Des applications géométriques des systèmes linéaires - Maxicours

Des applications géométriques des systèmes linéaires

Objectifs
  • Connaitre la position relative de deux plans.
  • Savoir déterminer l’intersection de deux plans.
  • Déterminer si trois vecteurs de l’espace forment une base.
  • Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base.
Points clés
  • L’intersection de deux plans sécants est une droite.
  • Deux plans P et P’ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
  • On considère la base de l’espace . Pour connaitre les coordonnées d’un vecteur de l’espace dans la base, il suffit de trouver les coefficients a, b, c tels que .
Pour bien comprendre
  • Résoudre un système.
  • Connaitre la notion de vecteur normal à un plan.
  • Savoir que trois vecteurs de l’espace non nuls forment une base s’ils ne sont pas coplanaires.
  • Connaitre la notion d’équation cartésienne d’un plan.
1. Intersection de deux plans
a. Position relative de deux plans
Rappel

Dans l’espace, deux plans peuvent être :

  • confondus ;
  • strictement parallèles, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun point en commun (figure 1) ;
  • sécants (figure 2).
Figure 1 Figure 2
Remarque
À ce sujet, on peut consulter la fiche « Positions relatives de droites et de plans dans l’espace ».
Propriétés
Si deux plans sont parallèles, alors ils ont des vecteurs normaux colinéaires.
Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Cette droite a un vecteur directeur qui est orthogonal à chacun des vecteurs normaux des deux plans.
b. Caractérisation de l’intersection de deux plans sécants

On se place dans un repère orthonormé .

Théorème
On considère deux plans P et P’ d’équations respectives ax + by + cz + d = 0 et a’x b’y + c’z + d’ = 0. L’intersection de P et P’ est l’ensemble des points dont les coordonnées (x ; y ; z) sont les solutions du système .
Il s’agit d’une droite.
Remarques

Il est possible de convertir le système de deux équations à deux inconnues précédent en équations paramétriques. Il suffit pour cela de poser x = t ou y = t ou z = t, c’est-à-dire de considérer l’une des inconnues comme le paramètre des équations paramétriques.

Deux plans P et P’ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux et sont orthogonaux. On peut exprimer cette condition à l’aide du produit scalaire .

c. Application aux systèmes d’équations

Les considérations précédentes permettent de conclure à l’existence de solutions de certains systèmes d’équations. Nous considérerons dans la suite les nombres a, b, c, d, a’, b’, c’ et d’ tels que (a ; b ; c) (0 ; 0 ; 0) et (a’ ; b’ ; c’) (0 ; 0 ; 0) et tels que les quadruplets (a ; b ; c ; d) et (a’ ; b’ ; c’ ; d’) ne soient pas proportionnels.

Théorème
On considère le système au triplet inconnu (x ; y ; z).
Il n’admet aucune solution si et seulement si il existe un réel k tel que l’on ait simultanément les trois égalités a’ = ka ; b’ = kb et c’ = kc, autrement dit si et seulement si les triplets (a ; b ; c) et (a’ ; b’ ; c’) sont proportionnels.
Il admet des solutions si et seulement si les triplets (a ; b ; c) et (a’ ; b’ ; c’) ne sont pas proportionnels.
Démonstration

Dans un repère orthonormé , les deux équations précédentes sont celles de deux plans P et P’ dont les vecteurs normaux et   ont pour coordonnées respectives (a ; b ; c) et (a’ ; b’ ; c’). Le système précédent n’admet aucune solution si et seulement si les deux plans sont strictement parallèles, donc si et seulement si les triplets (a ; b ; c) et (a’ ; b’ ; c’) sont proportionnels.

Remarque
L’hypothèse que les quadruplets (a ; b ; c ; d) et (a’ ; b’ ; c’ ; d’) ne sont pas proportionnels garantit que les plans ne sont pas confondus.
2. Décider si trois vecteurs forment une base
Propriété
Trois vecteurs de l’espace non nuls forment une base s’ils ne sont pas coplanaires, c’est-à-dire si un des vecteurs ne peut pas s’écrire comme combinaison des deux autres.
Exemple
Soit les vecteurs (1 ; 2 ; 3) , (2 ; 3 ; 4) et (0 ; 3 ; 2). Le triplet forme-t-il une base de l’espace ?
Pour cela, il faut chercher s’il existe k et k’ tels que .
Ceci revient à écrire le système .
En utilisant l’équation (1), on trouve que k = – 2k’.
En injectant cette relation dans les équations (2) et (3), on trouve :
  • pour (2) : ;
  • pour (3) : .

Ainsi, on trouve des valeurs différentes de k’ suivant l’équation choisie. Ceci est impossible. Il n’existe donc pas de k et de k’ qui vérifient .
Conclusion : les vecteurs vecteurs , et ne sont pas coplanaires et donc le triplet forme une base de l’espace.

3. Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base

On considère la base de l’espace . Pour connaitre les coordonnées d’un vecteur de l’espace dans la base , il suffit de trouver les coefficients a, b, c tels que .

Exemple
On considère la base formée par les vecteurs (1 ; 2 ; 3) , (2 ; 3 ; 4) et (0 ; 3 ; 2). Déterminons les coordonnées du vecteur (5 ; 17 ; 17) dans cette base.
Il faut trouver a, b, c tels que .
On obtient le système suivant : .
que l’on échelonne pour trouver : .
D’où finalement b = 2, a = 1 et c = 3.
Dans la base , le vecteur a pour coordonnées (1 ; 2 ; 3).

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