Les suites numériques : comparaison, théorème des gendarmes

Autrement dit, une suite majorée est une suite dont aucun terme ne dépasse un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes dépassent un nombre donné.

Exemples
Soit  (u_n) et (v_n) deux suites définies par et .

• 
  
  u_n ≤ 4
  Donc la suite (u_n) est majorée par 4.

• 
  
  v_n ≥ 2
  Donc la suite (v_n) est minorée par 2.

On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.

Exemple
Soit (u_n) la suite définie par u₀ = – 1 et .
On veut montrer que cette suite est convergente, en utilisant le théorème des convergences.

• On commence par montrer par récurrence que u_n ≥ – 4.
  On note P_n : « u_n ≥ – 4 pour tout entier naturel ».
  
  1^re étape : Initialisation
  On vérifie que P_n est vraie pour le plus petit entier possible, ici pour n = 0.
  u₀ ≥ – 4
  – 1 ≥ – 4
  Ce qui est vrai, donc P₀ est vraie.
  
  2^e étape : Hérédité
  On suppose que P_n est vraie, c’est-à-dire u_n ≥ – 4, et on démontre que P_n+1 est vraie, c’est-à-dire u_n+1  ≥ – 4.
  On suppose que P_n est vraie, c’est-à-dire :
  
  u_n  ≥ – 4
  Donc P_n+1 est vraie.
  
  3^e étape : Conclusion
  P_n est vraie pour tout entier naturel n, donc u_n ≥ – 4 pour tout .
• On cherche maintenant à étudier le sens de variation de cette suite. Pour montrer que la suite (u_n) est décroissante, il faut montrer que u_n+1– u_n est négatif.
  
  Or u_n ≥ – 4
  
  u_n+1– u_n ≤ 0 
  Donc la suite (u_n) est une suite décroissante.
• On a u_n ≥ – 4, donc la suite (u_n) est une suite minorée. De plus, (u_n) est une suite décroissante, donc, d’après le théorème des convergences, la suite (u_n) est une suite convergente.

Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.

Exemple
Soit (u_n) une suite convergente telle que , pour tout n > 0. On veut donner un encadrement de la limite de la suite (u_n).
donc  donc

Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes et l un réel. (v_n) et (w_n) admettent la même limite l et  v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang.

Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :

lim V_n ≤ lim U_n ≤ lim W_n
l ≤ lim U_n ≤ l

lim U_n est comprise entre deux nombres égaux à l, donc lim U_n = l.

Exemple
On veut calculer .

Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes, .

Soit (u_n) et (v_n) deux suites numériques.

On dit que ces deux suites sont adjacentes si :

• la suite (u_n) est croissante ;
• la suite (v_n) est décroissante ;
• lim (v_n – u_n) = 0.

Exemple
Soit (u_n) la suite définie par u₀= 1 et et (v_n) la suite définie par v₀ = 12 et , pour tout entier naturel n.
1. Montrer que la suite (w_n) définie par w_n = v_n – u_n est une suite géométrique et donner sa limite.
2. Démontrer que les suites (u_n) et (v_n) sont deux suites adjacentes.

1. Pour montrer que la suite (w_n) est une suite géométrique, il faut montrer que w_n+1 = qwn avec q la raison de cette suite.

Donc la suite (w_n) est une suite géométrique de raison .
La raison étant comprise strictement entre –1 et 1, cette suite tend vers 0 quand n tend vers .

2. On a . Il reste à étudier les sens de variations des deux suites.

• 
  
  Or (w_n) est une suite géométrique de raison et de premier terme w₀ = v₀ – u₀ = 12 – 1 = 11 qui est positif, donc w_n est positive.
  u_n+1 – u_n est positif, donc la suite (u_n) est croissante.
• 
  
  w_n est positive, donc v_n+1– v_n est négatif, donc la suite (w_n) est décroissante.
• La suite (u_n) est croissante, la suite (v_n) est décroissante et , donc les deux suites sont adjacentes.