Suites géométriques et arithmético-géométriques

Exemple : On place 530 € au taux d’intérêt composé de 3,25 % annuel (l’intérêt acquis à chaque période est ajouté au capital). L’intérêt ajouté chaque année est différent. Il faut utiliser le coefficient multiplicateur qui vaut : .

Chaque année on multiplie par le même nombre (le CM), c’est une suite géométrique.
On pose u₀ = 530 et pour chaque année n, le capital obtenu après n années.
On définit ainsi une suite géométrique de premier terme u₀ = 530 et de raison q = 1,0325.

Remarque : les suites géométriques sont notées quelques fois(V_n) .

Par exemple dans le cas précédent, le capital obtenu après cinq années est de :  (arrondi à 10^-2 près).

Remarques

• Si q = 1 la suite est constante, chaque terme vaut u₀.
• Si q = 0 la suite est constante au-delà de u₀, tous les termes sont nuls.
• Si q < 0 la suite est alternée, un terme positif, le suivant négatif.

Pour une suite géométrique non-nulle , le rapport est constant (ce que l’on apprend sous la forme valeur finale moins valeur initiale sur valeur initiale). C’est le pourcentage (en valeur décimale) de variation de la valeur. Il suffit de multiplier par 100 pour obtenir le pourcentage (en %).

Exemple : un objet rare coûte 100 000 €. Chaque fois que l’on achète l’un de ces objets, il augmente du dixième de sa valeur précédente. Les calculs étant établis en centaines de milliers d’euros, combien faut-il dépenser pour en acheter 8 ?

Prix du premier objet 1, pour chaque nouvel achat il faut dépenser 10 % en plus, c'est-à-dire multiplier le prix précédent par q = 1,1 (le coefficient multiplicateur).

On cherche la somme (en centaines de milliers d’euros).

Exemple : Pour creuser un puit, un puisatier demande 20 € pour le premier mètre, 22 € pour le deuxième, 24,20 € pour le 3^ème, et pour chaque mètre creusé supplémentaire, 10 % de plus que pour le précédent.

À combien revient le creusement d’un forage de 80 mètres ? Attention, il faut additionner chacun des prix par nouveau mètre creusé.

C’est une suite géométrique, u₁ = 20 et q = 1,1.
On remarquera que la suite commence avec u₁ et non u₀. Le deuxième mètre c’est u₂, ce qui est plus pratique pour la compréhension du problème.



Remarques

• Si la suite commence par u₁, la formule précédente devient
• Si q = 1, la suite est constante et .

On comprend que multiplier un nombre positif par un nombre strictement compris entre 0 et 1 c’est obtenir un nombre plus petit. Et le faire de nombreuses fois c’est se rapprocher de 0.


On comprend que multiplier un nombre positif par un nombre strictement supérieur à 1 c’est obtenir un nombre plus grand. Le faire de nombreuses fois c’est obtenir un très grand nombre.


En exemple, on peut remarquer que dans l’exercice précédent, les sommes payées deviennent de plus en plus grandes (car 1 < q). Cette somme devient rapidement infiniment plus élevée que les moyens que l’on peut accorder pour un particulier, une société, une commune ou un état (à 162 mètres, on dépasse le milliard d’euro !).

Exemple : La vente d’un produit baisse de 3 %. Son fabriquant décide d’en arrêter la fabrication lorsque le nombre d’objets vendus deviendra inférieur à la moitié des ventes actuelles.

Dans combien de temps s’arrêtera la fabrication de cet objet ?

97 % du nombre d’objets vendus l’année précédente, sont vendus chaque nouvelle année.

Soit u₀ le nombre d’objets vendus cette année. Le coefficient multiplicateur est k = 0,97.
On a u₁ = 0,97u₀, puis u₂ = 0,972u₀, et u_n = (0,97ⁿ)u₀.
On cherche le plus petit entier n tel que , c’est-à-dire .

On pourrait essayer de trouver le résultat par tâtonnement. Il est préférable de construire un petit programme sur calculatrice :

Algorithme : Variables : I un entier (compteur) Début Initialiser I par 0   Répéter   Incrémenter I   Jusqu’à ce que 0,97n 1/2   Afficher I Fin		Cet algorithme comporte une boucle itérative et conditionnelle.
TI-82 stat (83-84)	Casio Graph 35+	TI-Nspire CAS

Remarques

• Une fois l’algorithme traduit en programme sur la calculatrice, il est facile de le transformer pour obtenir un autre seuil, d’utiliser un autre taux de pourcentage. Par exemple, pour un taux de 1 % on trouvera 69 périodes.

• Il est très simple de rajouter quelques instructions pour que le seuil et le taux soient demandés dans l’exécution du programme.

• La boucle à utiliser est la boucle « répéter ». Sur la Graph35+ cette instruction n’existe pas, on utilise alors, avec un petit changement, la boucle « tant que ». De même sur la TI-Nspire CAS, cette boucle existe en LUA à partir du logiciel ordinateur. Sur la calculatrice on utilise aussi la boucle « tant que ».

Les suites arithmétiques ou géométriques ont l’avantage de pouvoir se calculer facilement (relation de récurrence, formules simples) pour tout terme choisi. Les suites de la forme u_n+1 = au_n + b (a, b réels) peuvent se transformer en suites géométriques. Il est alors assez simple de donner des résultats de calculs.

Remarque : pour le baccalauréat, si on nous donne une suite (U_n), il est préférable de passer à une suite géométrique. Après quelques calculs on obtient des résultats sur la suite arithmético-géométrique.