Coordonnées dans une base et applications
Utiliser les coordonnées de points dans un repère ou les coordonnées de vecteurs dans une base pour calculer un produit scalaire afin de démontrer une orthogonalité ou pour calculer une longueur dans l’espace.
- Soit
une base de l’espace .
est une base orthonormée
lorsque 
et les vecteurs 
,
et 
sont orthogonaux deux à
deux : 
.
- Soit
un repère de l’espace.
Si, de plus, est une base orthonormée,
alors est un repère
orthonormé de l’espace.
- Soit une base orthonormée et
un vecteur de l‘espace, alors
il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que 
. (x ; y ; z) sont les coordonnées
de 
dans cette base. On écrit
.
- Soit et
deux vecteurs de
l’espace.
et 
.
- Soit un repère orthonormé
et M un point de
l‘espace, alors il existe un unique triplet
(x ; y ; z) tel que
. (x ; y ; z) sont les coordonnées
de M dans ce
repère. On écrit 
.
- Soit un repère orthonormé,
et 
.
Alors
et 
.
- Connaitre les notions de bases et repères de l’espace.
- Utiliser les propriétés du calcul vectoriel.
- Connaitre les propriétés de trigonométrie.
, et sont coplanaires lorsque,
quand on choisit un point quelconque O de l’espace, les
points A,
B
et C
définis par 
, 
et 
sont dans le même plan.
, et non coplanaires. Alors
est une base de
l’espace. On dit que est une base
orthonormée lorsque : et les vecteurs , et sont orthogonaux deux à
deux : .
Soit ABCDEFGH un cube.
est une base orthonormée
de l’espace.De même,
est une autre base
orthonormée.
un repère de
l’espace.Si
est une base orthonormée,
alors est un repère
orthonormé de l’espace.
une base orthonormée et
un vecteur de l’espace,
alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que .(x ; y ; z) sont les coordonnées de
dans cette base.On écrit
.x est l’abscisse de
; y est
l’ordonnée de ; z est la cote de
.
Soit
un repère
orthonormé et M un point de l'espace.Alors il existe un unique triplet (x ; y ; z) tel que
.(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans ce repère.
On écrit M(x ; y ; z).
Soit M un point de
l’espace et soit M’ le projeté
orthogonal de M
sur le plan 
.
Alors 
.
Il existe deux réels x et y tels que 
.
Et il existe un réel z tel que 
.
Donc .
On vient donc de démontrer l’existence
d’un triplet (x ; y ; z).
Si M appartient au plan
, alors M = M’.
Démontrons maintenant que le triplet
(x ; y ; z) est unique.
On effectue un raisonnement par l’absurde et on
suppose qu’il existe un deuxième triplet
(x'
; y'
; z')
≠ (x ; y ; z) tel que 
.
Alors 
.
D’où 
.
Supposons par exemple que x – x' ≠ 0 alors : 
.
Donc les vecteurs , et sont colinéaires, ce qui
est impossible puisqu’ils forment une base de
l’espace.
On en déduit donc que x = x'.
Par le même raisonnement, on montre que
y = y' et z = z'.
D’où la contradiction avec la supposition du
début sur les couples :
(x' ;
y' ;
z')
≠ (x ; y ; z).
Ainsi on peut en conclure que le couple (x ; y ; z) est unique.
On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous et on se place dans le repère orthonormé
.
On a également :
donc 
.
donc 
.
Soit
un repère
orthonormé et soit et deux vecteurs de
l’espace.Alors le produit scalaire des vecteurs
et 
est donné par
l’expression suivante : .
et 
Alors 
Or 
car le repère est
orthonormé.
Donc 
.
Or 
.
De même, on a 
.
D’où 
.
Soit
et 
dans un repère
orthonormé.Alors
.On peut donc en déduire que les vecteurs
et sont orthogonaux.
Soit
un repère
orthonormé et un vecteur de
l’espace.Alors la norme du vecteur
est donnée par la relation
suivante : 
.
D’après la propriété
précédente, 
.
Ainsi .
Soit
un repère
orthonormé et et deux points de
l’espace.La distance AB est donnée par la relation suivante :
.
D’après la propriété
précédente, 
.
On se place dans un repère orthonormé de l’espace et on considère les points A(5 ; –4 ; 0) et B(2 ; 10 ; –5).
Alors
.
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