Le produit scalaire dans le plan
Objectifs
- Connaitre les définitions du produit scalaire en fonction de la colinéarité des vecteurs.
- Savoir identifier des vecteurs orthogonaux.
- Comprendre le carré scalaire et la norme d'un vecteur.
- Savoir utiliser les propriétés associées.
Points clés
- Si
et 
sont colinéaires et de
même sens, alors 
.
- Si
et 
sont colinéaires et de sens
contraires, alors 
.
- Le produit scalaire des vecteurs
et 
est le nombre tel que :
- si
ou 
alors 
;
- si
et 
alors 
.
- si
- Les vecteurs
et 
sont dits « orthogonaux
» :
- si ou ;
- ou si et ont des directions
perpendiculaires.
- si
-
et sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est
nul :
- Le carré scalaire du vecteur
, noté 
est le produit scalaire du
vecteur 
par
lui-même, 
.
- La norme du vecteur
notée 
est le nombre tel que
.
- Si dans un repère orthonormal (où les
vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1), le
vecteur
a pour coordonnées le couple
(x ; y) et le
vecteur 
, le couple (x' ; y'),
alors 
= xx' + yy'.
1. Définitions
Le produit scalaire des vecteurs et est noté 
.
et est noté .
Vecteurs colinéaires
Si et sont colinéaires et de
même sens, alors .
et sont colinéaires et de
même sens, alors .
Si et sont colinéaires et de
sens contraires, alors .
et sont colinéaires et de
sens contraires, alors .
Vecteurs non-colinéaires
Si 
et 
sont non-colinéaires et
si H est le
projeté orthogonal de C sur (AB), alors 
donc :
• Si H ∈ [AB) alors
. 
• Si H ∉ [AB) alors
. 
et sont non-colinéaires et
si H est le
projeté orthogonal de C sur (AB), alors donc :• Si H ∈ [AB) alors
. • Si H ∉ [AB) alors
.
Exemple
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6.
H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et AH = 3.
car H ∉ [AB), donc 
= (–6) × 3 = –18.
Le triangle ABC est tel que AC = 5 et AB = 6.
H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et AH = 3.
car H ∉ [AB), donc = (–6) × 3 = –18.
Remarque
Si on utilise le cosinus de l'angle
, les définitions ci-dessus
se traduisent par : « quels que soient
A, B et C, 
. »
Si on utilise le cosinus de l'angle
, les définitions ci-dessus
se traduisent par : « quels que soient
A, B et C, . »
Formule générale
Le produit scalaire des vecteurs et est le nombre tel que :
• si ou alors ;
• si et alors .
et est le nombre tel que :• si
ou alors ;• si
et alors .
Exemple
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D ∈ (BC) et CD = 1.
donc 
ABC est un triangle équilatéral de côté 1, D ∈ (BC) et CD = 1.
donc
2. Vecteurs orthogonaux
Les vecteurs 
et 
sont dits
« orthogonaux » …
et sont dits
« orthogonaux » …
- si ou ;
- ou si et ont des directions
perpendiculaires.
Théorème
et 
sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est nul :
.
et sont orthogonaux si et
seulement si leur produit scalaire est nul :
.
3. Carré scalaire et norme d'un vecteur
Le carré scalaire du vecteur 
, noté 
est le produit scalaire du
vecteur 
par lui-même,
.
La norme du vecteur
notée 
est le nombre tel que : 
.
Si
alors 
.
, noté est le produit scalaire du
vecteur par lui-même,
.La norme du vecteur
notée
est le nombre tel que : .Si
alors .
Exemple
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
et 
.
et 
sont orthogonaux donc 
.
Les normes des vecteurs sont :
et 
.
(OI) et (OJ) sont deux droites perpendiculaires. OI = 1, OJ = 2,
et . et sont orthogonaux donc .Les normes des vecteurs sont :
et .
4. Propriétés associées
Formules
Quels que soient les vecteurs
, 
et 
et le nombre a :
Quels que soient les vecteurs
, et et le nombre a :
Exemple
Quels que soient O, A, B et C :
Quels que soient O, A, B et C :
Conséquences
Quels que soient
et 
:
Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Quels que soient
et :Les techniques de calcul concernant le produit scalaire sont les mêmes que celles de l'addition et la multiplication dans l'ensemble des nombres réels.
Exemple
Si
= 3, 
= 2, 
= –4
alors 
=
–3.
En effet, on a :
= 
= 
= 9 – 4 – 8 = 3
Si
= 3, = 2, = –4
alors =
–3.En effet, on a :
= = = 9 – 4 – 8 = 3
Si dans un repère orthonormal (où
les vecteurs de base sont orthogonaux et de
norme 1), le vecteur 
a pour
coordonnées le couple (x ; y) et le vecteur 
,
le couple (x' ; y'),
alors 
= xx' + yy'
a pour
coordonnées le couple (x ; y) et le vecteur ,
le couple (x' ; y'),
alors = xx' + yy'
Exemple 1
Si dans un repère orthonormal,
et 
alors 
= –11.
En effet, on a :
= (–2) × 5 + 1 × (–1) = –10 – 1 = –11
Si dans un repère orthonormal,
et alors = –11.En effet, on a :
= (–2) × 5 + 1 × (–1) = –10 – 1 = –11
Exemple 2
Si dans un repère orthonormal,
et 
alors ABC est un triangle rectangle et
isocèle.
En effet,
donc 
et 
sont orthogonaux et le triangle
ABC est rectangle
en A.
et 
Si dans un repère orthonormal,
et alors ABC est un triangle rectangle et
isocèle.En effet,
donc et sont orthogonaux et le triangle
ABC est rectangle
en A. et
Donc AB = AC = 
et le triangle ABC
est isocèle en A.
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