Vecteurs coplanaires et décomposition d'un vecteur
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- Savoir définir des vecteurs coplanaires.
- Savoir décomposer un vecteur en somme de 3 vecteurs non coplanaires.
- Les vecteurs , et sont coplanaires
(c'est-à-dire appartiennent à un même
plan) s'il existe 4 points O, A, B, C d'un même plan tels que
O est un point
quelconque et que les points A, B et C définis par :
, et .
- Soit , et trois vecteurs de l'espace, avec
et non colinéaires.
, et sont coplanaires il existe des réels a et b tels que . - Soit , et trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que .
- Connaitre la notion de vecteur.
- Calculer un vecteur multiplié par un réel.
Vecteurs , et coplanaires
Soit , et trois vecteurs de l'espace, avec et non colinéaires.
, et sont coplanaires il existe des réels a et b tels que .
Appliquons la définition ci-dessus.
Soit O un point de
l'espace et A,
B et C les points définis par
, et .
La condition de non colinéarité indique que
les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du
plan P contenant les
points O,
A, B.
, et coplanaires le point C appartient au plan P.
il existe des réels
a et
b tels que
.
il existe des réels
a et
b tels que
.
On dit que l'on a décomposé le vecteur en fonction des vecteurs et .
Soit , et trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Pour tout vecteur , il existe un unique triplet de réels (a ; b ; c) tel que .
Existence
On prend un point O de l'espace, puis on
définit les points A, B, C et M par , , et .
Les vecteurs , et sont non coplanaires, les points O, A et B définissent donc un plan P et la la droite (OC) coupe ce plan en O.
La parallèle à (OC) passant par M coupe ce plan en M', il existe donc des réels a et b tels que . Or et sont colinéaires, il existe donc un réel c tel que .
On a donc .
Unicité du triplet
On va supposer qu'il existe des triplets (a, b, c) et (d, e, f) de réels tels
que .
Si a ≠ d,
on a donc d'après la
définition, les 3 vecteurs seraient
coplanaires, ce qui est impossible. Donc a = d.
On montre de la même manière que b = e et que c = f.
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