Cosinus et sinus d'un réel, d'un angle orienté
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- Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer le cosinus et le sinus d'un nombre réel, d’un angle de vecteurs.
- Faire le lien avec le cosinus et le sinus dans le triangle rectangle.
- Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer pour des valeurs remarquables de x, le sinus et le cosinus de l'angle associé à x.
- À tout réel x correspond un unique point M
sur le cercle (C). Par définition, le point M a
pour abscisse
et pour
ordonnée 
dans le repère (O, I,
J).
- Si x désigne une
mesure de l’angle
alors 
et 
- Pour tout réel x, on a les
propriétés suivantes :
-
et 
-
-
et 
où 
-
- Les valeurs remarquables suivantes sont à
connaitre :
- Concernant les angles
associés
, 
, 
, 
et 
, on a les
propriétés suivantes :
-
- Cercle trigonométrique et radian
- Repérage sur le cercle trigonométrique
(C) est le cercle trigonométrique de centre O
muni du repère orthonormé 
.
À tout réel a correspond un unique point M sur le cercle (C).
Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) de l’une de ses mesures.
alors et
et 
Pour tout réel x, on a :
et
et où
| x | 0 |
|
|
|
|
| cos x | 1 |
|
|
|
0 |
| sin x | 0 |
|
|
|
1 |
Au collège on avait défini le cosinus et le
sinus d’un angle aigu (
) comme suit :
On peut faire le lien avec le cercle
trigonométrique en faisant la figure
ci-dessous.
Soit x un réel et A
son image sur le cercle trigonométrique, on
projette orthogonalement A sur (OI), ce qui donne le
point D, et sur (OJ), ce qui donne le point E .
Dans le triangle OAD rectangle en D, 
mais comme OA= 1 on a ainsi
De même 
mais comme OA= 1 on a
ainsi 
On a ainsi fait le lien entre les définitions
précédentes et celles de collège.
Sur le cercle ci-dessous, les points A, B, C et D sont associés aux réels x, π – x, π + x et –x.
A et B sont symétriques par rapport à l’axe (OJ) donc ils ont la même ordonnée et des abscisses opposées. On a donc :
A et C sont symétriques par rapport
à O donc ils ont des abscisses et
ordonnées opposées :
A et D sont symétriques par rapport à
l’axe (OI) donc ils ont la même abscisse et
des ordonnées opposées :
Sur le cercle ci-dessous, les points A, B et
C sont associés aux
réels 
, 
et 
.
L'abscisse de B est égale à
l'ordonnée de A.
L'ordonnée de B est égale
à l'abscisse de A.
L'abscisse de C est égale à
l'opposé de l'abscisse de B, c'est à dire
à l'opposé de l'ordonnée de A.
L'ordonnée de C est égale
à l'ordonnée de B, c'est
à dire à l'abscisse de A.
Pour tout réel a on a donc :
-
et 
-
et 
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