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Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur

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Objectif

Savoir définir des vecteurs coplanaires.
Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.

1. Vecteurs coplanaires

Définition
Dire que les vecteurs

sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan) signifie que O est un point quelconque et que les points A, B et C sont définis par :

Illustration
Les vecteurs

sont coplanaires.

Propriété
Soient

trois vecteurs de l'espace, avec

non colinéaires.

sont coplanaires

il existe des réels a et b tels que

Preuve
Appliquons la définition ci-dessus, soient O un point de l'espace et A, B et C les points définis par

.
La condition de non colinéarité indique que les vecteurs

sont des vecteurs directeurs du plan P contenant les points OAB.

coplanaires

le point C appartient au plan P

il existe des réels a et b tels que

Remarque : on dit que l'on a décomposé le vecteur

en fonction des vecteurs

2. Décomposition en somme de trois vecteurs non coplanaires

Propriété
Soient

trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur

, il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que

Preuve
Existence : On prend un point O de l'espace, puis on définit les points A, B, C et M par

Les vecteurs

sont non coplanaires, les points O, A et B définissent donc un plan P et la la droite (OC) coupe ce plan en O.
La parallèle à (OC) passant par M coupe ce plan en M', il existe donc des réels a et b tels que :

, or

sont colinéaires, il existe donc un réel

tel que

.
On a donc

.

Unicité du triplet :
On va supposer qu'il existe des triplets (a, b, c) et (d, e, f) de réels tels que

.
Si a ≠ d, on a

donc d'après la définition, les 3 vecteurs seraient coplanaires, ce qui est impossible. Donc a = d.
On montre de la même manière que b = e et que c = f.

L'essentiel