Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur
Objectif
Savoir définir des vecteurs coplanaires.
Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.
Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.
1. Vecteurs coplanaires
Définition
Dire que les vecteurs
sont coplanaires
(c'est-à-dire appartiennent à un même
plan) signifie que O est un point quelconque et que les
points A, B et C sont définis par : 
.
IllustrationDire que les vecteurs
sont coplanaires
(c'est-à-dire appartiennent à un même
plan) signifie que O est un point quelconque et que les
points A, B et C sont définis par : . Les vecteurs
sont coplanaires.
Propriété
Soient
trois vecteurs de l'espace, avec
non colinéaires.
sont coplanaires 
il existe des réels a et b tels
que 
.
Soient
trois vecteurs de l'espace, avec
non colinéaires.sont coplanaires il existe des réels a et b tels
que .
Preuve
Appliquons la définition ci-dessus, soient O un point de l'espace et A, B et C les points définis par
.La condition de non colinéarité indique que les vecteurs
sont des vecteurs directeurs du
plan P contenant les points OAB.
coplanaires 
le
point C appartient au plan P
il existe des réels a et b tels que
il existe des réels a et b tels que
.
Remarque : on dit que l'on a
décomposé le vecteur 
en fonction des vecteurs
en fonction des vecteurs
2. Décomposition en somme de trois vecteurs non
coplanaires
Propriété
Soient
trois vecteurs non coplanaires
de l'espace. Pour tout vecteur 
, il existe un unique triplet de
réels (a ; b ; c) tel que 
.
Soient
trois vecteurs non coplanaires
de l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de
réels (a ; b ; c) tel que . Preuve
Existence : On prend un point O de l'espace, puis on définit les points A, B, C et M par
.
sont non coplanaires, les points
O, A et B définissent donc un plan P et la la droite
(OC) coupe ce plan en O.La parallèle à (OC) passant par M coupe ce plan en M', il existe donc des réels a et b tels que :
, or
et
sont
colinéaires, il existe donc un réel
tel que 
.On a donc
.Unicité du triplet :
On va supposer qu'il existe des triplets (a, b, c) et (d, e, f) de réels tels que
.Si a ≠ d, on a
donc d'après la définition, les 3
vecteurs seraient coplanaires, ce qui est impossible. Donc
a = d.On montre de la même manière que b = e et que c = f.
L'essentiel
coplanaires 
il
existe des réels a et b tels que 
.
Soient trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout
vecteur , il existe un unique triplet de réels (a
; b ; c) tel que .
trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout
vecteur , il existe un unique triplet de réels (a
; b ; c) tel que .
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