Une application aux équations de cercles et de droites
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- Écrire une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal.
- Écrire et reconnaitre une équation de cercle.
- Toute droite de vecteur normal
a pour équation
ax + by + c = 0.
- Une équation du cercle de centre I(a, b) et de rayon
R est
(x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Dans toute cette fiche, le plan est muni d’un
repère orthonormé 
.
La direction d’un vecteur normal à une droite donne la direction de l’une de ses perpendiculaires.
est un vecteur directeur de
(D).
est un vecteur normal à
(D).
La droite (D) passant par A et de vecteur normal
est l’ensemble des points
M du plan tels que
.
La propriété ci-dessus permet ainsi de
déterminer une équation
cartésienne de (D) connaissant les
coordonnées d’un point A de (D) et d‘un vecteur
normal 
.
En effet, en considérant A(xA,
yA) et 
, on peut dire que M(x, y) appartient
à (D)
équivaut à 
.
(x – xA) × a + (y – yA) × b = 0
ax + by + (– axA – byA) = 0.
On retiendra :
- la méthode employée ;
- le fait que si
est un vecteur normal
à une droite (D), alors une
équation de (D) est de la forme
ax + by + c = 0.
Énoncé : écrire une
équation de la droite (D) passant par
A(–2, 3) et de vecteur
normal le vecteur 
.
M (x,
y) appartient à la droite
(D)
équivaut à dire que 
.
Or 
(x + 2y – 3) et
ainsi 
équivaut à
(x + 2) (–1) + (y – 3) × 2 = 0
– x +
2y –8 = 0 est
l'équation cartésienne de la droite
(D).
Comme 
est un vecteur normal, on peut
dire qu’une équation de (D) est de la forme
–x + 2y + c = 0
d’après la 2e remarque
énoncée.
Reste à déterminer c en utilisant le fait que
A(–2, 3) appartient
à (D)
donc ses coordonnées vérifient
l’équation de celle-ci à
savoir : –(–2) + 2 × 3 + c = 0.
Soit c
= – 8,
ce qui permet de conclure que (D) a pour
équation –x + 2y – 8 = 0 .
On montre que si une droite (D) a pour équation ax + by + c = 0 alors le vecteur
est un vecteur normal à
(D).
On peut dire par exemple que la droite (D) d’équation 3x – 5y + 4 = 0 a pour vecteur normal le vecteur
.
Le cercle C de centre I(a, b) et de rayon R est l’ensemble des points M du plan tels que IM = R. Ainsi, on peut énoncer la propriété suivante :
(x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Une équation du cercle (C) de centre I(–2 ; 1) et de rayon 3 est (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9.
On peut aussi donner une équation développée ce qui donne
x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0.
Quel est l’ensemble des points M(x, y) vérifiant x2 + y2 – 2x + 5y – 4 = 0 ?
On remarque que cette équation ressemble
à une équation de cercle.
Pour caractériser ce cercle, on doit retrouver
la forme initiale de l’équation à
savoir une forme (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
x2 + y2 – 2x + 5y – 4 = 0
s’écrit aussi x2 – 2x + y2 + 5y – 4 = 0.
Or x2 + 2x
est le début du développement de
(x + 1)2 et
plus précisément x2 – 2x = (x – 1)2 – 1.
De même, y2 + 5 y = (y + 
)2 – 
.
Ainsi, x2 – 2x + y2 + 5y – 4 = 0 s’écrit
aussi (x – 1)2 – 1 + (y + 
)2 – 
– 4 = 0 soit
(x – 1)2 + (y + )2 = + 5,
c’est-à-dire (x – 1)2 + (y + )2 = 
.
Cette équation est de la forme (x – a)2 + (y – b)2 = R2 avec
a = 1,
(attention au signe
« – ») et 
.
On peut conclure que l’ensemble cherché
est le cercle de centre 
et de rayon 
.
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