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L'intégration par parties

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Objectif

Découvrir une technique permettant dans certains cas de calculer l’intégrale d’un produit de fonctions.

Points clés

Pour calculer une intégration par partie, on procède en deux étapes.
Étape 1 : on décompose la fonction f en produit d’une fonction u' et d’une fonction v.
Étape 2 : on applique la formule sur la base des fonctions choisies.

Pour bien comprendre

Connaitre la notion de fonction continue.
Calculer des primitives et dérivées usuelles.
Connaitre la notion d'intégrale.

1. Théorème et démonstration

Pour calculer l’intégrale d’une fonction continue, dans un premier temps, on cherche à déterminer une primitive de cette fonction.
Dans certains cas, on ne connait pas de primitive de la fonction à intégrer.
Quand la fonction à intégrer se présente sous la forme du produit de deux fonctions, on peut parfois avoir recours à la technique d’intégration par parties.

Théorème
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et dont les dérivées u' et v' sont continues.
On admet que u'v et v'u sont alors continues sur I.
Pour tous réels a et b de I :

Démonstration

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et dont les dérivées u' et v' sont continues.
On admet que u'v et v'u sont alors continues sur I.
Soit deux réels a et b de I.
La dérivée du produit uv étant donnée par u'v + v'u, uv est une primitive de u'v + v'u sur l’intervalle [a ; b].
Ainsi , par linéarité de l’intégrale.
D’où .

Remarque
Cette formule de l'intégration par parties peut se retrouver facilement à partir de la dérivée du produit de deux fonctions : (uv)' = u'v + v'u.

2. Méthode de calcul

La méthode d’intégration par parties est intéressante à utiliser à condition que soit plus facile à calculer que .

C’est le cas en général des fonctions qui se présentent sous la forme du produit d’une fonction polynôme par une fonction logarithme, exponentielle, sinus ou cosinus.

Exemple 1
On cherche à intégrer la fonction

sur l’intervalle [0 ; 1].

• Étape 1 : Choix des fonctions u et v

Remarque
Il peut être utile de modifier l’ordre des facteurs dans l’expression de la fonction à intégrer afin de faciliter l’identification des facteurs dans la formule de l’intégration par parties.

On pose u'(x) = e^x, ce qui donne u(x) = e^x, et v(x) = x,ce qui donne v'(x) = 1.

• Étape 2 : Application de la formule

• Étape 3 : On calcule la nouvelle intégrale en cherchant une primitive de v'u.

Remarques

Les fonctions u et v doivent être dérivables.
Les fonctions u' et v' doivent être continues.
On cherche une primitive de la fonction u' la plus simple possible donc, en pratique, les primitives d’une fonction étant égales à une constante près, on prendra la primitive avec une constante nulle.
Il est parfois nécessaire de faire plusieurs intégrations successives (voir l’exemple 2).
De manière générale, afin d’aller vers une intégration plus simple, il sera plutôt judicieux de :
- dériver les fonctions polynôme ou logarithme ;
- d’intégrer les fonctions exponentielles, sinus ou cosinus.

Exemple 2
Le calcul de l’intégrale suivante nécessite deux intégrations par parties successives :

• Étape 1 : Choix des fonctions u et v
On pose u'(x) = cos(x), ce qui donne u(x) = sin(x), et v(x) = x², ce qui donne v'(x) = 2x.

• Étape 2 : Application de la formule

• Étape 3 : On applique la formule de l’intégration par parties une seconde fois à l’intégrale .
En posant u'(x) = sin(x), on a u(x) = – cos(x), et v(x) = x, soit v'(x) = 1.