Projeté orthogonal et trigonométrie- Terminale- Mathématiques

Soient d une droite et M un point du plan.
Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH)  d.

Si M ∈ d, alors M et H sont confondus, donc MH = 0. Tout autre point H’ de d distinct de H est tel que MH’ > 0, donc MH’ > MH.

Si M  d, alors pour tout point H’ ∈ d, distinct de H, le triangle MHH’ est rectangle en H. [MH’] en est l’hypoténuse, c’est-à-dire le plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.

Soit P un plan et M un point de l'espace.
Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point H appartenant à P tel que (MH) P.

Si M ∈ P, alors M et H sont confondus, donc MH = 0. Tout autre point H’ de P distinct de H est tel que MH’ > 0, donc MH’ > MH.

Si M P, soit un point H’ ∈ P, distinct de H, alors le vecteur est orthogonal au plan P donc à tout vecteur directeur du plan P, en particulier au vecteur .
Donc le triangle MHH’ est rectangle en H : [MH’] en est l’hypoténuse, c’est-à-dire le plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu se calcule grâce à la formule suivante :
cosinus d'un angle aigu = .

Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté adjacent à l’angle est le côté [AB], et l’hypoténuse du triangle ABC est le côté [BC].
On a donc .

Remarque
Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
0 < cos( ) < 1.

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son cosinus, on utilise la fonction cos^–1 (ou arccos) de la calculatrice.

Exemple
Si cos() = 0,6, alors = cos^–1(0,6) ≈ 53°.

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu se calcule grâce à la formule suivante :
sinus d’un angle aigu =  .

Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté opposé à l’angle est le côté [AC], et l’hypoténuse du triangle ABC est le côté [BC]. 
On a donc .

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son sinus, on utilise la fonction sin^–1 (ou arcsin) de la calculatrice.

Exemple
Si sin() = 0,56 alors  = sin^–1(0,56) ≈ 34°. 

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu se calcule grâce à la formule suivante :
tangente d’un angle aigu = .

Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté opposé à l’angle est le côté [AC] et le côté adjacent à l'angle est le côté [AB].
On a donc .

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant sa tangente, on utilise la fonction tan^–1 (ou arctan) de la calculatrice.

Exemple
Si tan() = 26, alors  = tan^–1(26) ≈ 88°.

Propriété
Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation : .

On se place dans un triangle ABC rectangle en A.

Par définition, 
 (le quotient reste inchangé si on multiplie par BC le numérateur et le dénominateur)

Propriété
Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation : .

On se place dans un triangle ABC rectangle en A.

Par définition,  et .
D'où : 

 (d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC)