Les suites numériques : suites majorées, minorées, bornées
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Définir trois nouvelles notions concernant les suites numériques.
- Donner des nouveaux théorèmes utilisant ces notions, ces théorèmes devenant des « outils » pour le comportement à l’infini d’une suite.
- On dit que la suite u est majorée lorsqu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u.
- On dit que la suite u est minorée lorsqu’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m. Le nombre m est alors appelé un minorant de la suite u.
- On dit que la suite u est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.
- Si la suite u est une suite croissante
et majorée, alors elle converge.
Si la suite u est décroissante et minorée, alors elle converge. - Si la suite u est majorée par
M et convergente
vers le nombre L, alors L ≤ M.
Si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m. - Si la suite u est croissante et non
majorée, alors
.
Si la suite u est décroissante et non minorée, alors
.
Soit u une suite numérique.
Soit la suite
représentée
ci-dessous.
La suite u semble majorée par 3. On conjecture que pour tout entier n, un ≤ 3.
On va démontrer la conjecture.
Soit n un
entier naturel. On dispose de la proposition
équivalente : 
.
Il suffit donc de démontrer un – 3 ≤ 0.
On a :
;
or –3 < 0 et n2 + 1 > 0,
donc 
.
On a bien un – 3 ≤ 0
et même un – 3
< 0, soit
un < 3.
Autrement dit, aucune valeur un
n’atteindra le majorant 3.
Il existe bien sûr des suites non majorées, par exemple la suite géométrique (–3)n.
Pour s’en convaincre, regardons les valeurs des premiers termes :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| (–3)n | 1 | –3 | 9 | –27 | 81 | –243 |
Soit u une suite numérique.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1), si u est une suite croissante et majorée, alors elle converge.
• (P2), si u est décroissante et minorée, alors elle converge.
Si l'on vérifie l’une des propositions de ce théorème, alors on sait que u converge, par exemple vers L, MAIS on ne connait pas la valeur explicite de L.
On reprend l’exemple précédent, à savoir pour tout entier n,
.• On a démontré que u est majorée par 3.
• L’illustration de u laisse penser qu’elle est croissante.
On va le démontrer.
Soit n un entier naturel.
On a :
donc :
.Soit encore :
.Or, n est un entier naturel, donc un+1 – un > 0, soit un+1 > un. La suite u est bien croissante.
La suite u est majorée par 3 et est croissante ; elle est donc convergente.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1), si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
• (P2), si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m.
On va utiliser le raisonnement par l’absurde.
On doit démontrer la proposition (P) :
(L ≤ M) sachant que l’on
dispose des propositions suivantes :
"Pour tout entier n, un ≤ M" et "tout intervalle ouvert
contant L
contient toutes les valeurs un à
partir d’un certain rang".
On suppose vraie la proposition "NON P", à
savoir : "L > M" et on cherche une
proposition contradictoire (à la fois vraie et
fausse).
On pose d
= L – M et 
.
I est un
intervalle ouvert contenant L et I est inclus dans
l’intervalle 
, représenté
ci-dessous :
Soit n0
l’entier à partir duquel tous les
un
sont dans I,
donc 
, donc 
.
Cela implique que la proposition (
) est fausse ; or u est majorée par
M donc
(
) est aussi vraie. Ainsi,
(
) serait une proposition
contradictoire, ce qui est impossible.
Finalement, la proposition "NON P" ne peut être vraie, donc la proposition "P" elle, est vraie.
On reprend l'exemple précédent.
u est
majorée par 3 et converge ; soit
L la limite
de u.
On peut alors affirmer que L ≤ 3.
On rappelle que pour cette suite, on a
démontré que pour tout entier
n,
un < 3. Mais la
limite L
peut elle, être égale à 3.
C’est d’ailleurs le cas ici.
En effet, on a démontré que :
.
Or, 
et 3 → 3,
donc d’après les théorèmes
opératoires, 
.
Soit u une suite numérique.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1), si la suite u est croissante et non majorée, alors
.• (P2), si la suite u est décroissante et non minorée, alors
.
On doit démontrer que la proposition : "tout
intervalle de la forme 
, contient toutes les valeurs
un
à partir d’un certain rang" est vraie,
sachant que l’on dispose des propositions
suivantes :
"Pour tout entier n, un ≤ un+1"
ou "Pour tout couple (n ; p), n ≥ p 
un ≥ up"
et
"NON (il existe un réel M tel que pour tout entier
n,
un
≤ M)".
Il est donc nécessaire de bien traduire la
proposition
« négative ».
On a : "NON (il existe un réel M tel que pour tout entier
n,
un ≤ M)" 
"Pour tout réel
M, il existe
un entier n,
tel que (NON (un ≤ M) c’est-à-dire
tel que un > M".
Soit A un
réel.
Soit n0
l’entier tel que 
.
On a 
puisque u est croissante et
, donc 
ou
.
Ce qui termine la démonstration.
Un excellent exercice d’entrainement consisterait à refaire vous-même la démonstration de (P2), avec notamment la « difficulté » de traduire correctement (u est non minorée).
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