Suites arithmétiques

Exemple :
Soit la suite de nombres U₀ = − 5 ; U₁ = − 2 ; U₂ = 1 ; U₃ = 4 ; U₄ = 7 ; U₅ = 10...
On remarque que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
U_n+1 = U_n + 3 avec U₀ = − 5.

Définition :
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.



On écrit U_n+1 = U_n + r

Exemple :
Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique de raison – 4 et de premier terme U₀ = 2.

U₁ = U₀ − 4 = 2 − 4 = −2,
U₂ = U₁ − 4 = −2 − 4 = −6,
U₂ = U₁ − 4 = −6 −4 = −10...
Par définition, on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r (raison).

U_n = U_n-1 + 1r,

U_n-1 = U_n-2 + 1r donc U_n = U_n-2 + 2r,

U_n-2 = U_n-3 + 1r donc U_n = U_n-3 + 3r,

...

U₁ = U₀ + 1r donc U_n = U_n-n + nr = U₀ + nr.


Terme de rang n :

Si une suite (U_n) est arithmétique de raison r et de premier terme U₀, alors U_n = U₀ + nr.

Exemples :

• La suite arithmétique de premier terme U₀ = 100 et de raison 50 peut s’écrire de manière explicite :
  U_n = 100 + 50n
• Soit une somme de 2 000€ placé à intérêts simples de 4%.
  Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.

D’après la définition du sens de variation d’une suite, celui d’une suite arithmétique va dépendre du signe de sa raison r :

• Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante,
• Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante,
• Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante.

Exemple :

• Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle est croissante :
  U₀ = 1 ; U₁ = 5 ; U₂ = 9 ; U₃ = 13…
  
  
• Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante :
  U₀ = 4 ; U₁ = − 1 ; U₂ = − 6 ; U₃ = − 11…

Soit (U_n)une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U₀ = 1.
U₁ = 4 ; U₂ = 7 ; U₃ = 10 ; U₄ = 13…


Propriété :
Tous les points d’une suite arithmétique sont alignés : on parle d’une croissance linéaire.