L'intégration par parties
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Découvrir une technique permettant dans certains cas de calculer l’intégrale d’un produit de fonctions.
-
- Pour calculer une intégration par partie, on
procède en deux étapes.
Étape 1 : on décompose la fonction f en produit d’une fonction u' et d’une fonction v.
Étape 2 : on applique la formule sur la base des fonctions choisies.
- Connaitre la notion de fonction continue.
- Calculer des primitives et dérivées usuelles.
- Connaitre la notion d'intégrale.
Pour calculer l’intégrale d’une
fonction continue, dans un premier temps, on cherche
à déterminer une primitive de cette
fonction.
Dans certains cas, on ne connait pas de primitive de la
fonction à intégrer.
Quand la fonction à intégrer se
présente sous la forme du produit de deux
fonctions, on peut parfois avoir recours à la
technique d’intégration par parties.
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et dont les dérivées u' et v' sont continues.
On admet que u'v et v'u sont alors continues sur I.
Pour tous réels a et b de I :
Soit u et
v deux
fonctions dérivables sur un
intervalle I et
dont les dérivées u' et v' sont continues.
On admet que u'v et v'u sont alors continues
sur I.
Soit deux réels a et b de I.
La dérivée du produit uv étant donnée
par u'v + v'u, uv est une primitive de
u'v + v'u
sur l’intervalle [a ; b].
Ainsi 
, par linéarité de
l’intégrale.
D’où 
.
Cette formule de l'intégration par parties peut se retrouver facilement à partir de la dérivée du produit de deux fonctions : (uv)' = u'v + v'u.
La méthode d’intégration par parties
est intéressante à utiliser à
condition que 
soit plus facile à
calculer que 
.
C’est le cas en général des fonctions qui se présentent sous la forme du produit d’une fonction polynôme par une fonction logarithme, exponentielle, sinus ou cosinus.
On cherche à intégrer la fonction
sur l’intervalle
[0 ; 1].
• Étape 1 : Choix des
fonctions u et v
Il peut être utile de modifier l’ordre des facteurs dans l’expression de la fonction à intégrer afin de faciliter l’identification des facteurs dans la formule de l’intégration par parties.
• Étape 2 : Application de la formule
• Étape 3 : On calcule la nouvelle
intégrale en cherchant une primitive
de v'u.
- Les fonctions u et v doivent être dérivables.
- Les fonctions u' et v' doivent être continues.
- On cherche une primitive de la fonction u' la plus simple possible donc, en pratique, les primitives d’une fonction étant égales à une constante près, on prendra la primitive avec une constante nulle.
- Il est parfois nécessaire de faire plusieurs intégrations successives (voir l’exemple 2).
- De manière générale, afin
d’aller vers une intégration plus simple,
il sera plutôt judicieux de :
- dériver les fonctions polynôme ou logarithme ;
- d’intégrer les fonctions exponentielles, sinus ou cosinus.
Le calcul de l’intégrale suivante nécessite deux intégrations par parties successives :
.
• Étape 1 : Choix des
fonctions u et v
On pose u'(x) = cos(x), ce qui donne
u(x) = sin(x), et v(x) = x2, ce qui donne
v'(x) = 2x.
• Étape 2 : Application de la formule
• Étape 3 : On applique la formule de
l’intégration par parties une seconde fois
à l’intégrale 
.
En posant u'(x) = sin(x), on a u(x) = – cos(x), et v(x) = x, soit v'(x) = 1.
• Étape 4 : on remplace le résultat
trouvé à l’étape 3 dans
l’intégrale initiale.
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