Objectif(s)

Définition d'une moyenne géométrique

1. a^(1/n) avec a > 0 et n entier positif non nul

Pour tout réel a > 0 et tout entier n > 0 :

est la racine n^ième de a notée :

.

Applications
•

qu'on notera

(racine carrée).

•

qu'on notera

(racine cubique).

Exemples

•

.

•

.

Remarque
Sur la calculatrice, les touches correspondantes à l'exposant sont les touches x^y ou ^.
64 x^y (1/3)
64 ^ (1/3)

2. Moyenne géométrique

La moyenne géométrique de n nombres strictement positifs : a₁, a₂, ..., a_n ; est le nombre m défini par :

.

Applications
• La moyenne géométrique de 2 nombres strictement positifs a₁ et a₂, est le nombre m défini par :

.

• La moyenne géométrique de 3 nombres strictement positifs a₁, a₂ et a₃ ; est le nombre m défini par :

Exemples

1) La moyenne géométrique des deux nombres 5 et 15 est :

.

2) La moyenne géométrique des trois nombres strictement positifs 8, 14 et 17 est :

.

3) En 2000, une action cotée en Bourse a augmenté de 10 %.
En 2001, elle a augmenté de 20 % et en 2002, elle a diminué de 15 %.

Déterminer son taux de variation moyen annuel sur ces trois années.

Les coefficients multiplicateurs annuels sont : 1,1 ; 1,2 et 0,85.
Le coefficient multiplicateur moyen annuel c vérifie l'équation :

.

Il est égal à la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs annuels : 1,1 ; 1,2 et 0,85.
Soit :

.

Son taux de variation moyen annuel sur ces trois années est donc une augmentation d'environ 4 %.

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Notation a 1/n

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