveaux théorèmes utilisant ces notions, ces théorèmes devenant des « outils » pour le comportement à l’infini d’une suite.

Points clés

On dit que la suite u est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u_n ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u.
On dit que la suite u est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, u_n ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u.
On dit que la suite u est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.
Si la suite u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
Si la suite u est décroissante et minorée, alors elle converge.
Si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
Si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m.
Si la suite u est croissante et non majorée, alors .
Si la suite u est décroissante et non minorée, alors .

1. Définitions

Soit u une suite numérique.

On dit que la suite u est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u_n ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u.

On dit que la suite u est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, u_n ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u.

On dit que la suite u est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

Exemple
Soit la suite

représentée ci-dessous.

La suite u semble majorée par 3. On conjecture que pour tout entier n, u_n ≤ 3.

On va démontrer la conjecture.
Soit n un entier naturel. On dispose de la proposition équivalente : .
Il suffit donc de démontrer u_n – 3 ≤ 0.
On a :
;

or –3 < 0 et n² + 1 > 0, donc .

On a bien u_n – 3 ≤ 0 et même u_n – 3 < 0, soit u_n < 3.
Autrement dit, aucune valeur u_n n’atteindra le majorant 3.

Remarque
Il existe bien sûr des suites non majorées, par exemple la suite géométrique (–3)ⁿ.
Pour s’en convaincre, regardons les valeurs des premiers termes :

n	0	1	2	3	4	5
(–3)ⁿ	1	–3	9	–27	81	–243

2. Théorèmes de convergences

Soit u une suite numérique.

Théorème (admis)
On dispose des propositions suivantes :
• (P₁), si u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
• (P₂), si u est décroissante et minorée, alors elle converge.

Remarque importante
Si l'on vérifie l’une des propositions de ce théorème, alors on sait que u converge, par exemple vers L, MAIS on ne connait pas la valeur explicite de L.

Exemple
On reprend l’exemple précédent, à savoir pour tout entier n,

.
• On a démontré que u est majorée par 3.
• L’illustration de u laisse penser qu’elle est croissante.
On va le démontrer.

Soit n un entier naturel.
On a :

donc :

.

Soit encore :

.

Or, n est un entier naturel, donc u_n₊₁ – u_n > 0, soit u_n₊₁ > u_n. La suite u est bien croissante.

La suite u est majorée par 3 et est croissante ; elle est donc convergente.

Théorème
On dispose des propositions suivantes :
• (P₁), si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
• (P₂), si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m.

Démonstration par exemple de (P₁)

On va utiliser le raisonnement par l’absurde.

On doit démontrer la proposition (P) : (L ≤ M) sachant que l’on dispose des propositions suivantes :
"Pour tout entier n, u_n ≤ M" et "tout intervalle ouvert contant L contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang".

On suppose vraie la proposition "NON P", à savoir : "L > M" et on cherche une proposition contradictoire (à la fois vraie et fausse).

On pose d = L – M et .

I est un intervalle ouvert contenant L et I est inclus dans l’intervalle , représenté ci-dessous :

Soit n₀ l’entier à partir duquel tous les u_n sont dans I, donc , donc .
Cela implique que la proposition () est fausse ; or u est majorée par M donc () est aussi vraie. Ainsi, () serait une proposition contradictoire, ce qui est impossible.

Finalement, la proposition "NON P" ne peut être vraie, donc la proposition "P" elle, est vraie.

Exemple

On reprend l'exemple précédent.
u est majorée par 3 et converge ; soit L la limite de u.
On peut alors affirmer que L ≤ 3.

On rappelle que pour cette suite, on a démontré que pour tout entier n, u_n < 3. Mais la limite L peut elle, être égale à 3. C’est d’ailleurs le cas ici.
En effet, on a démontré que : .

Or, et 3 → 3, donc d’après les théorèmes opératoires, .

3. Un théorème pour une limite infinie

Soit u une suite numérique.

Théorème
On dispose des propositions suivantes :
• (P₁), si la suite u est croissante et non majorée, alors

.
• (P₂), si la suite u est décroissante et non minorée, alors

Démonstration par exemple de (P₁)

On doit démontrer que la proposition : "tout intervalle de la forme , contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang" est vraie, sachant que l’on dispose des propositions suivantes :
"Pour tout entier n, u_n ≤ u_n₊₁" ou "Pour tout couple (n ; p), n ≥ p u_n ≥ u_p" et
"NON (il existe un réel M tel que pour tout entier n, u_n ≤ M)".

Il est donc nécessaire de bien traduire la proposition « négative ».
On a : "NON (il existe un réel M tel que pour tout entier n, u_n ≤ M)" "Pour tout réel M, il existe un entier n, tel que (NON (u_n ≤ M) c’est-à-dire tel que u_n > M".

Soit A un réel.
Soit n₀ l’entier tel que .
On a puisque u est croissante et , donc ou .
Ce qui termine la démonstration.

Remarque
Un excellent exercice d’entrainement consisterait à refaire vous-même la démonstration de (P₂), avec notamment la « difficulté » de traduire correctement (u est non minorée).