Droites de l'espace : vecteurs directeurs d'une droite, vecteurs colinéaires
- Reconnaitre des vecteurs colinéaires dans l’espace.
- Identifier des vecteurs directeurs d’une droite de l’espace.
- On dit que deux vecteurs
et
sont colinéaires lorsqu’il existe un réel k tel que :
.
- Soit d une
droite de l’espace, A et
B deux points de d. Alors le
vecteur
est un vecteur directeur de la droite d. Tous les vecteurs non nuls colinéaires à
sont aussi des vecteurs directeurs de d.
- La droite d
passant par A et de
vecteur directeur
est l'ensemble des points M du plan tels que
et
soient colinéaires.
La relation de Chasles



Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [AE].
Les vecteurs et
sont
colinéaires car
.

- Tous les vecteurs non nuls colinéaires
à
sont aussi des vecteurs directeurs de d : il existe donc une infinité de vecteurs directeurs d'une droite, tous colinéaires entre eux.
- Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [AE].

Le vecteur

Le vecteur


La droite d passant par A et de vecteur directeur



Dans le cube ABCDEFGH, on construit le point
J tel
que :
Démontrons que le point J appartient à la droite
(AG).
La droite (AG) passe
par le point A et a
pour vecteur directeur le vecteur .
Ainsi le point J
appartient à la droite (AG) si et seulement si les
vecteurs et
sont
colinéaires.
On va donc démontrer qu’il existe un
réel k
tel que .
On utilise l’égalité et on la transforme
à l’aide de la relation de Chasles :
Ainsi les vecteurs et
sont
colinéaires.
Donc le point J
appartient à la droite (AG).

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