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Le produit scalaire dans le plan

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Objectifs
  • Connaitre les définitions du produit scalaire en fonction de la colinéarité des vecteurs.
  • Savoir identifier des vecteurs orthogonaux.
  • Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur.
  • Savoir utiliser les propriétés associées.
Points clés
  • Si et sont colinéaires et de même sens, alors .
  • Si et sont colinéaires et de sens contraires, alors .
  • Le produit scalaire des vecteurs et est le nombre tel que :
    • si ou alors ;
    • si et alors .
  • Les vecteurs et  sont dits « orthogonaux » :
    • si ou ;
    • ou si et  ont des directions perpendiculaires.
  • et  sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : 
  • Le carré scalaire du vecteur , noté  est le produit scalaire du vecteur  par lui-même, .
  • La norme du vecteur  notée  est le nombre tel que .
  • Si dans un repère orthonormal (où les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le vecteur  a pour coordonnées le couple (x ; y) et le vecteur , le couple (x' ; y'), alors = xx' + yy'.
1. Définitions
Le produit scalaire des vecteurs et est noté .
Vecteurs colinéaires
Si et sont colinéaires et de même sens, alors .

Si et sont colinéaires et de sens contraires, alors .

Vecteurs non-colinéaires
Si et sont non-colinéaires et si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors donc :

• Si H ∈ [AB) alors .

• Si H ∉ [AB) alors .
Exemple
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6.
H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et AH = 3.
car H ∉ [AB), donc  = (–6) × 3 = –18.
 
Remarque
Si on utilise le cosinus de l'angle , les définitions ci-dessus se traduisent par : « quels que soient A, B et C, . »
Formule générale
Le produit scalaire des vecteurs et est le nombre tel que :
• si ou alors ;
• si et alors .
Exemple
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D ∈ (BC) et CD = 1.

donc

2. Vecteurs orthogonaux
Les vecteurs  et  sont dits « orthogonaux » …
  • si ou  ;
  • ou si et  ont des directions perpendiculaires.

Théorème
et  sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : .
3. Carré scalaire et norme d'un vecteur
Le carré scalaire du vecteur , noté est le produit scalaire du vecteur par lui-même, .
La norme du vecteur notée est le nombre tel que : .
Si alors .
Exemple
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2, et .
 et  sont orthogonaux donc .
Les normes des vecteurs sont :  et .
4. Propriétés associées
Formules
Quels que soient les vecteurs , et et le nombre a :
Exemple
Quels que soient O, A, B et C :
Conséquences
Quels que soient  et  :


Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Exemple
Si   = 3,   = 2,  = –4 alors  = –3.
En effet, on a :
 = 
 =  = 9 – 4 – 8 = 3
Si dans un repère orthonormal (où les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le vecteur a pour coordonnées le couple (x ; y) et le vecteur , le couple (x' ; y'), alors  = xx' + yy'
Exemple 1
Si dans un repère orthonormal, et alors  = –11.
En effet, on a :  = (–2) × 5 + 1 × (–1) = –10 – 1 = –11
Exemple 2
Si dans un repère orthonormal, et alors ABC est un triangle rectangle et isocèle.
En effet, donc et sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A.
et

Donc AB = AC =  et le triangle ABC est isocèle en A.

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