Fiche de cours

Suites arithmétiques

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Sommaire : Définition - Représentation graphique - Calcul du terme de rang n - Sens de variation - Suite arithmétique et variation absolue
1. Définition
Exemple :
Soit la suite de nombres U0 = − 5 ; U1 = − 2 ; U2 = 1 ; U3 = 4 ; U4 = 7 ; U5 = 10...
On remarque que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
Un+1 = Un + 3 avec U0 = − 5.

Définition :
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.



On écrit Un+1 = Un + r

Exemple :
Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique de raison – 4 et de premier terme U0 = 2.

U1 = U0 − 4 = 2 − 4 = −2,
U2 = U1 − 4 = −2 − 4 = −6,
U2 = U1 − 4 = −6 −4 = −10...
2. Terme de rang n d'une suite arithmétique
Par définition, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r (raison).

Un = Un-1 + 1r,

Un-1 = Un-2 + 1r donc Un = Un-2 + 2r,

Un-2 = Un-3 + 1r donc Un = Un-3 + 3r,

...

U1 = U0 + 1r donc Un = Un-n + nr = U0 + nr.


Terme de rang n :

Si une suite (Un) est arithmétique de raison r et de premier terme U0, alors Un = U0 + nr.

Exemples :
  • La suite arithmétique de premier terme U0 = 100 et de raison 50 peut s’écrire de manière explicite :
    Un = 100 + 50n
  • Soit une somme de 2 000€ placé à intérêts simples de 4%.
    Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.
3. Sens de variation d'une suite arithmétique
D’après la définition du sens de variation d’une suite, celui d’une suite arithmétique va dépendre du signe de sa raison r :
  • Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante,
  • Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante,
  • Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante.
Exemple :
  • Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle est croissante :
    U0 = 1 ; U1 = 5 ; U2 = 9 ; U3 = 13…

  • Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante :
    U0 = 4 ; U1 = − 1 ; U2 = − 6 ; U3 = − 11…
4. Représentation graphique d'une suite arithmétique
Soit (Un)une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U0 = 1.
U1 = 4 ; U2 = 7 ; U3 = 10 ; U4 = 13…


Propriété :
Tous les points d’une suite arithmétique sont alignés : on parle d’une croissance linéaire.

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