Suites arithmétiques
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Soit la suite de nombres U0 = − 5 ; U1 = − 2 ; U2 = 1 ; U3 = 4 ; U4 = 7 ; U5 = 10...
On remarque que l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant 3. On pourrait écrire la relation de récurrence suivante :
Un+1 = Un + 3 avec U0 = − 5.
Définition :
Une suite arithmétique est une suite où l’on passe d’un terme à son suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison.
On écrit Un+1 = Un + r
Exemple :
Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique de raison – 4 et de premier terme U0 = 2.
U1 = U0 − 4 = 2 − 4 = −2,
U2 = U1 − 4 = −2 − 4 = −6,
U2 = U1 − 4 = −6 −4 = −10...
Un = Un-1 + 1r,
Un-1 = Un-2 + 1r donc Un = Un-2 + 2r,
Un-2 = Un-3 + 1r donc Un = Un-3 + 3r,
...
U1 = U0 + 1r donc Un = Un-n + nr = U0 + nr.
Terme de rang n :
Si une suite (Un) est arithmétique de raison r et de premier terme U0, alors Un = U0 + nr.
Exemples :
- La suite arithmétique de premier terme
U0 = 100 et de raison 50 peut
s’écrire de manière explicite :
Un = 100 + 50n - Soit une somme de 2 000€ placé à
intérêts simples de 4%.
Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans.
- Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante,
- Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante,
- Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante.
- Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle
est croissante :
U0 = 1 ; U1 = 5 ; U2 = 9 ; U3 = 13…
- Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle
est décroissante :
U0 = 4 ; U1 = − 1 ; U2 = − 6 ; U3 = − 11…
U1 = 4 ; U2 = 7 ; U3 = 10 ; U4 = 13…
Propriété :
Tous les points d’une suite arithmétique sont alignés : on parle d’une croissance linéaire.
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