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Les systèmes linéaires à 2 ou 3 inconnues

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Objectif

Apprendre à résoudre un système à deux ou trois inconnues.

Points clés

Résoudre un système de deux équations d’inconnues x et y revient à chercher tous les couples (x ; y) qui vérifient ces deux équations.
Un tel couple de valeurs (x ; y) est appelé « solution du système d’équations ».
Résoudre un système de trois équations d’inconnues x, y et z revient à chercher tous les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces trois équations.
Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé « solution du système d’équations ».
Pour résoudre un système d’équations du premier degré, il y a deux méthodes : une méthode dite « par substitution » et une méthode dite « par combinaison ».

1. Systèmes d'équations à deux ou trois inconnues

Un système d’équations est la donnée de plusieurs équations.
On les rassemble souvent par une accolade.

Exemple 1

est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y.

Exemple 2

est un système de trois équations du premier degré à trois inconnues x, y et z.

Résoudre un système de deux équations d’inconnues x et y revient à chercher tous les couples (x ; y), qui vérifient ces deux équations.
Un tel couple de valeurs (x ; y) est appelé « solution du système d’équations ».

De même, résoudre un système de trois équations d’inconnues x, y et z revient à chercher tous les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces trois équations.
Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé « solution du système d’équations ».

Exemple 1
Le couple (2 ; –1) est solution du système d’équations

car, en remplaçant x par 2 et y par – 1, les deux équations du système sont vérifiées :

Exemple 2
Le couple (1 ; 2 ; 3) est solution du système

car si on remplace x par 1, y par 2 et z par 3, les trois équations sont vérifiées :

Remarque
Les systèmes d’équations du premier degré à deux ou trois inconnues n’ont aucune solution, une seule solution, ou ont une infinité de solutions.

2. Méthodes de résolution des systèmes d'équations

Pour résoudre un système d’équations du premier degré, il existe deux méthodes : une méthode dite « par substitution » et une méthode dite « par combinaison ».

a. Résolution d’un système à deux équations du premier degré à deux inconnues

Nous présentons, sur un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, les deux méthodes.

On va chercher à résoudre le système d’équations .

Remarque
On numérote chacune des équations pour les identifier facilement lors des différentes étapes de la résolution.

Méthode par substitution

Méthode	Applications	Commentaires
Dans l'égalité (1), on exprime une inconnue en fonction d'une autre.	(1) 3x + y = 9 ⇔ y = 9 – 3x	y est en fonction de x.
On reporte cette expression dans l'égalité (2).	(2) 5x – 2y = 26 ⇔ 5x – 2(9 – 3x) = 26
On simplifie l'expression obtenue.	5x – 2(9 – 3x) = 26 ⇔ 5x – (18 – 6x) = 26 ⇔ 5x – 18 + 3x = 26 ⇔ 11x – 18 = 26	On développe et on réduit l'expression (2).
On résout l'équation obtenue.	11x – 18 = 26 ⇔ 11x = 26 +18 ⇔ 11x = 44 ⇔ x = ⇔ x = 4	On revient à une équation du 1^er degré à une inconnue.
On calcule la 2^e valeur en remplaçant la valeur de x trouvée dans l'égalité (1).	(1) y = 9 – 3x y = 9 – 3 × 4 y = 9 – 12 y = –3	On remplace x par 4 dans l'égalité (1).

Méthode par combinaison

Méthode	Applications	Commentaires
On multiplie les deux égalités pour obtenir le même coefficient en x.		On multiplie l'égalité (1) par 5 et l'égalité (2) par 3 pour obtenir dans chacune 15x.
On obtient le système ci-contre.		On soustrait les équations membre à membre : (1) – (2).
On soustrait les deux égalités.	(15x + 5y) – (15x – 6y) = 45 – 78 15x + 5y – 15x + 6y = –33 11y = –33	Les x ont disparu.
On résout l'équation obtenue.	11y = –33 ⇔ y = ⇔ y = –3	On revient à une équation du 1^er degré à une inconnue.
On calcule la deuxième valeur en remplaçant la valeur de y dans l'égalité (1).	3x + (–3) = 9 ⇔ 3x = 9 + 3 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = ⇔ x = 4	On remplace y par –3 dans l'égalité (1).

Vérification de la solution

Pour chacune des deux méthodes, on s'assure que les valeurs obtenues vérifient les deux équations de départ.

Méthode	Applications	Commentaires
On vérifie la solution.		On remplace x par 4 et y par –3 dans les équations du système de départ.
On conclut.	Le couple (4 ; –3) est solution du système :

b. Résolution d’un système à trois équations du premier degré à trois inconnues

Pour ce type de système, il faut privilégier la méthode par combinaison. L’objectif est d’échelonner (on dit aussi triangulariser) le système, c’est-à-dire que la première équation contient trois inconnues, la deuxième équation deux inconnues et la troisième une inconnue.

On va chercher à résoudre le système d’équations .

Méthode	Applications	Commentaires
On multiplie les deux dernières égalités pour obtenir le même coefficient en x.		On multiplie l'égalité (2) par 1 et l'égalité (3) par 3 pour obtenir dans chacune 3x.
On obtient le système ci-contre.
On remplace la ligne (3) du système par (2) – (3).
On obtient le système ci-contre.		Les x ont disparu dans l’équation (3).
On va supprimer les x dans l’équation (2).		On utilise les équations (1) et (2). On multiplie l'équation (2) par 2 et l'équation (1) par 3 pour obtenir dans chacune 6x.
On obtient le système ci-contre.
On remplace la ligne (2) du système par (1) – (2).		On a un système qui ne contient la variable x que dans la première équation.
Il faut maintenant supprimer y dans l’équation (2).		On utilise les équations (2) et (3). On multiplie l'équation (2) par –4 et l'équation (3) par 5 pour obtenir dans chacune –20y.
On obtient le système ci-contre.
On remplace la ligne (3) du système par (2) – (3).		On a maintenant un système qui est échelonné.
On peut le résoudre en commençant par l’équation (3).	– 24z = – 72 d’où
Puis on remonte à l’équation (2).	– 20y – 4 × 3 = – 52 d'où	On remplace z par 3 dans l’équation (3) puis on trouve y.
Puis on remonte à l’équation (1).	6x + 3 × 2 + 3 × 3 = 21 d’où	On trouve x en remplaçant y par 2 et z par 1 dans l’équation (1).
La solution du système est donc le triplet (1 ; 2 ; 3).

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