Les positions relatives de droites et de plans de l'espace
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- Déterminer la position de deux droites.
- Déterminer la position d’une droite et d’un plan.
- Déterminer si une droite est perpendiculaire à un plan.
- Déterminer la position relative de deux plans.
- Si (d) et
(d') sont
coplanaires, alors (d) et (d') sont soit :
- confondues ;
- parallèles (elles n'ont aucun point d'intersection) ;
- sécantes (elles ont un unique point d'intersection).
- Il n'y a que trois cas possibles pour les positions
relatives du plan P et de la droite
(d).
- La droite (d) est contenue dans le plan P.
- La droite (d) est strictement parallèle au plan P.
- La droite (d) est sécante au plan P. Il y a alors un unique point d'intersection.
- La droite (d) est orthogonale au plan P si (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
- La droite (d) de vecteur
directeur
est orthogonale au
plan P de
vecteurs directeurs 
et 
si 
et 
.
- Pour la position relative de deux plans, il n'y a que
trois cas possibles :
- les deux plans sont confondus ;
- les deux plans sont strictement parallèles, leur intersection est vide ;
- les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
- Définir des vecteurs colinéaires.
- Connaitre la notion de vecteurs directeurs d’une droite, d’un plan.
On considère deux droites (d) et (d’) incluses dans un même plan, c’est-à-dire coplanaires.
Si les droites sont contenues dans un même plan, les notions de géométrie plane s'appliquent.
Si (d) et (d') sont coplanaires, alors (d) et (d') sont soit :
- confondues ;
- strictement parallèles (elles n'ont aucun point d'intersection) ;
- sécantes (elles ont un unique point d'intersection).
Si deux droites sont confondues, elles sont aussi parallèles.
Droites coplanaires et parallèles :
Droites coplanaires et sécantes :
Si (d) et (d’) ont des vecteurs directeurs colinéaires, alors elles sont parallèles et donc coplanaires.
En revanche, si les vecteurs directeurs de deux droites ne sont pas colinéaires, les droites (d) et (d’) peuvent être coplanaires ou non.
Vecteurs directeurs non colinéaires et droites coplanaires :
On distingue trois cas possibles pour les positions relatives du plan P et de la droite (d).
- Cas 1 : La droite (d) est contenue dans le plan P.
- Cas 2 : La droite (d) est strictement parallèle au plan P.
- Cas 3 : La droite (d) est sécante au plan P. Il y a alors un unique point d'intersection.
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| Cas 1 |
Cas 2 |
Cas 3 |
On peut aussi établir qu’une droite est orthogonale à un plan à l’aide des notions de vecteur directeur d’une droite et de vecteurs directeurs d’un plan. On a alors la propriété suivante.
La droite (d) de vecteur directeur
est orthogonale au
plan P de
vecteurs directeurs 
et 
si 
et 
.
Dans ce cas, on dit que le vecteur 
est un vecteur normal au
plan P.
On distingue trois cas possibles.
- Cas 1 : Les deux plans sont confondus.
- Cas 2 : Les deux plans sont strictement parallèles, leur intersection est vide.
- Cas 3 : Les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
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| Cas 2 | Cas 3 |
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