Les suites numériques : comparaison, théorème des gendarmes
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Établir la convergence ou la divergence d’une
suite vers 
ou 
.
- Soit (un) et (vn) deux suites. On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un ≤ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≤ vn. On dit que la suite (un) est minorée par la suite (vn) si un ≥ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≥ vn.
- Théorème des convergences :
Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente. - Théorème des gendarmes :
Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et l un réel. Si lim Vn = lim Wn = l, alors lim Un = l. - Soit (un) et (vn) deux suites telles que
un ≤ vn à partir
d’un certain rang. Si
, alors 
. Si 
, alors 
.
- Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et leur différence converge vers 0.
- Connaitre les notions de monotonie d’une suite et de convergence d’une suite.
- Effectuer un raisonnement par récurrence.
- Connaitre les suites géométriques et savoir déterminer leurs limites.
- On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un ≤ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≤ vn.
- On dit que la suite (vn) est minorée par la suite (un) si un ≥ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≥ vn.
La suite (un) est représentée en orange et la suite (vn) en violet.
On peut dire que la suite (un) est majorée par la suite (vn) et aussi que la suite (vn) est minorée par la suite (un).
- On dit que la suite (un) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que un ≤ M pour tout entier n.
- On dit que la suite (un) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que un ≥ m pour tout entier n.
- On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Autrement dit, une suite majorée est une suite dont aucun terme ne dépasse un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes dépassent un nombre donné.
Soit (un) et (vn) deux suites définies par
et 
.
-
un ≤ 4
Donc la suite (un) est majorée par 4.
-
vn ≥ 2
Donc la suite (vn) est minorée par 2.
On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.
On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.
On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.
On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.
On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Soit (un) la suite définie par u0 = – 1 et
.On veut montrer que cette suite est convergente, en utilisant le théorème des convergences.
- On commence par montrer par récurrence que
un ≥ – 4.
On note Pn : « un ≥ – 4 pour tout entier naturel ».
1re étape : Initialisation
On vérifie que Pn est vraie pour le plus petit entier possible, ici pour n = 0.
u0 ≥ – 4
– 1 ≥ – 4
Ce qui est vrai, donc P0 est vraie.
2e étape : Hérédité
On suppose que Pn est vraie, c’est-à-dire un ≥ – 4, et on démontre que Pn+1 est vraie, c’est-à-dire un+1 ≥ – 4.
On suppose que Pn est vraie, c’est-à-dire :
un ≥ – 4
Donc Pn+1 est vraie.
3e étape : Conclusion
Pn est vraie pour tout entier naturel n, donc un ≥ – 4 pour tout
.
- On cherche maintenant à étudier le
sens de variation de cette suite. Pour montrer que la
suite (un) est
décroissante, il faut montrer que
un+1–
un est
négatif.
Or un ≥ – 4
un+1– un ≤ 0
Donc la suite (un) est une suite décroissante. - On a un ≥ – 4, donc la suite (un) est une suite minorée. De plus, (un) est une suite décroissante, donc, d’après le théorème des convergences, la suite (un) est une suite convergente.
Soit (un) et (vn) deux suites convergentes telles que un ≤ vn à partir d’un certain rang, alors lim un ≤ lim vn.
Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.
Soit (un) une suite convergente telle que
, pour tout n > 0. On veut
donner un encadrement de la limite de la
suite (un).
donc
donc 
Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et l un réel.
Si lim Vn = lim Wn = l, alors lim Un = l.
Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes et l un réel. (vn) et (wn) admettent la même limite l et vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang.
Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :
lim
Vn ≤ lim
Un ≤ lim
Wn
l
≤ lim
Un ≤ l
lim Un est comprise entre deux nombres égaux à l, donc lim Un = l.
On veut calculer
.
Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes,
.
Soit (un) et (vn) deux suites telles que un ≤ vn à partir d’un certain rang.
- Si
, alors 
.
- Si
, alors 
.
Soit (un) une suite telle que n2≤ un pour tout entier naturel n.
Par comparaison,
.
Soit (un) et (vn) deux suites numériques.
On dit que ces deux suites sont adjacentes si :
- la suite (un) est croissante ;
- la suite (vn) est décroissante ;
- lim (vn – un) = 0.
Soit (un) la suite définie par u0= 1 et
et (vn) la suite
définie par v0 = 12
et 
, pour tout entier
naturel n.1. Montrer que la suite (wn) définie par wn = vn – un est une suite géométrique et donner sa limite.
2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont deux suites adjacentes.
1. Pour montrer que la suite (wn) est une suite géométrique, il faut montrer que wn+1 = qwn avec q la raison de cette suite.
Donc la suite (wn) est une suite géométrique de raison
.La raison
étant comprise
strictement entre –1 et 1, cette suite tend
vers 0 quand n tend vers 
.2. On a
. Il reste à
étudier les sens de variations des deux suites.
-
Or (wn) est une suite géométrique de raison et de premier terme
w0 = v0 – u0 = 12 – 1 = 11
qui est positif, donc wn est
positive.
un+1 – un est positif, donc la suite (un) est croissante. -
wn est positive, donc vn+1– vn est négatif, donc la suite (wn) est décroissante. - La suite (un) est croissante,
la suite (vn)
est décroissante et , donc les deux
suites sont adjacentes.
Deux suites adjacentes sont convergentes et elles convergent vers la même limite.
Reprenons l’exemple précédent.
Soit (un) la suite définie par u0= 1 et
et (vn) la suite
définie par v0 = 12
et , pour tout entier
naturel n.On pose tn = 3un + 8vn.
On veut montrer que la suite (tn) est constante et en déduire la limite de ces deux suites adjacentes.
-
Donc la suite (tn) est une suite constante, d’où :
.
- Soit 3un + 8vn
= 99, comme
,
On en déduit que
.
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