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Cosinus et sinus d'un réel, d'un angle orienté

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Objectifs

Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer le cosinus et le sinus d'un nombre réel, d’un angle de vecteurs.
Faire le lien avec le cosinus et le sinus dans le triangle rectangle.
Par lecture sur le cercle trigonométrique, déterminer pour des valeurs remarquables de x, le sinus et le cosinus de l'angle associé à x.

Points clés

À tout réel x correspond un unique point M sur le cercle (C). Par définition, le point M a pour abscisse et pour ordonnée dans le repère (O, I, J).
Si x désigne une mesure de l’angle alors et
Pour tout réel x, on a les propriétés suivantes :
- et
- et où

Les valeurs remarquables suivantes sont à connaitre :
Concernant les angles associés , , , et , on a les propriétés suivantes :

Pour bien comprendre

Cercle trigonométrique et radian
Repérage sur le cercle trigonométrique

1. Cosinus et sinus d'un angle de vecteurs

a. Cosinus et sinus d'un réel

À tout réel a correspond un unique point M sur le cercle (C).

Par définition, le point M a pour abscisse cos a et pour ordonnée sin a dans le repère (O, I, J).

b. Cosinus et sinus d'un angle de vecteurs non nuls

Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté est le cosinus (ou le sinus) de l’une de ses mesures.

Si x désigne une mesure de l’angle

alors

Exemple :

c. Propriétés immédiates

Pour tout réel x, on a :

où

d. Valeurs remarquables

x	0
cos x	1	0
sin x	0	1

2. Lien avec le cosinus et le sinus dans un triangle rectangle

Au collège on avait défini le cosinus et le sinus d’un angle aigu () comme suit :

On peut faire le lien avec le cercle trigonométrique en faisant la figure ci-dessous.
Soit x un réel et A son image sur le cercle trigonométrique, on projette orthogonalement A sur (OI), ce qui donne le point D, et sur (OJ), ce qui donne le point E .

Dans le triangle OAD rectangle en D, mais comme OA= 1 on a ainsi

De même mais comme OA= 1 on a ainsi
On a ainsi fait le lien entre les définitions précédentes et celles de collège.

3. Angles associés

a. Configuration du rectangle

Sur le cercle ci-dessous, les points A, B, C et D sont associés aux réels x, π – x, π + x et –x.

A et B sont symétriques par rapport à l’axe (OJ) donc ils ont la même ordonnée et des abscisses opposées. On a donc :

A et C sont symétriques par rapport à O donc ils ont des abscisses et ordonnées opposées :

A et D sont symétriques par rapport à l’axe (OI) donc ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées :

b. Angles complémentaires

Sur le cercle ci-dessous, les points A, B et C sont associés aux réels , et .

L'abscisse de B est égale à l'ordonnée de A.
L'ordonnée de B est égale à l'abscisse de A.
L'abscisse de C est égale à l'opposé de l'abscisse de B, c'est à dire à l'opposé de l'ordonnée de A.
L'ordonnée de C est égale à l'ordonnée de B, c'est à dire à l'abscisse de A.

Pour tout réel a on a donc :