Le produit scalaire dans l'espace
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Savoir calculer un produit scalaire dans l’espace dans différentes situations.
- Si
et 
sont deux vecteurs de l'espace et
O, A et B trois points tels que
et 
, alors 
.
- Si
ou 
alors 
.
- Si H est le
projeté orthogonal du point B sur la
droite (OA),
alors
.
Et
si 
et 
sont de même
sens ;
si 
et 
sont de sens contraires.
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur
produit scalaire est nul :
.
- La norme du vecteur est le nombre
défini par :
.
- Pour tous vecteurs et et de l’espace, on a :
- Formules de polarisation :
- Connaitre les propriétés du produit scalaire dans le plan.
- Connaitre les coordonnées d’un point dans un repère, d’un vecteur dans une base.
- Calculer un produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs.
- Connaitre la relation de Chasles pour les vecteurs.
Si et sont deux vecteurs de
l'espace et O,
A et B trois points tels que
et , alors il existe
toujours un plan P contenant ces trois
points.
Le produit scalaire de et est égal au produit
scalaire 
dans le plan
P.
Donc .
Si
ou alors .
ABCD est un tétraèdre tel que AD = 4, AC = 5 et
= 60 °.
.
Soit
et deux vecteurs de l’espace
et O, A, B trois points de
l’espace tels que et .Soit H le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA).
On a
.
si et sont de même sens.
si et sont de sens contraires.
Cette propriété est valable à la fois dans le plan (voir le cours « Produit scalaire dans le plan ») et dans l’espace.
Soit ABCDEFGH le cube de côté 7 ci-dessous.
car B est le projeté
orthogonal du point F sur la
droite (AB).
.
Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.
est le nombre défini par :
.
Les propriétés de bilinéarité et symétrie du produit scalaire vues dans le plan restent valables dans l'espace.
Quels que soient les vecteurs
, et 
et quel que soit le
réel k :
- Deux vecteurs et de l’espace sont toujours
coplanaires, donc les propriétés du
produit scalaire vues dans le plan restent valables.
Ainsi
.
- De même qu’à la
propriété 1, cette propriété
du produit scalaire dans le plan reste valable dans
l’espace :
.
- Trois vecteurs de l’espace ne sont pas
nécessairement coplanaires, donc on ne peut pas
utiliser le même argument qu’aux
propriétés 1 et 2. On va utiliser
l’expression du produit scalaire avec les
coordonnées. Soit
, 
et 
.
Alors
et 
.
Donc
.
D’autre part,
.
D’où
On peut donc en conclure que
.
Soit
et deux vecteurs de l’espace
tels que 
.Alors
.
Dans le cube ABCDEFGH
ci-dessus de côté 4, calculons le
produit scalaire 
où I est le milieu du
segment [AE].
On décompose le vecteur 
avec la relation de Chasles et en
utilisant le sommet E du cube : 
.
Ainsi, 
d’après la
propriété 3
précédente.
Or les vecteurs 
et 
sont orthogonaux, donc
.
D’autre part 
, car B est le projeté
orthogonal de C
sur (AB). Ainsi
.
On en conclut que 
.
Pour tous vecteurs
et de l’espace, on a :
.
Pour tous vecteurs
et de l’espace, on a :
-
.
-
.
- D’après la propriété
précédente,
.
D’où
, soit 
-
, d'où :
car les vecteurs et sont opposés, donc ils
ont la même norme. Ainsi :
Conclusion :.
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