Projeté orthogonal et trigonométrie
- Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan donné par une équation cartésienne, ou sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur.
- Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d’un point à une droite ou à un plan.
- Soit d une
droite et M un point du
plan. Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point
H appartenant à
d tel que
(MH)
d.
- H est le point de d le plus proche de M. La longueur MH est appelée distance du point M à la droite (d).
- Soit P un
plan et M un point de
l’espace. Le projeté orthogonal
de M sur le
plan P est
le point H
appartenant à P tel que (MH) P.
- Le point H est le point du plan P le plus proche de M. La longueur MH est appelée distance du point M au plan P.
Connaitre les notions de trigonométrie dans le triangle rectangle.
Le projeté orthogonal de M sur la droite d est le point H appartenant à d tel que (MH)
d.
Si M ∈ d, alors M et H sont confondus.
H est le point de d le plus proche de M.
La longueur MH est appelée distance du point M à la droite d.
Si M ∈ d, alors M et H sont confondus, donc MH = 0. Tout autre point H’ de d distinct de H est tel que MH’ > 0, donc MH’ > MH.
Si M 
d, alors pour tout point
H’ ∈ d,
distinct de H, le
triangle MHH’
est rectangle en H.
[MH’] en est
l’hypoténuse, c’est-à-dire le
plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.
Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point H appartenant à P tel que (MH)
P.
Le point H est le point du plan P le plus proche de M.
La longueur MH est appelée distance du point M au plan P.
Si M ∈ P, alors M et H sont confondus, donc MH = 0. Tout autre point H’ de P distinct de H est tel que MH’ > 0, donc MH’ > MH.
Si M P, soit un point
H’ ∈ P,
distinct de H,
alors le vecteur 
est orthogonal au plan
P donc
à tout vecteur directeur du plan P, en particulier au
vecteur 
.
Donc le triangle MHH’ est rectangle en
H : [MH’] en est
l’hypoténuse, c’est-à-dire le
plus long côté du triangle, donc MH’ > MH.
cosinus d'un angle aigu =
.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté adjacent à l’angle
est le côté
[AB], et
l’hypoténuse du triangle ABC est le côté
[BC].On a donc
.
Comme les longueurs sont des nombres positifs et que l’hypoténuse est le plus grand des côtés du triangle rectangle, on a l’inégalité suivante :
0 < cos(
) < 1.
Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son cosinus, on utilise la fonction cos–1 (ou arccos) de la calculatrice.
Si cos(
) = 0,6, alors 
= cos–1(0,6) ≈ 53°.
sinus d’un angle aigu =
.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé à l’angle
est le côté
[AC], et
l’hypoténuse du triangle ABC est le côté
[BC]. On a donc
.
Comme les longueurs sont des nombres positifs et que
l’hypoténuse est le plus grand des
côtés du triangle rectangle, on a
l’inégalité suivante :
0 <
sin( ) < 1.
D’après le schéma
précédent, nous avons 
, donc 
.
Pour calculer la mesure d'un angle connaissant son sinus, on utilise la fonction sin–1 (ou arcsin) de la calculatrice.
Si sin(
) = 0,56
alors 
=
sin–1(0,56) ≈ 34°.
tangente d’un angle aigu =
.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le côté opposé à l’angle
est le côté
[AC] et le
côté adjacent à l'angle 
est le côté
[AB].On a donc
.
Les longueurs sont des nombres positifs ; on
peut donc écrire pour les angles
aigus :
0 <
tan().
Un moyen pour retenir les définitions est l’anagramme : SOH CAH TOA, où par exemple SOH veut dire que le Sinus (S) d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté Opposé (O) par la longueur de l’Hypoténuse (H).
Pour calculer la mesure d'un angle connaissant sa tangente, on utilise la fonction tan–1 (ou arctan) de la calculatrice.
Si tan(
) = 26, alors 
= tan–1(26)
≈ 88°.
Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation :
.
On se place dans un triangle ABC rectangle en A.
Par définition, 
(le quotient reste
inchangé si on multiplie par BC le numérateur et le
dénominateur)
Dans un triangle rectangle, soit α l'un des deux angles aigus.
On a la relation :
.
On se place dans un triangle ABC rectangle
en A.
Par définition, 
et 
.
D'où :
(d'après le
théorème de Pythagore appliqué au
triangle ABC)
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