L'intégration par parties - Maxicours

L'intégration par parties

Objectif

Découvrir une technique permettant dans certains cas de calculer l’intégrale d’un produit de fonctions.

Points clés
  • Pour calculer une intégration par partie, on procède en deux étapes.
    Étape 1 : on décompose la fonction f en produit d’une fonction u' et d’une fonction v.
    Étape 2 : on applique la formule sur la base des fonctions choisies.
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion de fonction continue.
  • Calculer des primitives et dérivées usuelles.
  • Connaitre la notion d'intégrale.
1. Théorème et démonstration

Pour calculer l’intégrale d’une fonction continue, dans un premier temps, on cherche à déterminer une primitive de cette fonction.
Dans certains cas, on ne connait pas de primitive de la fonction à intégrer.
Quand la fonction à intégrer se présente sous la forme du produit de deux fonctions, on peut parfois avoir recours à la technique d’intégration par parties.

Théorème
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et dont les dérivées u' et v' sont continues.
On admet que u'v et v'u sont alors continues sur I.
Pour tous réels a et b de I :
Démonstration

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et dont les dérivées u' et v' sont continues.
On admet que u'v et v'u sont alors continues sur I.
Soit deux réels a et b de I.
La dérivée du produit uv étant donnée par u'v + v'u, uv est une primitive de u'v + v'u sur l’intervalle [a ; b].
Ainsi , par linéarité de l’intégrale.
D’où .

Remarque
Cette formule de l'intégration par parties peut se retrouver facilement à partir de la dérivée du produit de deux fonctions : (uv)u'v + v'u.
2. Méthode de calcul

La méthode d’intégration par parties est intéressante à utiliser à condition que soit plus facile à calculer que .

C’est le cas en général des fonctions qui se présentent sous la forme du produit d’une fonction polynôme par une fonction logarithme, exponentielle, sinus ou cosinus.

Exemple 1
On cherche à intégrer la fonction sur l’intervalle [0 ; 1].

• Étape 1 : Choix des fonctions u et v

Remarque
Il peut être utile de modifier l’ordre des facteurs dans l’expression de la fonction à intégrer afin de faciliter l’identification des facteurs dans la formule de l’intégration par parties.
On pose u'(x) = ex, ce qui donne u(x) = ex, et v(x) = x,ce qui donne v'(x) = 1.

• Étape 2 : Application de la formule
   

• Étape 3 : On calcule la nouvelle intégrale en cherchant une primitive de v'u.

Remarques
  • Les fonctions u et v doivent être dérivables.
  • Les fonctions u' et v' doivent être continues.
  • On cherche une primitive de la fonction u' la plus simple possible donc, en pratique, les primitives d’une fonction étant égales à une constante près, on prendra la primitive avec une constante nulle.
  • Il est parfois nécessaire de faire plusieurs intégrations successives (voir l’exemple 2).
  • De manière générale, afin d’aller vers une intégration plus simple, il sera plutôt judicieux de :
    • dériver les fonctions polynôme ou logarithme ;
    • d’intégrer les fonctions exponentielles, sinus ou cosinus.
Exemple 2
Le calcul de l’intégrale suivante nécessite deux intégrations par parties successives :
.

• Étape 1 : Choix des fonctions u et v
On pose u'(x) = cos(x), ce qui donne u(x) = sin(x), et v(x) = x2, ce qui donne v'(x) = 2x.

• Étape 2 : Application de la formule

• Étape 3 : On applique la formule de l’intégration par parties une seconde fois à l’intégrale .
En posant u'(x) = sin(x), on a u(x) = – cos(x), et v(x) = x, soit v'(x) = 1.

• Étape 4 : on remplace le résultat trouvé à l’étape 3 dans l’intégrale initiale.

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