L'orthogonalité de deux droites, d'un plan et d'une droite
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Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité.
- Soit (d) une
droite de vecteur directeur
et (d’) une droite de vecteur
directeur 
. Les droites (d) et (d’) sont orthogonales si
leurs vecteurs directeurs et sont orthogonaux. Les droites
(d) et
(d’) sont
perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires.
- Deux droites (d) et (d’) de vecteurs
directeurs respectifs et sont orthogonales si et seulement
si
.
- Deux droites (d) et (d’) sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
- Soit une droite (d) de vecteur directeur
et un plan P. La droite (d) est orthogonale au plan
P si le vecteur
est orthogonal à tous les
vecteurs du plan P.
- Soit une droite (d) de vecteur directeur
et un plan P. Si est orthogonal à deux
vecteurs non colinéaires du plan P, alors (d) est orthogonale au plan
P.
- Une droite (d) est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
- Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
- Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
- Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
- Calculer un produit scalaire.
- Connaitre la notion de vecteurs directeurs d’une droite, d’un plan.
En géométrie plane,
« orthogonal » signifie
« perpendiculaire ».
En géométrie dans l'espace, le terme
« perpendiculaire » est
réservé aux droites orthogonales et
sécantes.
et (d’) une droite de
vecteur directeur .Les droites (d) et (d’) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs
et sont orthogonaux.Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et coplanaires.
On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH ci-dessous.
et 
sont orthogonaux.Les droites (DH) et (DC) sont perpendiculaires car elles sont coplanaires dans le plan (DHC) et orthogonales.
- Deux droites (d) et (d’) de vecteurs
directeurs respectifs et sont orthogonales
si et seulement si
.
- Deux droites (d) et (d’) sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
et un plan P.La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur
est orthogonal à tous les
vecteurs du plan P.
Soit une droite (d) de vecteur directeur
et un plan P.Si
est orthogonal à
deux vecteurs non colinéaires du
plan P,
alors (d) est
orthogonale au plan P.
• (BD) perpendiculaire à (AC) car ce sont les diagonales d'un carré donc
et 
sont orthogonaux.•
; et 
sont orthogonaux (car
BDHF est un
rectangle), donc et 
sont orthogonaux.• Les vecteurs
et sont deux vecteurs non
colinéaires du plan (AEC). Donc la droite
(BD) est orthogonale
au plan (AEC).
Une droite (d) est orthogonale à un plan P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.
- Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
- Si deux droites sont parallèles entre elles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
- Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles entre eux.
- Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
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