Droites de l'espace : vecteurs directeurs d'une droite, vecteurs colinéaires
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- Reconnaitre des vecteurs colinéaires dans l’espace.
- Identifier des vecteurs directeurs d’une droite de l’espace.
- On dit que deux vecteurs
et 
sont
colinéaires lorsqu’il existe un
réel k
tel que : 
.
- Soit d une
droite de l’espace, A et
B deux points de d. Alors le
vecteur
est un vecteur
directeur de la droite d. Tous les vecteurs non
nuls colinéaires à 
sont aussi des vecteurs
directeurs de d.
- La droite d
passant par A et de
vecteur directeur
est l'ensemble des points
M du plan tels que
et 
soient colinéaires.
La relation de Chasles
et 
sont
colinéaires lorsqu’il existe un
réel k
tel que : 
.
Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [AE].
Les vecteurs 
et 
sont
colinéaires car 
.
est un vecteur
directeur de la droite d.
- Tous les vecteurs non nuls colinéaires
à
sont aussi des
vecteurs directeurs de d : il
existe donc une infinité de vecteurs
directeurs d'une droite, tous colinéaires
entre eux.
- Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.
Dans le cube ABCDEFGH, I est le milieu de [AE].
Le vecteur
est un vecteur directeur
de la droite (CG).Le vecteur
est un autre vecteur
directeur de la droite (CG) car il est colinéaire
au vecteur 
.
La droite d passant par A et de vecteur directeur
est l'ensemble des points
M du plan tels que
et 
soient colinéaires.
Dans le cube ABCDEFGH, on construit le point
J tel
que :
Démontrons que le point J appartient à la droite
(AG).
La droite (AG) passe
par le point A et a
pour vecteur directeur le vecteur 
.
Ainsi le point J
appartient à la droite (AG) si et seulement si les
vecteurs 
et 
sont
colinéaires.
On va donc démontrer qu’il existe un
réel k
tel que 
.
On utilise l’égalité 
et on la transforme
à l’aide de la relation de Chasles :
Ainsi les vecteurs 
et 
sont
colinéaires.
Donc le point J
appartient à la droite (AG).
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