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Coordonnées dans une base et applications

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Objectif

Utiliser les coordonnées de points dans un repère ou les coordonnées de vecteurs dans une base pour calculer un produit scalaire afin de démontrer une orthogonalité ou pour calculer une longueur dans l’espace.

Points clés
  • Soit une base de l’espace . est une base orthonormée lorsque et les vecteurs , et sont orthogonaux deux à deux : .
  • Soit un repère de l’espace. Si, de plus, est une base orthonormée, alors est un repère orthonormé de l’espace.
  • Soit une base orthonormée et un vecteur de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que . (x ; y ; z) sont les coordonnées de dans cette base. On écrit .
  • Soit et deux vecteurs de l’espace.
    et .
  • Soit un repère orthonormé et M un point de l‘espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que . (x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère. On écrit .
  • Soit un repère orthonormé, et .
    Alors et .
Pour bien comprendre
  • Connaitre les notions de bases et repères de l’espace.
  • Utiliser les propriétés du calcul vectoriel.
  • Connaitre les propriétés de trigonométrie.
1. Rappels sur les bases : base orthonormée, repère orthonormé
Dans l’espace, trois vecteurs , et sont coplanaires lorsque, quand on choisit un point quelconque O de l’espace, les points A, B et C définis par , et sont dans le même plan.
Soit trois vecteurs , et non coplanaires. Alors est une base de l’espace. On dit que est une base orthonormée lorsque : et les vecteurs , et sont orthogonaux deux à deux : .
Exemple
Soit ABCDEFGH un cube.
Alors est une base orthonormée de l’espace.
De même, est une autre base orthonormée.
Soit un repère de l’espace.
Si est une base orthonormée, alors est un repère orthonormé de l’espace.
2. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée, d’un point dans un repère orthonormé
Soit une base orthonormée et un vecteur de l’espace, alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que .
(x ; y ; z) sont les coordonnées de dans cette base.
On écrit .
x est l’abscisse de  ; y est l’ordonnée de ; z est la cote de .
Propriété
Soit un repère orthonormé et M un point de l'espace.
Alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que .
(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère.
On écrit M(x ; y ; z).
Démonstration

Soit M un point de l’espace et soit M’ le projeté orthogonal de M sur le plan .

Alors .
Il existe deux réels x et y tels que .
Et il existe un réel z tel que .
Donc .
On vient donc de démontrer l’existence d’un triplet (x ; y ; z).

Remarque
Si M appartient au plan , alors M = M’.

Démontrons maintenant que le triplet  (x ; y ; z) est unique.
On effectue un raisonnement par l’absurde et on suppose qu’il existe un deuxième triplet (x'y'z') (x ; y ; z) tel que .
Alors .
D’où .
Supposons par exemple que xx' 0 alors : .
Donc les vecteurs , et sont colinéaires, ce qui est impossible puisqu’ils forment une base de l’espace.
On en déduit donc que x = x'.
Par le même raisonnement, on montre que y = y' et z = z'.
D’où la contradiction avec la supposition du début sur les couples :
(x' ; y' ; z') (x ; y ; z).
Ainsi on peut en conclure que le couple (x ; y ; z) est unique.

Exemple
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous et on se place dans le repère orthonormé .
Alors les coordonnées des sommets du cube sont A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1) et H(0 ; 1 ; 1).
On a également :
donc .
  donc .
3. Expression analytique du produit scalaire, de la norme, de la distance entre deux points
Propriété
Soit un repère orthonormé et soit et deux vecteurs de l’espace.
Alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par l’expression suivante : .
Démonstration

et
Alors

         
Or car le repère est orthonormé.
Donc .
Or .
De même, on a .
D’où .

Exemple
Soit et dans un repère orthonormé.
Alors .
On peut donc en déduire que les vecteurs et sont orthogonaux.
Propriété
Soit un repère orthonormé et un vecteur de l’espace.
Alors la norme du vecteur est donnée par la relation suivante : .
Démonstration

D’après la propriété précédente, .
Ainsi .

Propriété
Soit un repère orthonormé et et deux points de l’espace.
La distance AB est donnée par la relation suivante : .
Démonstration


D’après la propriété précédente, .

Exemple
On se place dans un repère orthonormé de l’espace et on considère les points A(5 ; –4 ; 0) et B(2 ; 10 ; –5).
Alors .

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