Le produit scalaire dans l'espace
Savoir calculer un produit scalaire dans l’espace dans différentes situations.
- Si
et
sont deux vecteurs de l'espace et O, A et B trois points tels que
et
, alors
.
- Si
ou
alors
.
- Si H est le
projeté orthogonal du point B sur la
droite (OA),
alors
.
Etsi
et
sont de même sens ;
si
et
sont de sens contraires.
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur
produit scalaire est nul :
.
- La norme du vecteur
est le nombre
défini par :
.
- Pour tous vecteurs
et
et de l’espace, on a :
- Formules de polarisation :
- Connaitre les propriétés du produit scalaire dans le plan.
- Connaitre les coordonnées d’un point dans un repère, d’un vecteur dans une base.
- Calculer un produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs.
- Connaitre la relation de Chasles pour les vecteurs.
Si et
sont deux vecteurs de
l'espace et O,
A et B trois points tels que
et
, alors il existe
toujours un plan P contenant ces trois
points.
Le produit scalaire de et
est égal au produit
scalaire
dans le plan
P.
Donc .
Si



ABCD est un tétraèdre tel que AD = 4, AC = 5 et



Soit




Soit H le projeté orthogonal du point B sur la droite (OA).
On a









Cette propriété est valable à la fois dans le plan (voir le cours « Produit scalaire dans le plan ») et dans l’espace.
Soit ABCDEFGH le cube de côté 7 ci-dessous.

car B est le projeté
orthogonal du point F sur la
droite (AB).

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l'espace.



Les propriétés de bilinéarité et symétrie du produit scalaire vues dans le plan restent valables dans l'espace.
Quels que soient les vecteurs



- Deux vecteurs
et
de l’espace sont toujours coplanaires, donc les propriétés du produit scalaire vues dans le plan restent valables. Ainsi
.
- De même qu’à la
propriété 1, cette propriété
du produit scalaire dans le plan reste valable dans
l’espace :
.
- Trois vecteurs de l’espace ne sont pas
nécessairement coplanaires, donc on ne peut pas
utiliser le même argument qu’aux
propriétés 1 et 2. On va utiliser
l’expression du produit scalaire avec les
coordonnées. Soit
,
et
.
Alorset
.
Donc.
D’autre part,.
D’où
On peut donc en conclure que.
Soit



Alors


Dans le cube ABCDEFGH
ci-dessus de côté 4, calculons le
produit scalaire où I est le milieu du
segment [AE].
On décompose le vecteur avec la relation de Chasles et en
utilisant le sommet E du cube :
.
Ainsi, d’après la
propriété 3
précédente.
Or les vecteurs et
sont orthogonaux, donc
.
D’autre part , car B est le projeté
orthogonal de C
sur (AB). Ainsi
.
On en conclut que .
Pour tous vecteurs



Pour tous vecteurs


-
.
-
.
- D’après la propriété
précédente,
.
D’où, soit
-
, d'où :
car les vecteurset
sont opposés, donc ils ont la même norme. Ainsi :
Conclusion :.

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