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Coordonnées dans une base et applications

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Objectif

Utiliser les coordonnées de points dans un repère ou les coordonnées de vecteurs dans une base pour calculer un produit scalaire afin de démontrer une orthogonalité ou pour calculer une longueur dans l’espace.

Points clés

Soit une base de l’espace . est une base orthonormée lorsque et les vecteurs , et sont orthogonaux deux à deux : .
Soit un repère de l’espace. Si, de plus, est une base orthonormée, alors est un repère orthonormé de l’espace.
Soit une base orthonormée et un vecteur de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que . (x ; y ; z) sont les coordonnées de dans cette base. On écrit .
Soit et deux vecteurs de l’espace.
et .
Soit un repère orthonormé et M un point de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que . (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère. On écrit .
Soit un repère orthonormé, et .
Alors et .

Pour bien comprendre

Connaitre les notions de bases et repères de l’espace.
Utiliser les propriétés du calcul vectoriel.
Connaitre les propriétés de trigonométrie.

1. Rappels sur les bases : base orthonormée, repère orthonormé

Dans l’espace, trois vecteurs

sont coplanaires lorsque, quand on choisit un point quelconque O de l’espace, les points A, B et C définis par

sont dans le même plan.

Soit trois vecteurs

non coplanaires. Alors

est une base de l’espace. On dit que

est une base orthonormée lorsque :

et les vecteurs

sont orthogonaux deux à deux :

Exemple
Soit ABCDEFGH un cube.

Alors

est une base orthonormée de l’espace.
De même,

est une autre base orthonormée.

Soit

un repère de l’espace.
Si

est une base orthonormée, alors

est un repère orthonormé de l’espace.

2. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée, d’un point dans un repère orthonormé

Soit

une base orthonormée et

un vecteur de l’espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que

.
(x ; y ; z) sont les coordonnées de

dans cette base.
On écrit

.
x est l’abscisse de

; y est l’ordonnée de

; z est la cote de

Propriété
Soit

un repère orthonormé et M un point de l'espace.
Alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que

.
(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère.
On écrit M(x ; y ; z).

Démonstration

Soit M un point de l’espace et soit M’ le projeté orthogonal de M sur le plan .

Alors .
Il existe deux réels x et y tels que .
Et il existe un réel z tel que .
Donc .
On vient donc de démontrer l’existence d’un triplet (x ; y ; z).

Remarque
Si M appartient au plan

, alors M = M’.

Démontrons maintenant que le triplet (x ; y ; z) est unique.
On effectue un raisonnement par l’absurde et on suppose qu’il existe un deuxième triplet (x' ; y' ; z') ≠ (x ; y ; z) tel que .
Alors .
D’où .
Supposons par exemple que x – x' ≠ 0 alors : .
Donc les vecteurs , et sont colinéaires, ce qui est impossible puisqu’ils forment une base de l’espace.
On en déduit donc que x = x'.
Par le même raisonnement, on montre que y = y' et z = z'.
D’où la contradiction avec la supposition du début sur les couples :
(x' ; y' ; z') ≠ (x ; y ; z).
Ainsi on peut en conclure que le couple (x ; y ; z) est unique.

Exemple
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous et on se place dans le repère orthonormé

Alors les coordonnées des sommets du cube sont A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).
On a également :