Des applications géométriques des systèmes linéaires
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- Connaitre la position relative de deux plans.
- Savoir déterminer l’intersection de deux plans.
- Déterminer si trois vecteurs de l’espace forment une base.
- Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base.
- L’intersection de deux plans sécants est une droite.
- Deux plans P et P’ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
- On considère la base de l’espace
. Pour connaitre les
coordonnées d’un vecteur 
de l’espace dans la
base
, il suffit de trouver les
coefficients a,
b,
c tels
que 
.
- Résoudre un système.
- Connaitre la notion de vecteur normal à un plan.
- Savoir que trois vecteurs de l’espace non nuls forment une base s’ils ne sont pas coplanaires.
- Connaitre la notion d’équation cartésienne d’un plan.
Dans l’espace, deux plans peuvent être :
- confondus ;
- strictement parallèles, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun point en commun (figure 1) ;
- sécants (figure 2).
 Figure 1
|
 Figure 2
|
À ce sujet, on peut consulter la fiche « Positions relatives de droites et de plans dans l’espace ».
Si deux plans sont parallèles, alors ils ont des vecteurs normaux colinéaires.
Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Cette droite a un vecteur directeur qui est orthogonal à chacun des vecteurs normaux des deux plans.
On se place dans un repère orthonormé
.
On considère deux plans P et P’ d’équations respectives ax + by + cz + d = 0 et a’x + b’y + c’z + d’ = 0. L’intersection de P et P’ est l’ensemble des points dont les coordonnées (x ; y ; z) sont les solutions du système
.Il s’agit d’une droite.
Il est possible de convertir le système de deux équations à deux inconnues précédent en équations paramétriques. Il suffit pour cela de poser x = t ou y = t ou z = t, c’est-à-dire de considérer l’une des inconnues comme le paramètre des équations paramétriques.
Deux plans P et P’ sont
perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs
normaux 
et 
sont orthogonaux. On peut
exprimer cette condition à l’aide du
produit scalaire 
.
Les considérations précédentes permettent de conclure à l’existence de solutions de certains systèmes d’équations. Nous considérerons dans la suite les nombres a, b, c, d, a’, b’, c’ et d’ tels que (a ; b ; c) ≠ (0 ; 0 ; 0) et (a’ ; b’ ; c’) ≠ (0 ; 0 ; 0) et tels que les quadruplets (a ; b ; c ; d) et (a’ ; b’ ; c’ ; d’) ne soient pas proportionnels.
On considère le système
au triplet inconnu
(x ; y ; z).Il n’admet aucune solution si et seulement si il existe un réel k tel que l’on ait simultanément les trois égalités a’ = ka ; b’ = kb et c’ = kc, autrement dit si et seulement si les triplets (a ; b ; c) et (a’ ; b’ ; c’) sont proportionnels.
Il admet des solutions si et seulement si les triplets (a ; b ; c) et (a’ ; b’ ; c’) ne sont pas proportionnels.
Dans un repère orthonormé , les deux équations
précédentes sont celles de deux plans
P et
P’
dont les vecteurs normaux et ont pour
coordonnées respectives (a ; b ; c)
et (a’ ; b’ ; c’).
Le système précédent n’admet
aucune solution si et seulement si les deux plans sont
strictement parallèles, donc si et seulement si
les triplets (a ; b ; c)
et (a’ ; b’ ; c’)
sont proportionnels.
L’hypothèse que les quadruplets (a ; b ; c ; d) et (a’ ; b’ ; c’ ; d’) ne sont pas proportionnels garantit que les plans ne sont pas confondus.
Trois vecteurs de l’espace non nuls forment une base s’ils ne sont pas coplanaires, c’est-à-dire si un des vecteurs ne peut pas s’écrire comme combinaison des deux autres.
Soit les vecteurs
(1 ; 2 ; 3)
, 
(2 ; 3 ; 4) et
(0 ; 3 ; 2).
Le triplet forme-t-il une base de
l’espace ?Pour cela, il faut chercher s’il existe k et k’ tels que
.Ceci revient à écrire le système
.En utilisant l’équation (1), on trouve que k = – 2k’.
En injectant cette relation dans les équations (2) et (3), on trouve :
- pour (2) :
;
- pour (3) :
.
Ainsi, on trouve des valeurs différentes
de k’ suivant
l’équation choisie. Ceci est impossible.
Il n’existe donc pas de k et
de k’
qui vérifient .
Conclusion : les vecteurs vecteurs , et ne sont pas coplanaires et donc
le triplet forme une base de
l’espace.
On considère la base de l’espace . Pour connaitre les
coordonnées d’un vecteur de l’espace dans la
base , il suffit de trouver les
coefficients a, b, c tels que 
.
On considère la base formée par les vecteurs
(1 ; 2 ; 3) ,
(2 ; 3 ; 4) et
(0 ; 3 ; 2).
Déterminons les coordonnées du vecteur
(5 ; 17 ; 17)
dans cette base.Il faut trouver a, b, c tels que
.On obtient le système suivant :
.que l’on échelonne pour trouver :
.D’où finalement b = 2, a = 1 et c = 3.
Dans la base
, le vecteur a pour coordonnées
(1 ; 2 ; 3).
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