La représentation paramétrique d'une droite et d'un plan
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Connaitre les équations paramétriques liées à une droite et à un plan.
- La représentation paramétrique d'une
droite est
.
- La représentation paramétrique d'un plan
est
.
- Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une même droite ou un même plan.
Soit 
un repère de l'espace.
Soit (d) la
droite passant pas le point A (xA ;
yA ; zA) et de
vecteur directeur 
(u ; v ; w).
M (x ; y ; z)
appartient à la droite (d) signifie qu'il existe un
nombre réel t tel que 
.
Les coordonnées de M vérifient donc le
système suivant :
(S)
= 
avec
t ∈ 
.
Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation.
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à
pour obtenir une nouvelle
représentation paramétrique de la droite
(d).
Une équation paramétrique de la droite (d) passant par le point A (1 ; 2 ; 3) et de vecteur directeur
(–1 ; 2 ; 1) est 
avec t ∈ .
La donnée de deux vecteurs 
et 
non colinéaires et d'un
point A permet de
définir entièrement un plan. On l'appelle
le plan passant par A
et de vecteurs directeurs et .
Un point M
(x ; y ; z)
appartient au plan P passant par A (xA ; yA ; zA)
et de vecteurs directeurs (u1 ; u2 ; u3)
et (v1 ; v2 ; v3)
signifie qu'il existe des nombres réels
t et
t' tels
que 
.
Les coordonnées de M vérifient dont le
système suivant :
(S)
=
avec t et t' ∈ .
Les nombres t et t' sont appelés les paramètres de cette représentation.
Un plan admet une infinité de représentations paramétriques. Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à
pour obtenir une autre
représentation paramétrique.
Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs
(1 ; 0 ; 1) et(1 ; 2 ; 5) est 
avec t et t' ∈ .
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