Coordonnées dans une base et applications
Utiliser les coordonnées de points dans un repère ou les coordonnées de vecteurs dans une base pour calculer un produit scalaire afin de démontrer une orthogonalité ou pour calculer une longueur dans l’espace.
- Soit
une base de l’espace .
est une base orthonormée lorsque
et les vecteurs
,
et
sont orthogonaux deux à deux :
.
- Soit
un repère de l’espace. Si, de plus,
est une base orthonormée, alors
est un repère orthonormé de l’espace.
- Soit
une base orthonormée et
un vecteur de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que
. (x ; y ; z) sont les coordonnées de
dans cette base. On écrit
.
- Soit
et
deux vecteurs de l’espace.
et
.
- Soit
un repère orthonormé et M un point de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que
. (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère. On écrit
.
- Soit
un repère orthonormé,
et
.
Alorset
.
- Connaitre les notions de bases et repères de l’espace.
- Utiliser les propriétés du calcul vectoriel.
- Connaitre les propriétés de trigonométrie.

















Soit ABCDEFGH un cube.


De même,


Si






(x ; y ; z) sont les coordonnées de

On écrit

x est l’abscisse de



Soit

Alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que

(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère.
On écrit M(x ; y ; z).
Soit M un point de
l’espace et soit M’ le projeté
orthogonal de M
sur le plan .

Alors .
Il existe deux réels x et y tels que .
Et il existe un réel z tel que .
Donc .
On vient donc de démontrer l’existence
d’un triplet (x ; y ; z).
Si M appartient au plan

Démontrons maintenant que le triplet
(x ; y ; z) est unique.
On effectue un raisonnement par l’absurde et on
suppose qu’il existe un deuxième triplet
(x'
; y'
; z')
≠ (x ; y ; z) tel que .
Alors .
D’où .
Supposons par exemple que x – x' ≠ 0 alors : .
Donc les vecteurs ,
et
sont colinéaires, ce qui
est impossible puisqu’ils forment une base de
l’espace.
On en déduit donc que x = x'.
Par le même raisonnement, on montre que
y = y' et z = z'.
D’où la contradiction avec la supposition du
début sur les couples :
(x' ;
y' ;
z')
≠ (x ; y ; z).
Ainsi on peut en conclure que le couple (x ; y ; z) est unique.
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous et on se place dans le repère orthonormé


On a également :




Soit



Alors le produit scalaire des vecteurs



et
Alors
Or car le repère est
orthonormé.
Donc .
Or .
De même, on a .
D’où .
Soit


Alors

On peut donc en déduire que les vecteurs


Soit


Alors la norme du vecteur


D’après la propriété
précédente, .
Ainsi .
Soit



La distance AB est donnée par la relation suivante :

D’après la propriété
précédente, .
On se place dans un repère orthonormé de l’espace et on considère les points A(5 ; –4 ; 0) et B(2 ; 10 ; –5).
Alors


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