Le vocabulaire de la logique- Première- Mathématiques - Maxicours

Le vocabulaire de la logique

Objectifs
  • Utiliser les connecteurs logiques « et », « ou » et la négation « non ».
  • Reconnaitre et utiliser les symboles logiques.
  • Reconnaitre et utiliser les symboles des quantificateurs.
Points clés
  • Connecteurs logiques :
    • Et : remplir les deux conditions.
    • Ou : Remplir une des conditions.
    • Non : Condition inverse.
  • Implication : P⇒Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie.
  • Équivalence : P⇔Q signifie que si P est vraie alors Q est vraie et si Q est vraie alors P est vraie.
  • Vocabulaire et symbole :
    • signifie « quel que soit ».
    • signifie « il existe ».
Pour bien comprendre

Avoir des notions en géométrie plane pour bien comprendre les exemples.

1. Connecteurs logiques et négation
a. Connecteurs logiques
OU

Une proposition « P ou Q » est vraie si P est vérifiée ou si Q vérifiée.

Exemple
P : « Ses côtés opposés sont égaux »
Q : « Ses côtés opposés sont parallèles »
Un quadrilatère est un parallélogramme si « P ou Q » , c’est-à-dire si ses côtés opposés sont égaux ou si ses côtés opposés sont parallèles.
Remarque
Une proposition « P ou Q » est fausse lorsque P et Q sont toutes les deux fausses.
ET

Une proposition « P et Q » est vraie si à la fois P et Q sont vérifiées.

Exemple
P : « Ses quatre côtés sont égaux »
Q : « Ses diagonales sont de même longueur »
Un quadrilatère est un carré si « P et Q » , c’est-à-dire si ses quatre côtés sont égaux et si ses diagonales sont de même longueur.
Remarque
Une proposition « P et Q » est fausse lorsque P ou Q est fausse.
b. Négation
Non

La proposition « non P » est vraie lorsque la proposition P est fausse.

Remarque
Une proposition « non P » est fausse lorsque P est vraie.
Exemple
P : « Le triangle est rectangle »
Non P : « Le triangle n’est pas rectangle »
2. Implication et équivalence
a. Implication

P implique Q (noté « P ⇒ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q est vraie.

Remarque
Si la proposition Q est vraie, cela n’implique pas toujours Q ⇒ P.
Exemple
P : « L’individu choisi est un parisien »
Q : « L’individu choisi est un français »
P ⇒ Q : Si l’individu choisi est un parisien alors il est français.

Par contre, Q ⇏ P : Si l’individu choisi est français, il n’est pas forcément parisien.
b. Équivalence

P est équivalent à Q (noté « P ⇔ Q ») :
Si la proposition P est vraie alors la proposition Q est vraie. (P ⇒ Q)
Si la proposition Q est vraie, alors la proposition P est vraie également. (Q ⇒ P)

Remarque
Dans un théorème, l’équivalence se présente sous la forme « P est vraie si et seulement si Q est vraie ».
Exemple
Dans un triangle ABC,
P : « AB2 = AC2 + BC2 »
Q : « Le triangle ABC est rectangle en C »
P ⇒ Q : Si AB2 = AC2 + BC2 alors le triangle ABC est rectangle en C
Q ⇒ P : Si le triangle ABC est rectangle alors AB2 = AC2 + BC2
P ⇒ Q et Q ⇒ P donc P ⇔ Q
c. Condition nécessaire et suffisante
Condition nécessaire

P est vraie si Q est vraie c’est-à-dire P ⇒ Q.
Q est une condition nécessaire à P.

Condition suffisante

Si la proposition Q est vraie, alors la proposition P est vraie également c’est-à-dire Q ⇒ P.
Q est une condition suffisante à P.

Exemple
Q : « ABC est un triangle isocèle » est une condition nécessaire pour que P : « ABC est un triangle équilatéral » soit vraie.
Q est nécessaire à P.
P : « ABC est un triangle équilatéral » est une condition suffisante pour que Q : « ABC est un triangle isocèle » soit vraie.
P est suffisante à Q.
Exemple non mathématique
A : « Le fruit est un agrume » est une condition nécessaire pour que O : « Le fruit est une orange » soit vraie.
A est nécessaire à O.
O : « Le fruit est une orange » est une condition suffisante pour que A : « Le fruit est un agrume » soit vraie.
O est suffisante à A.
3. Quantificateurs
a. « Pour tout », « Quel que soit »

Les quantificateurs « Pour tout » ou « Quel que soit » sont notés par le symbole .
x, P est vraie. Cela signifie que quel que soit l’élément (d’un l’ensemble) choisi, la propriété est vraie.

Exemple
Soit n un nombre entier,
n, 2n est un nombre pair.
Cela se lit : Quel que soit (ou Pour tout) n, 2n est un nombre pair.
b. « Il existe »

Le quantificateur « Il existe » est noté .
x, tel que P est vraie.
Cela signifie qu’il existe un élément (d’un ensemble) qui rend la propriété P vraie.

Remarque
En écrivant ∃! cela signifie «Il existe un unique».
Exemple
Soit n un nombre entier et P : « n est divisible par 3 ».
n, tel que P est vrai.
Cela se lit : Il existe un nombre n, tel que n est divisible par 3.
Par exemple : 9, 12, 1002,...
Exemple
Soit n un nombre entier et P : « n= 9 ».
∃!n, tel que n= 9.
Cela se lit : Il existe un unique nombre entier n tel que n= 9.
C’est = 3.

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