Une application aux équations de sphères et de plans
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- Savoir déterminer l’équation cartésienne d’un plan de l’espace à partir d’un vecteur normal au plan.
- Savoir déterminer l’équation d’une sphère à partir de son centre et de son rayon.
- Soit P un
plan. On appelle vecteur normal
à P
tout vecteur directeur
d’une droite orthogonale
à P.
- Le plan P de vecteur normal
est l’ensemble des
points M du plan
tels que
.
Si
, alors une équation
cartésienne du plan P est de la forme
ax + by + cz + d = 0.
- Si le plan P a pour équation
ax + by + cz + d = 0,
alors le vecteur est un vecteur normal
à P.
- Une équation de la sphère de centre
I(a ; b ; c) et de rayon
R est
.
- Connaitre la notion d’équation cartésienne d’un plan.
- Connaitre le produit scalaire.
- Déterminer la position relative de deux plans.
- Connaitre la notion de vecteurs colinéaires.
- Connaitre l’équation paramétrique d’une droite.
Soit un plan P
muni d’un repère orthonormé 
.
Pour cette notion, on peut aussi se référer au cours « Équation cartésienne d’un plan ».
d’une droite orthogonale
au plan P.
Soit P un plan de vecteur normal
et A un point
de P.Le plan P de vecteur normal
est l’ensemble des
points M du
plan tels que .Si
, alors une équation
cartésienne du plan P est de la forme
ax + by + cz + d = 0.
Écrire une équation du plan P passant par A(– 2 ; 3 ; 1) et de vecteur normal le vecteur
.
-
Méthode n° 1 : M(x ; y ; z)
appartient au plan P équivaut
à dire que .
Or
et 
, ainsi équivaut
à 
Le plan P a pour équation
.
-
Méthode n° 2 : Comme est un vecteur
normal, on peut dire qu’une équation
de P est
de la forme x – y +
2z + d
= 0.
Reste à déterminer d en utilisant le fait que A(– 2 ; 3 ; 1) appartient à P, donc que ses coordonnées vérifient l’équation de celui-ci, à savoir – 2 – 3 + 2 + d = 0.
Soit d = 3, ce qui permet de conclure que P a pour équation.
On montre que si le plan P a pour équation ax + by + cz + d = 0, alors le vecteur
est un vecteur normal
à P.
On peut dire par exemple que le plan P d’équation
3x + 2y – 5z + 2 = 0
a pour vecteur normal le vecteur 
.
Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante.
Une équation de la sphère de centre I(a ; b ; c) et de rayon R est
.
Une équation de la sphère S de centre I(– 2 ; 1 ; 2) et de rayon 3 est
.On peut aussi donner une équation développée :
.
Quel est l’ensemble des poins M(x ; y ; z) vérifiant
?On remarque que cette équation ressemble à une équation de sphère.
Pour caractériser cette sphère, on doit retrouver la forme initiale de l’équation, à savoir la forme
. s’écrit aussi
.Or
est le début du
développement de 
et, plus
précisément, 
.De même,
et 
.
soit
.Cette équation est de la forme
avec a = 1, b = 2, c = 3 et R = 4.On peut conclure que l’ensemble cherché est la sphère de centre I(1 ; 2 ; 3) et de rayon 4.
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