Lycée > Terminale > Mathématiques > Le produit scalaire dans l'espace

Le produit scalaire dans l'espace

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger le pdf

Fiche de cours Quiz Profs en ligne Vidéos Télécharger
le pdf

Objectif

Savoir calculer un produit scalaire dans l’espace dans différentes situations.

Points clés

Si et sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois points tels que et , alors .
Si ou alors .
Si H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA), alors .
Et si et sont de même sens ;
si et sont de sens contraires.
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : .
La norme du vecteur est le nombre défini par : .
Pour tous vecteurs et et de l’espace, on a :
Formules de polarisation :

Pour bien comprendre

Connaitre les propriétés du produit scalaire dans le plan.
Connaitre les coordonnées d’un point dans un repère, d’un vecteur dans une base.
Calculer un produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs.
Connaitre la relation de Chasles pour les vecteurs.

1. Définitions

a. Produit scalaire de vecteurs de l'espace

Si et sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois points tels que et , alors il existe toujours un plan P contenant ces trois points.

Le produit scalaire de et est égal au produit scalaire dans le plan P.

Donc .

Remarque
Si

alors

Exemple
ABCD est un tétraèdre tel que AD = 4, AC = 5 et

= 60 °.

On a

Propriété
Soit

deux vecteurs de l’espace et O, A, B trois points de l’espace tels que

.
Soit H le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA).
On a

sont de même sens.

sont de sens contraires.

Remarque
Cette propriété est valable à la fois dans le plan (voir le cours « Produit scalaire dans le plan ») et dans l’espace.

Exemple
Soit ABCDEFGH le cube de côté 7 ci-dessous.

car B est le projeté orthogonal du point F sur la droite (AB).

b. Vecteurs orthogonaux

Comme dans le plan, deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

Remarque
Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.

c. Norme d'un vecteur

Comme dans le plan, la norme du vecteur

est le nombre

défini par :

2. Règles de calcul

Les propriétés de bilinéarité et symétrie du produit scalaire vues dans le plan restent valables dans l'espace.

Propriétés : Bilinéarité et symétrie du produit scalaire
Quels que soient les vecteurs

et quel que soit le réel k :

Démonstrations

Deux vecteurs et de l’espace sont toujours coplanaires, donc les propriétés du produit scalaire vues dans le plan restent valables. Ainsi.
De même qu’à la propriété 1, cette propriété du produit scalaire dans le plan reste valable dans l’espace : .
Trois vecteurs de l’espace ne sont pas nécessairement coplanaires, donc on ne peut pas utiliser le même argument qu’aux propriétés 1 et 2. On va utiliser l’expression du produit scalaire avec les coordonnées. Soit , et .
Alors et .
Donc .
D’autre part, .
D’où

On peut donc en conclure que .

Exemple
Soit

deux vecteurs de l’espace tels que

.
Alors

Application : Décomposer un vecteur avec la relation de Chasles pour calculer un produit scalaire

Dans le cube ABCDEFGH ci-dessus de côté 4, calculons le produit scalaire où I est le milieu du segment [AE].
On décompose le vecteur avec la relation de Chasles et en utilisant le sommet E du cube : .
Ainsi, d’après la propriété 3 précédente.
Or les vecteurs et sont orthogonaux, donc .
D’autre part , car B est le projeté orthogonal de C sur (AB). Ainsi .
On en conclut que .