Les suites numériques : comparaison, théorème des gendarmes - Maxicours

Les suites numériques : comparaison, théorème des gendarmes

Objectif

Établir la convergence ou la divergence d’une suite vers ou .

Points clés
  • Soit (un) et (vn) deux suites. On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un  vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un  vn. On dit que la suite (un) est minorée par la suite (vn) si un vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un vn.
  • Théorème des convergences :
    Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente.
  • Théorème des gendarmes :
    Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et l un réel. Si lim Vn = lim Wn = l, alors lim Un = l.
  • Soit (un) et (vn) deux suites telles que un  vn à partir d’un certain rang. Si , alors . Si , alors .
  • Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et leur différence converge vers 0.
Pour bien comprendre
  • Connaitre les notions de monotonie d’une suite et de convergence d’une suite.
  • Effectuer un raisonnement par récurrence.
  • Connaitre les suites géométriques et savoir déterminer leurs limites.
1. Comparaison et suites numériques
a. Comparaison de deux suites
Soit (un) et (vn) deux suites numériques.
  • On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un  vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un  vn.
  • On dit que la suite (vn) est minorée par la suite (un) si un ≥ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un vn.
Exemple
La suite (un) est représentée en orange et la suite (vn) en violet.
À partir du rang 5, la suite (vn) devient plus grande que la suite (un).
On peut dire que la suite (un) est majorée par la suite (vn) et aussi que la suite (vn) est minorée par la suite (un).
b. Suites majorées, suites minorées
Soit (un) une suite numérique.
  • On dit que la suite (un) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que un ≤ M pour tout entier n.
  • On dit que la suite (un) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que un ≥ m pour tout entier n.
  • On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Autrement dit, une suite majorée est une suite dont aucun terme ne dépasse un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes dépassent un nombre donné.

Exemples
Soit  (un) et (vn) deux suites définies par et .


  • un 4
    Donc la suite (un) est majorée par 4.


  • vn 2
    Donc la suite (vn) est minorée par 2.
c. Théorème des convergences

On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.


On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.


On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.

Théorème des convergences
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Exemple
Soit (un) la suite définie par u0 = – 1 et .
On veut montrer que cette suite est convergente, en utilisant le théorème des convergences.
  • On commence par montrer par récurrence que un ≥ – 4.
    On note Pn : « un ≥ – 4 pour tout entier naturel ».

    1re étape : Initialisation
    On vérifie que Pn est vraie pour le plus petit entier possible, ici pour n = 0.
    u0 ≥ – 4
    – 1 ≥ – 4
    Ce qui est vrai, donc P0 est vraie.

    2e étape : Hérédité
    On suppose que Pn est vraie, c’est-à-dire un ≥ – 4, et on démontre que Pn+1 est vraie, c’est-à-dire un+1  ≥ – 4.
    On suppose que Pn est vraie, c’est-à-dire :

    u
    ≥ – 4
    Donc Pn+1 est vraie.

    3e étape : Conclusion
    Pn est vraie pour tout entier naturel n, donc un ≥ – 4 pour tout .
  • On cherche maintenant à étudier le sens de variation de cette suite. Pour montrer que la suite (un) est décroissante, il faut montrer que un+1 un est négatif.

    Or un ≥ – 4

    un+1 un
    Donc la suite (un) est une suite décroissante.
  • On a un ≥ – 4, donc la suite (un) est une suite minorée. De plus, (un) est une suite décroissante, donc, d’après le théorème des convergences, la suite (un) est une suite convergente.
2. Comparaisons et limites de suites
a. Inégalités et limites
Propriété
Soit (un) et (vn) deux suites convergentes telles que un  vn à partir d’un certain rang, alors lim un ≤ lim vn.

Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.

Exemple
Soit (un) une suite convergente telle que , pour tout n > 0. On veut donner un encadrement de la limite de la suite (un).
donc  donc

b. Théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes
Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et l un réel.
Si lim Vn = lim Wn = l, alors lim Un = l.
Démonstration

Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes et l un réel. (vn) et (wn) admettent la même limite l et  vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang.

Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :

lim Vn ≤ lim Un ≤ lim Wn
l ≤ lim Un l

lim Un est comprise entre deux nombres égaux à l, donc lim Un l.

Exemple
On veut calculer .

Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes, .
c. Comparaison et suites divergentes
Théorème
Soit (un) et (vn) deux suites telles que un vn à partir d’un certain rang.
  • Si , alors .
  • Si , alors .
Exemple
Soit (un) une suite telle que n2 un pour tout entier naturel n.

Par comparaison, .
3. Suites adjacentes
a. Définition
Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et leur différence converge vers 0.

Soit (un) et (vn) deux suites numériques.

On dit que ces deux suites sont adjacentes si :

  • la suite (un) est croissante ;
  • la suite (vn) est décroissante ;
  • lim (vn un) = 0.

Exemple
Soit (un) la suite définie par u0= 1 et et (vn) la suite définie par v0 = 12 et , pour tout entier naturel n.
1. Montrer que la suite (wn) définie par wn = vn un est une suite géométrique et donner sa limite.
2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont deux suites adjacentes.

1. Pour montrer que la suite (wn) est une suite géométrique, il faut montrer que wn+1 qwn avec q la raison de cette suite.

Donc la suite (wn) est une suite géométrique de raison .
La raison étant comprise strictement entre –1 et 1, cette suite tend vers 0 quand n tend vers .

2. On a . Il reste à étudier les sens de variations des deux suites.


  • Or (wn) est une suite géométrique de raison et de premier terme w0 v0 – u0 = 12  1 = 11 qui est positif, donc wn est positive.
    un+1un est positif, donc la suite (un) est croissante.


  • wn est positive, donc vn+1 vn est négatif, donc la suite (wn) est décroissante.
  • La suite (un) est croissante, la suite (vn) est décroissante et , donc les deux suites sont adjacentes.
b. Propriété
Propriété
Deux suites adjacentes sont convergentes et elles convergent vers la même limite.
Exemple
Reprenons l’exemple précédent.
Soit (un) la suite définie par u0= 1 et et (vn) la suite définie par v0 = 12 et , pour tout entier naturel n.
On pose tn = 3un + 8vn.
On veut montrer que la suite (tn) est constante et en déduire la limite de ces deux suites adjacentes.


  • Donc la suite (tn) est une suite constante, d’où :
    .
  • Soit 3un + 8vn = 99, comme ,

    On en déduit que .

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