Les positions relatives de droites et de plans de l'espace - Maxicours

Les positions relatives de droites et de plans de l'espace

Objectifs
  • Déterminer la position de deux droites.
  • Déterminer la position d’une droite et d’un plan.
  • Déterminer si une droite est perpendiculaire à un plan.
  • Déterminer la position relative de deux plans.
Points clés
  • Si (d) et (d') sont coplanaires, alors (d) et (d') sont soit :
    • confondues ;
    • parallèles (elles n'ont aucun point d'intersection) ;
    • sécantes (elles ont un unique point d'intersection).
  • Il n'y a que trois cas possibles pour les positions relatives du plan P et de la droite (d).
    • La droite (d) est contenue dans le plan P.
    • La droite (d) est strictement parallèle au plan P.
    • La droite (d) est sécante au plan P. Il y a alors un unique point d'intersection.
  • La droite (d) est orthogonale au plan P si (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
  • La droite (d) de vecteur directeur  est orthogonale au plan P de vecteurs directeurs  et  si  et .
  • Pour la position relative de deux plans, il n'y a que trois cas possibles :
    • les deux plans sont confondus ;
    • les deux plans sont strictement parallèles, leur intersection est vide ;
    • les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
Pour bien comprendre
  • Définir des vecteurs colinéaires.
  • Connaitre la notion de vecteurs directeurs d’une droite, d’un plan.
1. Positions relatives de deux droites
a. Droites coplanaires

On considère deux droites (d) et (d’) incluses dans un même plan, c’est-à-dire coplanaires.

Remarque
Si les droites sont contenues dans un même plan, les notions de géométrie plane s'appliquent.

Si (d) et (d') sont coplanaires, alors (d) et (d') sont soit :

  • confondues ;
  • strictement parallèles (elles n'ont aucun point d'intersection) ;
  • sécantes (elles ont un unique point d'intersection).
Remarque
Si deux droites sont confondues, elles sont aussi parallèles.
Exemples
Droites coplanaires et parallèles :

Droites coplanaires et sécantes :

b. Droites non coplanaires
Si (d) et (d') sont non coplanaires, aucun plan ne contient à la fois (d) et (d').
Exemple
c. Lien avec les vecteurs directeurs
Propriété
Si (d) et (d’) ont des vecteurs directeurs colinéaires, alors elles sont parallèles et donc coplanaires.
En revanche, si les vecteurs directeurs de deux droites ne sont pas colinéaires, les droites (d) et (d’) peuvent être coplanaires ou non.
Exemples
Vecteurs directeurs non colinéaires et droites coplanaires :
Vecteurs directeurs non colinéaires et droites non coplanaires :
2. Positions relatives d'une droite et d'un plan

On distingue trois cas possibles pour les positions relatives du plan P et de la droite (d).

  • Cas 1 : La droite (d) est contenue dans le plan P.
  • Cas 2 : La droite (d) est strictement parallèle au plan P.
  • Cas 3 : La droite (d) est sécante au plan P. Il y a alors un unique point d'intersection.
Exemples
Cas 1 Cas 2
Cas 3
3. Cas particulier de l'orthogonalité d'une droite et d'un plan
Dans le cas où la droite (d) et le plan P sont sécants, on dit que la droite (d) est orthogonale au plan P si (d) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
Remarque
On peut aussi établir qu’une droite est orthogonale à un plan à l’aide des notions de vecteur directeur d’une droite et de vecteurs directeurs d’un plan. On a alors la propriété suivante.
Propriété
La droite (d) de vecteur directeur est orthogonale au plan P de vecteurs directeurs et si et .

Dans ce cas, on dit que le vecteur est un vecteur normal au plan P.

4. Positions relatives de deux plans

On distingue trois cas possibles.

  • Cas 1 : Les deux plans sont confondus.
  • Cas 2 : Les deux plans sont strictement parallèles, leur intersection est vide.
  • Cas 3 : Les deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
Exemples
Cas 2 Cas 3

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