Le produit scalaire dans le plan
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- Connaitre les définitions du produit scalaire en fonction de la colinéarité des vecteurs.
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux.
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur.
- Savoir utiliser les propriétés associées.
- Si
et 
sont colinéaires et de
même sens, alors 
.
- Si
et 
sont colinéaires et de sens
contraires, alors 
.
- Le produit scalaire des vecteurs
et 
est le nombre tel que :
- si
ou 
alors 
;
- si
et 
alors 
.
- si
- Les vecteurs
et 
sont dits « orthogonaux
» :
- si ou ;
- ou si et ont des directions
perpendiculaires.
- si
-
et sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est
nul :
- Le carré scalaire du vecteur
, noté 
est le produit scalaire du
vecteur 
par
lui-même, 
.
- La norme du vecteur
notée 
est le nombre tel que
.
- Si dans un repère orthonormal (où les
vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le
vecteur
a pour coordonnées le couple
(x ; y) et le
vecteur 
, le couple (x' ; y'),
alors 
= xx' + yy'.
et est noté 
.
et sont colinéaires et de
même sens, alors .
et sont colinéaires et de
sens contraires, alors .
et 
sont non-colinéaires et
si H est le
projeté orthogonal de C sur (AB), alors 
donc :• Si H ∈ [AB) alors
. 
• Si H ∉ [AB) alors
. 
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6.
H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et AH = 3.
car H ∉ [AB), donc 
= (–6) × 3 = –18.
Si on utilise le cosinus de l'angle
, les définitions ci-dessus
se traduisent par : « quels que soient
A, B et C, 
. »
et est le nombre tel que :• si
ou alors ;• si
et alors .
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D ∈ (BC) et CD = 1.
donc 
et 
sont dits
« orthogonaux » …
- si ou ;
- ou si et ont des directions
perpendiculaires.
et 
sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est nul :
.
, noté 
est le produit scalaire du
vecteur 
par lui-même,
.La norme du vecteur
notée 
est le nombre tel que : 
.Si
alors 
.
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
et 
.
et 
sont orthogonaux donc 
.Les normes des vecteurs sont :
et 
.
Quels que soient les vecteurs
, 
et 
et le nombre a :
Quels que soient O, A, B et C :
Quels que soient
et 
:
Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Si
= 3, 
= 2, 
= –4
alors 
=
–3.En effet, on a :
= 
= 
= 9 – 4 – 8 = 3
a pour
coordonnées le couple (x ; y) et le vecteur 
,
le couple (x' ; y'),
alors 
= xx' + yy'
Si dans un repère orthonormal,
et 
alors 
= –11.En effet, on a :
= (–2) × 5 + 1 × (–1) = –10 – 1 = –11
Si dans un repère orthonormal,
et 
alors ABC est un triangle rectangle et
isocèle.En effet,
donc 
et 
sont orthogonaux et le triangle
ABC est rectangle
en A.
et 
Donc AB = AC = 
et le triangle ABC
est isocèle en A.
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