Une application aux équations de sphères et de plans - Maxicours

Une application aux équations de sphères et de plans

Objectifs
  • Savoir déterminer l’équation cartésienne d’un plan de l’espace à partir d’un vecteur normal au plan.
  • Savoir déterminer l’équation d’une sphère à partir de son centre et de son rayon.
Points clés
  • Soit P un plan. On appelle vecteur normal à P tout vecteur directeur d’une droite orthogonale à P.
  • Le plan P de vecteur normal est l’ensemble des points M du plan tels que .
    Si , alors une équation cartésienne du plan P est de la forme ax + by + cz d = 0.
  • Si le plan P a pour équation ax + by + cz d = 0, alors le vecteur est un vecteur normal à P.
  • Une équation de la sphère de centre I(a ; b ; c) et de rayon R est .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion d’équation cartésienne d’un plan.
  • Connaitre le produit scalaire.
  • Déterminer la position relative de deux plans.
  • Connaitre la notion de vecteurs colinéaires.
  • Connaitre l’équation paramétrique d’une droite.

Soit un plan P muni d’un repère orthonormé .

1. Rappel : Équation cartésienne d'un plan
Remarque
Pour cette notion, on peut aussi se référer au cours « Équation cartésienne d’un plan ».
a. Vecteur normal à un plan
Soit P un plan. On appelle vecteur normal à P tout vecteur directeur d’une droite orthogonale au plan P.
b. Équation cartésienne d’un plan à partir d’un vecteur normal à ce plan
Théorème
Soit P un plan de vecteur normal  et A un point de P.
Le plan P de vecteur normal est l’ensemble des points M du plan tels que .
Si , alors une équation cartésienne du plan P est de la forme ax + by + cz d = 0.
Exemple
Écrire une équation du plan P passant par A( 2 ; 3 ; 1) et de vecteur normal le vecteur .
  • Méthode n° 1 : M(x ; y ; z) appartient au plan P équivaut à dire que .
    Or et , ainsi équivaut à
    Le plan P a pour équation .
  • Méthode n° 2 : Comme est un vecteur normal, on peut dire qu’une équation de P est de la forme x y + 2z + d = 0.
    Reste à déterminer d en utilisant le fait que A( 2 ; 3 ; 1) appartient à P, donc que ses coordonnées vérifient l’équation de celui-ci, à savoir  2  3 + 2 + d = 0.
    Soit d = 3, ce qui permet de conclure que P a pour équation .
Remarque
On montre que si le plan P a pour équation ax + by + cz d = 0, alors le vecteur est un vecteur normal à P. On peut dire par exemple que le plan P d’équation 3x + 2y 5z + = 0 a pour vecteur normal le vecteur .
2. Équation d'une sphère
La sphère de centre I(a ; b ; c) et de rayon R est l’ensemble des points M de l'espace tels que IM = R.

Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante.

Propriété
Une équation de la sphère de centre I(a ; b ; c) et de rayon R est .
Exemple 1
Une équation de la sphère S de centre I( 2 ; 1 ; 2) et de rayon 3 est .
On peut aussi donner une équation développée : .
Exemple 2
Quel est l’ensemble des poins M(x ; y ; z) vérifiant  ?

On remarque que cette équation ressemble à une équation de sphère.
Pour caractériser cette sphère, on doit retrouver la forme initiale de l’équation, à savoir la forme .
  s’écrit aussi .
Or est le début du développement de   et, plus précisément, .
De même, et .


soit .
Cette équation est de la forme avec = 1, b = 2, c = 3 et R = 4.
On peut conclure que l’ensemble cherché est la sphère de centre I(1 ; 2 ; 3) et de rayon 4.

 

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