Coordonnées dans une base et applications
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
Utiliser les coordonnées de points dans un repère ou les coordonnées de vecteurs dans une base pour calculer un produit scalaire afin de démontrer une orthogonalité ou pour calculer une longueur dans l’espace.
- Soit une base de l’espace . est une base orthonormée lorsque et les vecteurs , et sont orthogonaux deux à deux : .
- Soit un repère de l’espace. Si, de plus, est une base orthonormée, alors est un repère orthonormé de l’espace.
- Soit une base orthonormée et un vecteur de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que . (x ; y ; z) sont les coordonnées de dans cette base. On écrit .
- Soit et deux vecteurs de
l’espace.
et . - Soit un repère orthonormé et M un point de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que . (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère. On écrit .
- Soit un repère orthonormé,
et .
Alors et .
- Connaitre les notions de bases et repères de l’espace.
- Utiliser les propriétés du calcul vectoriel.
- Connaitre les propriétés de trigonométrie.
Soit ABCDEFGH un cube.
De même, est une autre base orthonormée.
Si est une base orthonormée, alors est un repère orthonormé de l’espace.
(x ; y ; z) sont les coordonnées de dans cette base.
On écrit .
x est l’abscisse de ; y est l’ordonnée de ; z est la cote de .
Soit un repère orthonormé et M un point de l'espace.
Alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que .
(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère.
On écrit M(x ; y ; z).
Soit M un point de l’espace et soit M’ le projeté orthogonal de M sur le plan .
Alors .
Il existe deux réels x et y tels que .
Et il existe un réel z tel que .
Donc .
On vient donc de démontrer l’existence
d’un triplet (x ; y ; z).
Si M appartient au plan , alors M = M’.
Démontrons maintenant que le triplet
(x ; y ; z) est unique.
On effectue un raisonnement par l’absurde et on
suppose qu’il existe un deuxième triplet
(x'
; y'
; z')
≠ (x ; y ; z) tel que .
Alors .
D’où .
Supposons par exemple que x – x' ≠ 0 alors : .
Donc les vecteurs , et sont colinéaires, ce qui
est impossible puisqu’ils forment une base de
l’espace.
On en déduit donc que x = x'.
Par le même raisonnement, on montre que
y = y' et z = z'.
D’où la contradiction avec la supposition du
début sur les couples :
(x' ;
y' ;
z')
≠ (x ; y ; z).
Ainsi on peut en conclure que le couple (x ; y ; z) est unique.
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous et on se place dans le repère orthonormé .
On a également :
donc .
donc .
Soit un repère orthonormé et soit et deux vecteurs de l’espace.
Alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par l’expression suivante : .
et
Alors
Or car le repère est
orthonormé.
Donc .
Or .
De même, on a .
D’où .
Soit et dans un repère orthonormé.
Alors .
On peut donc en déduire que les vecteurs et sont orthogonaux.
Soit un repère orthonormé et un vecteur de l’espace.
Alors la norme du vecteur est donnée par la relation suivante : .
D’après la propriété
précédente, .
Ainsi .
Soit un repère orthonormé et et deux points de l’espace.
La distance AB est donnée par la relation suivante : .
D’après la propriété
précédente, .
On se place dans un repère orthonormé de l’espace et on considère les points A(5 ; –4 ; 0) et B(2 ; 10 ; –5).
Alors .
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !