Les systèmes linéaires à 2 ou 3 inconnues
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Apprendre à résoudre un système à deux ou trois inconnues.
- Résoudre un système de deux équations
d’inconnues x et y revient à chercher tous
les couples (x ; y) qui vérifient ces
deux équations.
Un tel couple de valeurs (x ; y) est appelé « solution du système d’équations ». - Résoudre un système de trois équations
d’inconnues x, y et z revient à chercher tous
les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces trois
équations.
Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé « solution du système d’équations ». - Pour résoudre un système d’équations du premier degré, il y a deux méthodes : une méthode dite « par substitution » et une méthode dite « par combinaison ».
On les rassemble souvent par une accolade.
est un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y.
est un système de trois équations du premier degré à trois inconnues x, y et z.
Résoudre un système de deux équations
d’inconnues x et y revient à
chercher tous les couples (x ; y), qui
vérifient ces deux équations.
Un tel couple de valeurs (x ; y) est appelé
« solution du système
d’équations ».
De même, résoudre un système de trois
équations d’inconnues x, y et z revient à
chercher tous les triplets (x ; y ; z) qui vérifient ces
trois équations.
Un tel triplet de valeurs (x ; y ; z) est appelé
« solution du système
d’équations ».
Le couple (2 ; –1) est solution du système d’équations
car, en remplaçant x par 2 et y par – 1, les deux équations du système sont vérifiées :
.
Le couple (1 ; 2 ; 3) est solution du système
car si on remplace x par 1, y par 2 et z par 3, les trois équations sont vérifiées :
.
Les systèmes d’équations du premier degré à deux ou trois inconnues n’ont aucune solution, une seule solution, ou ont une infinité de solutions.
Pour résoudre un système d’équations du premier degré, il existe deux méthodes : une méthode dite « par substitution » et une méthode dite « par combinaison ».
Nous présentons, sur un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, les deux méthodes.
On va chercher à résoudre le système d’équations .
On numérote chacune des équations pour les identifier facilement lors des différentes étapes de la résolution.
Méthode | Applications | Commentaires |
Dans l'égalité (1), on exprime une inconnue en fonction d'une autre. |
(1) 3x + y = 9 ⇔ y = 9 – 3x |
y est en fonction de x. |
On reporte cette expression dans
l'égalité (2). |
(2) 5x – 2y = 26 ⇔ 5x – 2(9 – 3x) = 26 |
|
On simplifie l'expression obtenue. |
5x – 2(9 –
3x) = 26 ⇔ 5x – (18 – 6x) = 26 ⇔ 5x – 18 + 3x = 26 ⇔ 11x – 18 = 26 |
On développe et on réduit l'expression (2). |
On résout l'équation obtenue. |
11x – 18 = 26 ⇔ 11x = 26 +18 ⇔ 11x = 44 ⇔ x =
⇔ x = 4
|
On revient à une équation du 1er degré à une inconnue. |
On calcule la 2e valeur en remplaçant la valeur de x trouvée dans l'égalité (1). |
(1) y = 9 – 3x y = 9 – 3 × 4 y = 9 – 12 y = –3 |
On remplace x par 4 dans l'égalité (1). |
Méthode | Applications | Commentaires |
On multiplie les deux égalités pour obtenir le même coefficient en x. | On multiplie l'égalité (1) par 5 et l'égalité (2) par 3 pour obtenir dans chacune 15x. | |
On obtient le système ci-contre. |
On soustrait les équations membre à membre : (1) – (2). | |
On soustrait les deux égalités. |
(15x + 5y) – (15x – 6y) = 45 – 78
15x + 5y – 15x + 6y = –3311y = –33 |
Les x ont disparu. |
On résout l'équation obtenue. |
11y = –33 ⇔ y = ⇔ y = –3 |
On revient à une équation du 1er degré à une inconnue. |
On calcule la deuxième valeur en remplaçant la valeur de y dans l'égalité (1). |
3x + (–3) = 9
⇔ 3x = 9 + 3⇔ 3x = 12 ⇔ x = ⇔ x = 4 |
On remplace y par –3 dans l'égalité (1). |
Pour chacune des deux méthodes, on s'assure que les valeurs obtenues vérifient les deux équations de départ.
Méthode | Applications | Commentaires |
On vérifie la solution. |
|
On remplace x par 4 et
y
par –3 dans les équations du
système de départ. |
On conclut. |
Le couple (4 ; –3) est solution du
système : |
Pour ce type de système, il faut privilégier la méthode par combinaison. L’objectif est d’échelonner (on dit aussi triangulariser) le système, c’est-à-dire que la première équation contient trois inconnues, la deuxième équation deux inconnues et la troisième une inconnue.
On va chercher à résoudre le système d’équations .
Méthode | Applications | Commentaires |
On multiplie les deux dernières égalités pour obtenir le même coefficient en x. | On multiplie l'égalité (2) par 1 et l'égalité (3) par 3 pour obtenir dans chacune 3x. | |
On obtient le système ci-contre. | ||
On remplace la ligne (3) du système par (2) – (3). | ||
On obtient le système ci-contre. | Les x ont disparu dans l’équation (3). | |
On va supprimer les x dans l’équation (2). | On utilise les équations (1) et (2). On multiplie l'équation (2) par 2 et l'équation (1) par 3 pour obtenir dans chacune 6x. | |
On obtient le système ci-contre. | ||
On remplace la ligne (2) du système par (1) – (2). | On a un système qui ne contient la variable x que dans la première équation. | |
Il faut maintenant supprimer y dans l’équation (2). | On utilise les équations (2) et (3). On multiplie l'équation (2) par –4 et l'équation (3) par 5 pour obtenir dans chacune –20y. | |
On obtient le système ci-contre. | ||
On remplace la ligne (3) du système par (2) – (3). | On a maintenant un système qui est échelonné. | |
On peut le résoudre en commençant par l’équation (3). |
– 24z = – 72 d’où |
|
Puis on remonte à l’équation (2). |
–
20y
– 4
× 3
= –
52 d'où |
On remplace z par 3 dans l’équation (3) puis on trouve y. |
Puis on remonte à l’équation (1). |
6x + 3 × 2 + 3 × 3 = 21 d’où |
On trouve x en remplaçant y par 2 et z par 1 dans l’équation (1). |
La solution du système est donc le triplet (1 ; 2 ; 3). |
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