Projeté orthogonal et trigonométrie- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Projeté orthogonal et trigonométrie

Objectifs
  • Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan donné par une équation cartésienne, ou sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur.
  • Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d’un point à une droite ou à un plan.
Points clés
  • Soit d une droite et M un point du plan. Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH)  d.
  • H est le point de d le plus proche de M. La longueur MH est appelée distance du point M à la droite (d).
  • Soit P un plan et M un point de l’espace. Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point H appartenant à P tel que (MH P.
  • Le point H est le point du plan P le plus proche de M. La longueur MH est appelée distance du point M au plan P.
Pour bien comprendre

Connaitre les notions de trigonométrie dans le triangle rectangle.

1. Projeté orthogonal d'un point sur une droite ou sur un plan
a. Projeté orthogonal d'un point sur une droite
Soient d une droite et M un point du plan.
Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH d.

Remarque
Si ∈ d, alors M et H sont confondus.
Propriété
H est le point de d le plus proche de M.
La longueur MH est appelée distance du point M à la droite d.
Démonstration

Si M ∈ d, alors M et H sont confondus, donc MH = 0. Tout autre point H’ de d distinct de H est tel que MH’ > 0, donc MH’ > MH.

Si  d, alors pour tout point H’ ∈ d, distinct de H, le triangle MHH’ est rectangle en H. [MH’] en est l’hypoténuse, c’est-à-dire le plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.

b. Projeté orthogonal d'un point sur un plan
Soit P un plan et M un point de l'espace.
Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point H appartenant à P tel que (MHP.

Propriété
Le point H est le point du plan P le plus proche de M.
La longueur MH est appelée distance du point M au plan P.
Démonstration

Si M ∈ P, alors M et H sont confondus, donc MH = 0. Tout autre point H’ de P distinct de H est tel que MH’ > 0, donc MH’ > MH.

Si P, soit un point H’ ∈ P, distinct de H, alors le vecteur est orthogonal au plan P donc à tout vecteur directeur du plan P, en particulier au vecteur .
Donc le triangle MHH’ est rectangle en H : [MH’] en est l’hypoténuse, c’est-à-dire le plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.


2. Rappels de trigonométrie
a. Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu se calcule grâce à la formule suivante :
cosinus d'un angle aigu = .
Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté adjacent à l’angle est le côté [AB], et l’hypoténuse du triangle ABC est le côté [BC].
On a donc .
Remarque
Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
0 < cos( ) < 1.

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son cosinus, on utilise la fonction cos1 (ou arccos) de la calculatrice.

Exemple
Si cos() = 0,6, alors = cos1(0,6) ≈ 53°.
b. Sinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu se calcule grâce à la formule suivante :
sinus d’un angle aigu =  .
Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté opposé à l’angle est le côté [AC], et l’hypoténuse du triangle ABC est le côté [BC]. 
On a donc .
Remarques

Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
0 < sin( ) < 1.

D’après le schéma précédent, nous avons , donc .

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son sinus, on utilise la fonction sin1 (ou arcsin) de la calculatrice.

Exemple
Si sin(= 0,56 alors  = sin1(0,56)  34°. 
c. Tangente d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu se calcule grâce à la formule suivante :
tangente d’un angle aigu = .
Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le côté opposé à l’angle est le côté [AC] et le côté adjacent à l'angle est le côté [AB].
On a donc .
Remarques

Les longueurs sont des nombres positifs ; on peut donc écrire pour les angles aigus :
0 < tan().

Un moyen pour retenir les définitions est l’anagramme : SOH CAH TOA, où par exemple SOH veut dire que le Sinus (S) d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté Opposé (O) par la longueur de l’Hypoténuse (H).

Pour calculer la mesure d'un angle connaissant sa tangente, on utilise la fonction tan1 (ou arctan) de la calculatrice.

Exemple
Si tan() = 26, alors  = tan1(26)  88°.
d. Propriétés
Propriété
Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation : .
Démonstration

On se place dans un triangle ABC rectangle en A.

Par définition, 
 (le quotient reste inchangé si on multiplie par BC le numérateur et le dénominateur)


Propriété
Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation : .
Démonstration

On se place dans un triangle ABC rectangle en A.

Par définition, 
 et .
D'où : 

 (d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle ABC)

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