La représentation paramétrique d'une droite et d'un plan - Maxicours

La représentation paramétrique d'une droite et d'un plan

Objectif

Connaitre les équations paramétriques liées à une droite et à un plan.

Points clés
  • La représentation paramétrique d'une droite est .
  • La représentation paramétrique d'un plan est .
  • Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une même droite ou un même plan.

Soit un repère de l'espace.

1. Représentation paramétrique d'une droite

Soit (d) la droite passant pas le point A (xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur (u ; v ; w).

M (x ; y ; z) appartient à la droite (d) signifie qu'il existe un nombre réel t tel que .
Les coordonnées de M vérifient donc le système suivant :
(S) = avec t .

Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (d).
Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation.
Remarque
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d).
Exemple
Une équation paramétrique de la droite (d) passant par le point A (1 ; 2 ; 3) et de vecteur directeur (1 ; 2 ; 1) est avec t  .
2. Représentation paramétrique d'un plan

La donnée de deux vecteurs et non colinéaires et d'un point A permet de définir entièrement un plan. On l'appelle le plan passant par A et de vecteurs directeurs et .

Un point M (x ; y ; z) appartient au plan P passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteurs directeurs (u1 ; u2 ; u3) et (v1 ; v2 ; v3) signifie qu'il existe des nombres réels t et t' tels que .
Les coordonnées de M vérifient dont le système suivant :
(S) = avec t et t'.

Le système (S) est appelé une représentation paramétrique du plan P.
Les nombres t et t' sont appelés les paramètres de cette représentation.
Remarque
Un plan admet une infinité de représentations paramétriques. Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une autre représentation paramétrique.
Exemple
Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ; 1) et(1 ; 2 ; 5) est avec t et t'  .

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