Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur
- Savoir définir des vecteurs coplanaires.
- Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.
- Les vecteurs
,
et
sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que O est un point quelconque et que les points A, B et C définis par :
,
et
.
- Soit
,
et
trois vecteurs de l'espace, avec
et
non colinéaires.
,
et
sont coplanaires
il existe des réels a et b tels que
.
- Soit
,
et
trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur
, il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que
.
- Connaitre la notion de vecteur.
- Calculer un vecteur multiplié par un réel.







Vecteurs



Soit










Appliquons la définition ci-dessus.
Soit O un point de
l'espace et A,
B et C les points définis par
,
et
.
La condition de non colinéarité indique que
les vecteurs et
sont des vecteurs directeurs du
plan P contenant les
points O,
A, B.
,
et
coplanaires
le point C appartient au plan P.
il existe des réels
a et
b tels que
.
il existe des réels
a et
b tels que
.
On dit que l'on a décomposé le vecteur



Soit





Existence
On prend un point O de l'espace, puis on
définit les points A, B, C et M par ,
,
et
.

Les vecteurs ,
et
sont non coplanaires, les points
O, A et B définissent donc un plan
P et la la droite
(OC) coupe ce plan
en O.
La parallèle à (OC) passant par M coupe ce plan
en M', il existe
donc des réels a et b tels que . Or
et
sont colinéaires, il
existe donc un réel c tel que
.
On a donc .
Unicité du triplet
On va supposer qu'il existe des triplets (a, b, c) et (d, e, f) de réels tels
que .
Si a ≠ d,
on a donc d'après la
définition, les 3 vecteurs seraient
coplanaires, ce qui est impossible. Donc a = d.
On montre de la même manière que b = e et que c = f.

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