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Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan

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Objectif
Connaître les équations paramétriques liées à une droite et à un plan.
Soit un repère de l'espace.
1. Représentation paramétrique d'une droite
a. Généralités
Soit (d) la droite passant pas le point A (xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur (u ; v ; w).
M (x ; y ; z) appartient à la droite (d) signifie qu'il existe un nombre réel t tel que .
Les coordonnées de M vérifient donc le système suivant :
(S) = avec t ∈ .
Le système (S) est appelé une représentation paramétrique de la droite (d).
Le nombre t est appelé le paramètre de cette représentation.
Remarque : une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En effet, il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une nouvelle représentation paramétrique de la droite (d).
b. Exemple
Une équation paramétrique de la droite (d) passant par le point A (1 ; 2 ; 3) et de vecteur directeur (-1 ; 2 ; 1) est avec t ∈ .
2. Représentation paramétrique d'un plan
a. Généralités
La donnée de deux vecteurs et non colinéaires et d'un point A permet de définir entièrement un plan. On l'appelle le plan passant par A et de vecteurs directeurs et.

Un point M (x ; y ; z) appartient au plan P passant par A (xA ; yA ; zA) et de vecteurs directeurs (u1 ; u2 ; u3) et (v1 ; v2 ; v3) signifie qu'il existe des nombres réels t et t' tels que .
Les coordonnées de M vérifient dont le système suivant :
(S) = avec t et t' ∈ .
Le système (S) est appelé une représentation paramétrique du plan P.
Les nombres t et t' sont appelés les paramètres de cette représentation.
Remarque : un plan admet une infinité de représentations paramétriques. Il suffit de prendre un vecteur colinéaire à pour obtenir une autre représentation paramétrique.
b. Exemple
Une équation paramétrique du plan P passant par A (1 ; 2 ; 3) et de vecteurs directeurs (1 ; 0 ; 1) et(1 ; 2 ; 5) est avec t et t' ∈ .
L'essentiel
• La représentation paramétrique d'une droite est .

• La représentation paramétrique d'un plan est .

• Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une même droite ou un même plan.

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