Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur - Maxicours

Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur

Objectifs
  • Savoir définir des vecteurs coplanaires.
  • Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.
Points clés
  • Les vecteurs , et sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que O est un point quelconque et que les points A, B et C définis par : , et .
  • Soit , et trois vecteurs de l'espace, avec et non colinéaires.
    , et sont coplanaires il existe des réels a et b tels que .
  • Soit , et trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion de vecteur.
  • Calculer un vecteur multiplié par un réel.
1. Vecteurs coplanaires
Les vecteurs , et sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que O est un point quelconque et que les points A, B et C définis par : , et .

Vecteurs , et coplanaires
Propriété
Soit , et trois vecteurs de l'espace, avec et non colinéaires.
, et sont coplanaires il existe des réels a et b tels que .
Preuve

Appliquons la définition ci-dessus.

Soit O un point de l'espace et A, B et C les points définis par , et .
La condition de non colinéarité indique que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan P contenant les points O, A, B.

, et coplanaires le point C appartient au plan P.
il existe des réels a et b tels que .
il existe des réels a et b tels que .

Remarque
On dit que l'on a décomposé le vecteur en fonction des vecteurs et .
2. Décomposition en somme de trois vecteurs non coplanaires
Propriété
Soit , et trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que .
Preuve

Existence
On prend un point O de l'espace, puis on définit les points A, B, C et M par , , et .

Les vecteurs , et sont non coplanaires, les points O, A et B définissent donc un plan P et la la droite (OC) coupe ce plan en O.

La parallèle à (OC) passant par M coupe ce plan en M', il existe donc des réels a et b tels que . Or et sont colinéaires, il existe donc un réel c tel que .

On a donc .

Unicité du triplet
On va supposer qu'il existe des triplets (abc) et (d, e, f) de réels tels que .
Si a ≠ d, on a donc d'après la définition, les 3 vecteurs seraient coplanaires, ce qui est impossible. Donc a = d.

On montre de la même manière que b = e et que c = f.

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