Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan
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Objectif
Connaître les équations paramétriques
liées à une droite et à un plan.
Soit un
repère de l'espace.
1. Représentation paramétrique d'une
droite
a. Généralités
Soit (d) la droite passant pas le point A
(xA ; yA ;
zA) et de vecteur directeur
(u ; v ; w).
M (x ; y ; z) appartient
à la droite (d) signifie qu'il existe un
nombre réel t tel que .
Les coordonnées de M vérifient donc le système suivant :
(S) = avec t ∈ .
Les coordonnées de M vérifient donc le système suivant :
(S) = avec t ∈ .
Le système (S) est appelé une
représentation paramétrique de la
droite (d).
Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation.
Remarque : une droite admet une
infinité de représentations
paramétriques. En effet, il suffit de prendre un
vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation
paramétrique de la droite (d).Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation.
b. Exemple
Une équation paramétrique de la droite
(d) passant par le point A (1 ; 2 ; 3) et de
vecteur directeur (-1 ; 2
; 1) est
avec t ∈ .
2. Représentation paramétrique d'un plan
a. Généralités
La donnée de deux vecteurs et non colinéaires et
d'un point A permet de définir entièrement
un plan. On l'appelle le plan passant par A et de
vecteurs directeurs et.
Un point M (x ; y ; z) appartient au plan P passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteurs directeurs (u1 ; u2 ; u3) et (v1 ; v2 ; v3) signifie qu'il existe des nombres réels t et t' tels que .
Les coordonnées de M vérifient dont le système suivant :
(S) = avec t et t' ∈ .
Un point M (x ; y ; z) appartient au plan P passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteurs directeurs (u1 ; u2 ; u3) et (v1 ; v2 ; v3) signifie qu'il existe des nombres réels t et t' tels que .
Les coordonnées de M vérifient dont le système suivant :
(S) = avec t et t' ∈ .
Le système (S) est appelé une
représentation paramétrique du
plan P.
Les nombres t et t' sont appelés les paramètres de cette représentation.
Remarque : un plan admet une
infinité de représentations
paramétriques. Il suffit de prendre un vecteur
colinéaire à pour obtenir une autre
représentation paramétrique.
Les nombres t et t' sont appelés les paramètres de cette représentation.
b. Exemple
Une équation paramétrique du plan P passant
par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ;
1) et(1 ;
2 ; 5) est avec t et t'
∈ .
L'essentiel
• La représentation paramétrique d'une
droite est .
• La représentation paramétrique d'un plan est .
• Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une même droite ou un même plan.
• La représentation paramétrique d'un plan est .
• Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une même droite ou un même plan.
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