Une application aux équations de cercles et de droites - Maxicours

Une application aux équations de cercles et de droites

Objectifs
  • Écrire une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal.
  • Écrire et reconnaitre une équation de cercle.
Points clés
  • Toute droite de vecteur normal a pour équation ax + by + c = 0.
  • Une équation du cercle de centre I(a, b) et de rayon R est
    (x – a)2 + (y – b)2 = R2.

Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un repère orthonormé .

1. Équation d'une perpendiculaire
a. Vecteur normal à une droite
Soit une droite (D). On appelle vecteur normal à (D) tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D).

La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.

est un vecteur directeur de (D).
est un vecteur normal à (D).

b. Propriété caractéristique d'une droite connaissant un point et un vecteur normal
Propriété
La droite (D) passant par A et de vecteur normal est l’ensemble des points M du plan tels que .
c. Équation d'une droite connaissant un point et un vecteur normal

La propriété ci-dessus permet ainsi de déterminer une équation cartésienne de (D) connaissant les coordonnées d’un point A de (D) et d‘un vecteur normal .

En effet, en considérant A(xA, yA)  et , on peut dire que M(xy) appartient à (D) équivaut à .

(x – xA) × + (y – yA) × = 0
ax + by + (– axA – byA) = 0.

On retiendra :

  • la méthode employée ;
  • le fait que si est un vecteur normal à une droite (D), alors une équation de (D) est de la forme ax + by + c = 0.
Exemple d’utilisation

Énoncé : écrire une équation de la droite (D) passant par A(2, 3) et de vecteur normal le vecteur .

Méthode n°1

M (x, y) appartient à la droite (D) équivaut à dire que .
Or (x + 2y – 3) et ainsi équivaut à
(x + 2) (–1) + (y – 3) × 2 = 0
x + 2y –8 = 0 est l'équation cartésienne de la droite (D).

Méthode n°2

Comme est un vecteur normal, on peut dire qu’une équation de (D) est de la forme x + 2y + c = 0  d’après la 2e remarque énoncée.
Reste à déterminer c en utilisant le fait que A(2, 3) appartient à (D) donc ses coordonnées vérifient l’équation de celle-ci à savoir : –(–2) + 2 × 3 + = 0.
Soit c = – 8, ce qui permet de conclure que (D) a pour équation x + 2y – 8 = 0 .

Remarque
On montre que si une droite (D) a pour équation ax + by + c = 0 alors le vecteur est un vecteur normal à (D).
Utilisation
On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation 3x – 5y + 4 = 0 a pour vecteur normal le vecteur .
2. Équation de cercle
En connaissant le centre et le rayon

Le cercle C de centre I(a, b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :

Une équation du cercle C de centre I (a, b) et de rayon R est
(x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Exemple 1
Une équation du cercle (C) de centre I(2 ; 1) et de rayon 3 est  (+ 2)2 + (y – 1)2 = 9.
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne
x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0.
Exemple 2
Quel est l’ensemble des points M(x, y) vérifiant x2 + y2 – 2x + 5y – 4 = 0 ?

On remarque que cette équation ressemble à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver la forme initiale de l’équation à savoir une forme (x – a)2 + (y – b)2 = R2.

x2 + y2 – 2x + 5y – 4 = 0 s’écrit aussi x2 – 2x + y2 + 5y – 4 = 0.
Or x2 + 2x est le début du développement de (x + 1)2 et plus précisément x2 – 2x = (x – 1)2 – 1. De même, y2 + 5 y = (+ )2  .


Ainsi, x2 – 2x + y2 + 5y – 4 = 0 s’écrit aussi (x – 1)2 – 1 + (y + )2   – 4 = 0 soit (x – 1)2 + (y + )2 = + 5, c’est-à-dire (x – 1)2 + (y + )2 = .

Cette équation est de la forme (x – a)2 + (y – b)2 = R2 avec a = 1, (attention au signe « – ») et .

On peut conclure que l’ensemble cherché est le cercle de centre et de rayon .

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