Le produit scalaire dans l'espace - Maxicours

Le produit scalaire dans l'espace

Objectif

Savoir calculer un produit scalaire dans l’espace dans différentes situations.

Points clés
  • Si et sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois points tels que et , alors .
  • Si ou alors .
  • Si H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA), alors .
    Et  si et sont de même sens ;
     si et sont de sens contraires.
  • Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : .
  • La norme du vecteur est le nombre défini par : .
  • Pour tous vecteurs et et de l’espace, on a :
  • Formules de polarisation :

Pour bien comprendre
  • Connaitre les propriétés du produit scalaire dans le plan.
  • Connaitre les coordonnées d’un point dans un repère, d’un vecteur dans une base.
  • Calculer un produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs.
  • Connaitre la relation de Chasles pour les vecteurs.
1. Définitions
a. Produit scalaire de vecteurs de l'espace

Si et sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois points tels que et  , alors il existe toujours un plan P contenant ces trois points.

Le produit scalaire de et est égal au produit scalaire dans le plan P.

Donc .

Remarque
Si ou alors .
Exemple
ABCD est un tétraèdre tel que AD = 4, AC 5 et  = 60 °.
On a .
Propriété
Soit et deux vecteurs de l’espace et O, A, B trois points de l’espace tels que et .
Soit H le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA).
On a .
si et sont de même sens.
Et  si et sont de sens contraires.
Remarque
Cette propriété est valable à la fois dans le plan (voir le cours « Produit scalaire dans le plan ») et dans l’espace.
Exemple
Soit ABCDEFGH le cube de côté 7 ci-dessous.

car B est le projeté orthogonal du point F sur la droite (AB).

b. Vecteurs orthogonaux
Comme dans le plan, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : .
Remarque
Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
c. Norme d'un vecteur
Comme dans le plan, la norme du vecteur  est le nombre défini par : .
2. Règles de calcul

Les propriétés de bilinéarité et symétrie du produit scalaire vues dans le plan restent valables dans l'espace.

Propriétés : Bilinéarité et symétrie du produit scalaire
Quels que soient les vecteurs , et et quel que soit le réel k :
Démonstrations
  1. Deux vecteurs et de l’espace sont toujours coplanaires, donc les propriétés du produit scalaire vues dans le plan restent valables. Ainsi.
  2. De même qu’à la propriété 1, cette propriété du produit scalaire dans le plan reste valable dans l’espace : .
  3. Trois vecteurs de l’espace ne sont pas nécessairement coplanaires, donc on ne peut pas utiliser le même argument qu’aux propriétés 1 et 2. On va utiliser l’expression du produit scalaire avec les coordonnées. Soit , et .
    Alors et .
    Donc .
    D’autre part, .
    D’où

    On peut donc en conclure que .
Exemple
Soit et deux vecteurs de l’espace tels que .
Alors .
Application : Décomposer un vecteur avec la relation de Chasles pour calculer un produit scalaire

Dans le cube ABCDEFGH ci-dessus de côté 4, calculons le produit scalaire   où I est le milieu du segment [AE].
On décompose le vecteur avec la relation de Chasles et en utilisant le sommet E du cube : .
Ainsi,   d’après la propriété 3 précédente.
Or les vecteurs et sont orthogonaux, donc .
D’autre part , car B est le projeté orthogonal de C sur (AB). Ainsi .
On en conclut que .

3. Formules de polarisation
Propriété
Pour tous vecteurs et de l’espace, on a : .
Démonstration



Propriétés : Formules de polarisation
Pour tous vecteurs et de l’espace, on a :
  1. .
  2. .
Démonstrations
  1. D’après la propriété précédente, .
    D’où , soit
  2. , d'où :

    car les vecteurs et sont opposés, donc ils ont la même norme. Ainsi :



    Conclusion : .

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