La caractérisation d'un plan - Maxicours

La caractérisation d'un plan

Objectifs
  • Caractériser un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires.
  • Connaitre la notion de direction d’un plan.
Points clés
  • Si P est le plan passant par 3 points non alignés A, B et C alors : M appartient à P ⇔ il existe des nombres réels k et k' tels que .
  • Des plans ayant des vecteurs directeurs colinéaires sont parallèles.
  • Soit P un plan et A un point de P. Le plan P est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant .
  • La donnée de deux vecteurs non colinéaires d’un plan permet de définir ce que l’on appelle la direction du plan.
Pour bien comprendre
  • Déterminer l’équation cartésienne d’un plan.
  • Déterminer le produit scalaire de deux vecteurs.
1. Colinéarité de deux vecteurs (rappels)
Deux vecteurs non nuls et sont dits colinéaires s'il existe un nombre réel k tel que .
Exemple
Les vecteurs , et sont colinéaires.
Exemple
Les vecteurs et sont colinéaires.
2. Caractérisation d'un plan à l'aide d'un point et de deux vecteurs non colinéaires
Soient A, B et C trois points distincts non alignés de l'espace, ces points permettent de définir le plan P.
Un point M appartient au plan P si et seulement si il existe des réels k et k' tels que .
On dira alors que les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan.
Remarque
La donnée de deux vecteurs non colinéaires d’un plan permet aussi de définir ce que l’on appelle la direction du plan.
Conséquence

Des plans ayant des vecteurs directeurs colinéaires sont donc parallèles.

Exemple : Dans un cube
Les vecteurs et sont colinéaires. Les vecteurs et sont colinéaires. Donc les plans (ABC) et (GEF) sont parallèles.
3. Caractérisation d'un plan à l'aide d'un point et d'un vecteur normal
a. Définition d'un vecteur normal
On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan P.
b. Caractérisation d'un plan par un point et un vecteur normal
Propriété
Soit P un plan, A un point de P et un vecteur normal au plan P. Le plan P est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant .

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