Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur

Objectif
Savoir définir des vecteurs coplanaires.
Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.
1. Vecteurs coplanaires
Définition
Dire que les vecteurs sont coplanaires (c'est-à-dire appartiennent à un même plan) signifie que O est un point quelconque et que les points A, B et C sont définis par : .
Illustration
Les vecteurs sont coplanaires.

Propriété
Soient trois vecteurs de l'espace, avec non colinéaires.
sont coplanaires il existe des réels a et b tels que .

Preuve
Appliquons la définition ci-dessus, soient O un point de l'espace et A, B et C les points définis par .
La condition de non colinéarité indique que les vecteurs sont des vecteurs directeurs du plan P contenant les points OAB.
coplanaires le point C appartient au plan P
il existe des réels a et b tels que
il existe des réels a et b tels que .

Remarque : on dit que l'on a décomposé le vecteur en fonction des vecteurs

2. Décomposition en somme de trois vecteurs non coplanaires
Propriété
Soient trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que .

Preuve

Existence : On prend un point O de l'espace, puis on définit les points A, B, C et M par .
Les vecteurs sont non coplanaires, les points O, A et B définissent donc un plan P et la la droite (OC) coupe ce plan en O.
La parallèle à (OC) passant par M coupe ce plan en M', il existe donc des réels a et b tels que : , or et sont colinéaires, il existe donc un réel tel que .
On a donc  .

Unicité du triplet :
On va supposer qu'il existe des triplets (a, b, c) et (d, e, f) de réels tels que .
Si a ≠ d, on a donc d'après la définition, les 3 vecteurs seraient coplanaires, ce qui est impossible. Donc a = d.
On montre de la même manière que b = e et que c = f.
L'essentiel
coplanaires il existe des réels a et b tels que .
Soient trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que .

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