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Droites de l'espace : vecteurs directeurs d'une droite, vecteurs colinéaires

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Objectifs
  • Reconnaitre des vecteurs colinéaires dans l’espace.
  • Identifier des vecteurs directeurs d’une droite de l’espace.
Points clés
  • On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu’il existe un réel k tel que : .
  • Soit d une droite de l’espace, A et B deux points de d. Alors le vecteur  est un vecteur directeur de la droite d. Tous les vecteurs non nuls colinéaires à sont aussi des vecteurs directeurs de d.
  • La droite d passant par A et de vecteur directeur est l'ensemble des points M du plan tels que et soient colinéaires.
Pour bien comprendre

La relation de Chasles

1. Vecteurs colinéaires de l'espace
On dit que deux vecteurs et sont colinéaires lorsqu’il existe un réel k tel que : .
Exemple
Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [AE].


Les vecteurs et sont colinéaires car .

2. Vecteurs directeurs d'une droite de l'espace
Soit d une droite de l’espace, A et B deux points de d. Alors le vecteur est un vecteur directeur de la droite d.

Remarques :
  • Tous les vecteurs non nuls colinéaires à sont aussi des vecteurs directeurs de d : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
  • Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Exemple
Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [AE].

Le vecteur est un vecteur directeur de la droite (CG).
Le vecteur est un autre vecteur directeur de la droite (CG) car il est colinéaire au vecteur .
Propriété : Caractérisation vectorielle d’une droite
La droite d passant par A et de vecteur directeur est l'ensemble des points M du plan tels que   et soient colinéaires.
Application : Démontrer qu’un point appartient à une droite.

Dans le cube ABCDEFGH, on construit le point J tel que :

Démontrons que le point J appartient à la droite (AG).

La droite (AG) passe par le point A et a pour vecteur directeur le vecteur .
Ainsi le point J appartient à la droite (AG) si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
On va donc démontrer qu’il existe un réel k tel que .

On utilise l’égalité et on la transforme à l’aide de la relation de Chasles :



Ainsi les vecteurs et sont colinéaires.
Donc le point J appartient à la droite (AG).

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