L'orthogonalité de deux droites, d'un plan et d'une droite
Objectif
Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.
Points clés
- Soit (d) une
droite de vecteur directeur
et (d’) une droite de vecteur directeur
. Les droites (d) et (d’) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs
et
sont orthogonaux. Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires.
- Deux droites (d) et (d’) de vecteurs
directeurs respectifs
et
sont orthogonales si et seulement si
.
- Deux droites (d) et (d’) sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
- Soit une droite (d) de vecteur directeur
et un plan P. La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur
est orthogonal à tous les vecteurs du plan P.
- Soit une droite (d) de vecteur directeur
et un plan P. Si
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, alors (d) est orthogonale au plan P.
- Une droite (d) est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
- Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
- Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
- Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
Pour bien comprendre
- Calculer un produit scalaire.
- Connaitre la notion de vecteurs directeurs d’une droite, d’un plan.
En géométrie plane,
« orthogonal » signifie
« perpendiculaire ».
En géométrie dans l'espace, le terme
« perpendiculaire » est
réservé aux droites orthogonales et
sécantes.
1. Droites orthogonales
Soit (d) une
droite de vecteur directeur
et (d’) une droite de
vecteur directeur
.
Les droites (d) et (d’) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs
et
sont orthogonaux.
Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires.


Les droites (d) et (d’) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs


Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires.
Exemple
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-dessous.
Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car les
vecteurs
et
sont orthogonaux.
Les droites (DH) et (DC) sont perpendiculaires car elles sont coplanaires dans le plan (DHC) et orthogonales.
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-dessous.



Les droites (DH) et (DC) sont perpendiculaires car elles sont coplanaires dans le plan (DHC) et orthogonales.
Propriétés
- Deux droites (d) et (d’) de vecteurs
directeurs respectifs
et
sont orthogonales si et seulement si
.
- Deux droites (d) et (d’) sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
2. Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Soit une droite (d) de vecteur directeur
et un plan P.
La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur
est orthogonal à tous les
vecteurs du plan P.

La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur

Propriété
Soit une droite (d) de vecteur directeur
et un plan P.
Si
est orthogonal à
deux vecteurs non colinéaires du
plan P,
alors (d) est
orthogonale au plan P.
Soit une droite (d) de vecteur directeur

Si

Exemple
Dans le cube ABCDEFGH, on a :
• (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont les diagonales d'un carré donc
et
sont orthogonaux.
•
;
et
sont orthogonaux (car
BDHF est un
rectangle), donc
et
sont orthogonaux.
• Les vecteurs
et
sont deux vecteurs non
colinéaires du plan (AEC). Donc la droite
(BD) est orthogonale
au plan (AEC).

• (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont les diagonales d'un carré donc


•





• Les vecteurs


Propriété
Une droite (d) est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
Une droite (d) est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
Propriétés (admises)
- Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
- Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
- Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.

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